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章末复习与强化1：运动的合成与分解
一、知识梳理
1．曲线运动
(1)物体做曲线运动的条件：它所受的合力的方向与其速度方向不在同一条直线上．
(2)速度方向：物体运动轨迹上某点的切线方向．
(3)运动性质：曲线运动的速度方向时刻在变，故曲线运动一定是变速运动．
2．平抛运动
(1)特点．
①初速度不为零，且沿水平方向．
②只受重力作用，加速度为自由落体加速度．
(2)运动规律．
①速度：vx＝v0，vy＝gt，
合速度大小v＝，方向tan α＝.
②位移：x＝v0t，y＝gt2，合位移大小s＝，方向tan β＝.
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
2.合运动与分运动的四个特性
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)定则.
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.
4.合运动性质的判断
分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断.
(1)是否为匀变速判断：
加速度或合外力
(2)曲、直判断：
加速度或合外力与速度方向
例1　(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面内做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是
A.质点的初速度为5 m/s
B.质点所受的合外力为3 N，做匀变速曲线运动
C.2 s末质点速度大小为6 m/s
D.2 s内质点的位移大小约为12 m
例2.手持滑轮把悬挂重物的细线拉至如图所示的实线位置，然后使滑轮水平向右匀速移动，运动中始终保持悬挂重物的细线竖直，则重物运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变 B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变 D．大小和方向均改变
例3.塔式起重机模型如图，小车P沿吊臂向末端M水平匀速运动，同时将物体Q从地面竖直向上匀加速吊起，在这过程中，能大致反映物体Q运动轨迹的是(　　)
三、小船渡河问题
1．模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图1可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
图1
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图2所示．
图2
情况二：v水＞v船
如图3所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
图3
例4.一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)小船渡河的最短时间为多少？此时位移多大？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？
例5．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是(　　)
A．船渡河时间为
B．船渡河时间为
C．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
例6．小船在静水中速度为4 m/s，它在宽为200 m，流速为3 m/s的河中渡河，船头始终垂直河岸，如图所示。则渡河需要的时间为(　　)
A．40 s　　 B．50 s C．66.7 s　　 D．90 s
四、关联速度分解问题
关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.
(3)常见的速度分解模型
例7. (多选)如图所示，一人以恒定速度v0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成45°角，则此时(　　)
A.小车运动的速度为v0
B.小车运动的速度为v0
C.小车在水平面上做加速运动
D.小车在水平面上做减速运动
例8．如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为(　　)
A．v B．vcos θ
C． D．vcos2 θ
五、本节小结
对小船渡河问题，要注意以下三点：
(1)→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解．
(2)→可画出小船的速度分解图进行分析．
(3)→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．
关联物体的分析思路
六、随堂检测
1．关于两个分运动的合运动，下列说法中正确的是(　　)
A．合运动的速度一定大于两个分运动的速度
B．合运动的速度一定大于一个分运动的速度
C．合运动的方向就是物体实际运动的方向
D．由两个分速度的大小就可以确定合速度的大小
2.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1　　 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
3．一轮船以一定的速度垂直河流向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的正确关系是(　　)
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
参考答案
例1.答案　ABD
解析　由题图x方向的速度图象可知，在x方向的加速度为1.5 m/s2，x方向受力Fx＝3 N，由题图y方向的位移图象可知在y方向做匀速直线运动，速度大小为vy＝4 m/s，y方向受力Fy＝0.因此质点的初速度为5 m/s，A正确；受到的合外力恒为3 N，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B正确；2 s末质点速度大小应该为v＝ m/s＝2 m/s，C错误；2 s内，x＝vx0t＋at2＝9 m，y＝8 m，合位移l＝＝ m≈12 m，D正确.
例2.答案　A
解析　重物参与两个分运动，一个是竖直向上的分运动，由细线收缩的运动决定；另一个是水平方向的分运动，由滑轮的运动决定，这两个分运动均是匀速直线运动，所以重物的合运动也是匀速直线运动。故选A。
例3.答案　B
解析　物体Q参与两个分运动，水平方向向右做匀速直线运动，竖直方向向上做匀加速直线运动；水平分运动无加速度，竖直分运动加速度向上，故物体Q合运动的加速度向上，故轨迹向上弯曲，选项A、C、D错误，B正确.
例4.答案　(1)36 s　90 m
(2)偏向上游与河岸成60°角　24 s
解析　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图所示，
合速度为倾斜方向，垂直分速度为
v2＝5 m/s.
t＝＝＝ s＝36 s
v合＝＝ m/s
x＝v合t＝90 m.
(2)欲使船渡河的航程最短，船的合运动方向应垂直河岸．船头应朝上游与河岸成某一角度β.
如图所示，由v2sin α＝v1得α＝30°.所以当船头朝上游与河岸成一定角度β＝60°时航程最短．
x＝d＝180 m
t＝＝＝s＝24 s.
例5.解析C　船正对河岸运动，渡河时间最短t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．
例6.答案　B
解析　船头始终垂直河岸，渡河时间t＝＝ s＝50 s，故选项B正确。
例7.答案　BC
解析　将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，
人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系vcos 45°＝v0，则v＝＝v0，B正确，A错误.随着小车向左运动，小车与水平方向的夹角越来越大，设夹角为α，由v＝知v越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C正确，D错误.
例8.解析B　如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcos θ，故B正确，A、C、D错误．故选B.
1.答案　C
解析　合速度大小可以大于分速度的大小，也可以小于或等于分速度大小，故A、B错误；仅知道两个分速度大小无法画出平行四边形，故求不出合速度大小，故D错误；合运动就是物体实际运动，故C正确。
2.解析C　根据题意，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时B球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向．
则有，A球：v∥＝v1sin θ；而B球，v∥＝v2sin θ
由于同一杆，则有v1sin θ＝v2sin θ
所以v2＝v1，故C正确，A、B、D错误；故选C．
3.解析D　轮船渡河的运动是两个分运动的合成：假设河水不流动，轮船在静止的河水中垂直对岸行驶；假设轮船不运行，而河水流动，则轮船随河水一起向下游漂动．这两个分运动具有独立性，因而河水流速增大不影响轮船到达对岸的时间，但在相同的时间里，沿水流方向移动的位移要增大，因而选项D正确．

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