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章末复习与强化2：平抛运动规律的应用
一、与斜面有关的平抛运动
与斜面有关的平抛运动，包括两种情况：
(1)物体从空中抛出落在斜面上；
(2)物体从斜面上抛出落在斜面上.
在解答该类问题时，除要运用平抛运动的位移和速度规律外，还要充分利用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度的关系，从而使问题得到顺利解决.
两种情况的特点及分析方法对比如下：
方法 内容 斜面 飞行时间 总结
分解速度 水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt 特点：tan θ＝＝ t＝ 分解速度，构建速度三角形
分解位移 水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 特点：tan θ＝＝ t＝ 分解位移，构建位移三角形
例1.如图所示，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上．(不计空气阻力，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，tan 37°＝0.75）
(1)小球在空中的飞行时间；
(2)抛出点距撞击点的竖直高度；
(3)小球撞到斜面时，小球在竖直方向上下落的距离与在水平方向上通过的距离之比是多少？
例2.如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆.设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡底的B点，斜坡倾角θ＝37°，斜坡可以看成一斜面，不计空气阻力.(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t；
(2)A、B间的距离s.
二、类平抛运动
类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向做匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动.
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直.
(2)类平抛运动的运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动．两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的平面直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解．
例3.A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1.B沿光滑斜面运动，落地点为P2，不计阻力，如图7所示，下列关于P1、P2在x轴上远近关系的判断正确的是(　　)
图7
A.P1较远 B.P2较远
C.P1、P2一样远 D.A、B两项都有可能
例4.质量为m的飞机以水平速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力(该升力由其他力的合力提供，不含重力)，今测得当飞机在水平方向的位移为l时，它的上升高度为h，如图所示，(重力加速度为g)，求：
(1)飞机受到的升力大小；
(2)在高度h处飞机的速度大小．
思路点拨：理解该题的关键
①飞机水平方向匀速运动．
②飞机竖直方向匀加速上升，所以飞机的运动为类平抛运动．
三、平抛运动与其他运动形式的综合
平抛运动与其他运动形式 (如匀速直线运动、竖直上抛运动、自由落体运动等)的综合题目的分析中要注意平抛运动与其他运动过程在时间上、位移上、速度上的相关分析．
例5.如图所示，在一次空地演习中，离地H高处的飞机发射一颗炮弹，炮弹以水平速度v1飞出，欲轰炸地面目标P，反应灵敏的地面拦截系统同时以速度v2竖直向上发射炮弹进行拦截，设飞机发射炮弹时与拦截系统的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足(　　)
A．v1＝v2
B．v1＝ v2
C．v1＝v2
D．v1＝ v2
例6．如图所示，水平抛出的物体，抵达斜面上端P处时其速度方向恰好沿斜面方向，然后沿斜面无摩擦滑下，下列图中的图象描述的是物体沿x方向和y方向运动的速度—时间图象，其中正确的是(　　)
四．本节小结
从斜面顶端水平抛物问题
1.物体从斜面抛出后又落到斜面上，属已知位移方向的题目，此类题的解题方法一般是把位移分解，由位移方向确定两分位移的关系.
2.从斜面上开始又落于斜面上的过程中，速度方向与斜面平行时，物体到斜面的距离最大，此时已知速度方向，需将速度进行分解.
类平抛运动分析的三个方面
(1)分析物体的初速度与受力情况，确定物体做类平抛运动的加速度，并明确两个分运动的方向．
(2)利用两个分运动的规律求解分运动的速度与位移．
(3)根据题目的已知条件与未知条件充分利用运动的等时性、独立性、等效性．
五、随堂检测
1．如图所示，在足够长的斜面上的A点，以水平速度v0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上所用的时间为t1；若将此球以2v0的速度抛出，落到斜面上所用时间为t2，则t1与t2之比为(　　)
A．1∶1　　　 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
2．如图所示，将一小球从倾角为θ的斜面上方O点以初速度v0水平抛出后，落到斜面上H点，OH垂直于斜面且OH＝h.不计空气阻力，重力加速度大小为g，则v0的大小为(　　)
A． B．
C． D.
3.如图所示，斜面体ABC固定在地面上，小球p从A点静止下滑.当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处.已知斜面AB光滑，长度l＝2.5 m，斜面倾角θ＝30°.不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)小球p从A点滑到B点的时间.
(2)小球q抛出时初速度的大小.
参考答案
例1.答案　(1)2 s　(2)20 m　(3)2∶3
解析　(1)将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示．
由图可知θ＝37°，φ＝90°－37°＝53°.
tan φ＝，
则t＝tan φ＝× s＝2 s.
(2)h＝gt2＝×10×22m＝20 m.
(3)小球在竖直方向上下落的距离y＝gt2＝20 m，小球在水平方向上通过的距离x＝v0t＝30 m，所以y∶x＝2∶3.
例2.答案　(1)3 s　(2)75 m
解析　(1)运动员由A点到B点做平抛运动，则水平方向的位移x＝v0t
竖直方向的位移y＝gt2
又＝tan θ，联立得t＝＝3 s
(2)由题意知sin θ＝＝
得A、B间的距离s＝＝75 m.
例3.答案　B
解析　A质点水平抛出后，只受重力，做平抛运动，在竖直方向有h＝gt12.B质点水平抛出后，受重力和支持力，在斜面平面内所受合力为mgsin θ，大小恒定且与初速度方向垂直，所以B质点做类平抛运动.在沿斜面向下方向上＝gsin θ·t22，由此得t2＞t1，由于二者在水平方向(x轴方向)上都做速度为v0的匀速运动，由x＝v0t知x2＞x1.
例4.答案　(1)mg　(2)v0
解析　(1)飞机水平速度不变，则l＝v0t
竖直方向加速度恒定h＝
消去t即得a＝
由牛顿第二定律知F－mg＝ma
解得F＝mg＋ma＝mg.
(2)在高度h处，飞机竖直方向的速度
vy＝at＝
则速度大小：v＝＝v0.
例5.解析B　当飞机发射的炮弹运动到拦截炮弹正上方时，满足s＝v1t，h＝gt2，此过程中拦截炮弹满足H－h＝v2t－gt2，即H＝v2t＝v2·，则v1＝ v2，故选项B正确．
例6.解析C　0～tP段，水平方向：vx＝v0恒定不变，竖直方向：vy＝gt；tP～tQ段，水平方向：vx＝v0＋a水平t，竖直方向：vy＝vPy＋a竖直t(a竖直＜g)，因此选项A、B、D均错误，C正确，故选C．
1.解析B　因小球落在斜面上，所以两次位移与水平方向的夹角相等，由平抛运动规律知tan θ＝＝，所以＝.
2.解析B　小球平抛运动的水平位移x＝hsin θ，竖直位移y＝hcos θ＝gt2，联立解得v0＝，B正确．
3.答案　(1)1 s　(2) m/s
解析　(1)设小球p从斜面上下滑的加速度为a，由牛顿第二定律得：a＝＝gsin θ①
设下滑所需时间为t1，根据运动学公式得
l＝at②
由①②得
t1＝③
解得t1＝1 s④
(2)对小球q：水平方向位移x＝lcos θ＝v0t2⑤
依题意得t2＝t1⑥
由④⑤⑥得
v0＝＝ m/s.

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