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专题：运动的合成与分解
一.学习目标
1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.
2.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题.
二.学习过程
㈠知识回顾
1.在直角坐标系中研究蜡块的运动
⑴建立直角坐标系
如图所示，以运动开始时蜡块的位置为原点，____________的方向和____________的方向分别为x轴的正方向和y轴的正方向．
⑵蜡块的位置如图所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的 速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx.从蜡块开 始运动的时刻计时，在t时刻，蜡块的位置P可以用它的x、 y两个坐标表示：x＝________，y＝________．
蜡块的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条过原点的直线.
2.合运动与分运动
在课本所示的实验中，红蜡块同时参与了两个运动——在竖直方向上红蜡块沿玻璃管向上运动，在水平方向上红蜡块随着玻璃管向右运动．这两个运动都叫作________，而红蜡块的实际运动则称为________．
3.运动的合成与分解
⑴已知分运动的情况求合运动叫_____________；已知合运动的情况求分运动叫_____________．运动的合成与分解包括________的合成与分解和________的合成与分解．
⑵运动的合成与分解应遵循______________________．
㈡模型探究
⒈小船渡河
模型特点：小船参与的两个分运动：小船在河流中实际的运动(站在岸上的观察者看到的运动)可视为船同时参与了这样两个分运动：
(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船身的指向相同．
(2)船随水漂流的运动(即速度等于水的流速)，它的方向与河岸平行．船在流水中实际的运动(合运动)是上述两个分运动的合成．
两类最值问题
(1)渡河时间最短问题：若要渡河时间最短，由于水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水，所示．
情况二：v水＞v船
如图所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
例1.已知某船在静水中的速度为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，水流速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行，
(1)欲使船以最短时间渡河，渡河所用时间是多少？位移有多大？
(2)欲使船以最小位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若水流速度为v2′＝5 m/s，船在静水中的速度为v1＝4 m/s不变，船能否垂直河岸渡河？
跟踪训练1．一艘船的船头始终正对河岸方向行驶，如图所示．已知船在静水中行驶的速度为v1，水流速度为v2，河宽为d.则下列判断正确的是(　　)
A．船渡河时间为
B．船渡河时间为
C．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
D．船渡河过程被冲到下游的距离为·d
2.关联速度分解问题
关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：
(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向.
(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等.
(3)常见的速度分解模型
例2.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)．将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°，B球的速度大小为v2，则(　　)
A．v2＝v1　　 B．v2＝2v1
C．v2＝v1 D．v2＝v1
例3.如图所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为vA，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：(与B相连的绳水平且定滑轮的质量及摩擦不计)
(1)车B运动的速度vB为多大？
(2)车B是否做匀速运动？
跟踪训练2.如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车以速度v匀速向右运动到如图所示位置时，物体P的速度为(　　)
A．v B．vcos θ
C． D．vcos2 θ
㈢方法总结
对小船渡河问题，要注意以下三点：
1.要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v船>v水时.
2.要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v船与水流方向垂直.
3.要区别船速v船及船的合运动速度v合，前者是发动机或划行产生的分速度，后者是合速度.
关联物体的分析思路
㈣拓展训练
1.如图所示，A物块以速度v沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑轻质定滑轮拉动物体B在水平方向上运动.当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B运动的速度vB的大小.
2.小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求：
(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？
(2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？
参考答案
例1.答案　(1)25 s　125 m　(2) s　(3)不能
解析　(1)由题意知，当船在垂直于河岸方向上的分速度最大时，渡河所用时间最短，河水流速平行于河岸，不影响渡河时间，所以当船头垂直于河岸渡河时，所用时间最短，则最短时间为t＝＝ s＝25 s.
如图甲所示，当船到达对岸时，船沿河流方向也发生了位移，由直角三角形的几何知识，可得船的位移为l＝，由题意可得x＝v2t＝3×25 m＝75 m，代入得l＝125 m.
(2)分析可知，当船的实际速度方向垂直于河岸时，船的位移最小，因船在静水中的速度为v1＝4 m/s，大于水流速度v2＝3 m/s，故可以使船的实际速度方向垂直于河岸.如图乙所示，设船斜指向上游河对岸，且与河岸所成夹角为θ，则有v1cos θ＝v2，cos θ＝＝，则sin θ＝＝，所用的时间为t＝＝ s＝ s.
(3)当水流速度v2′＝5 m/s大于船在静水中的速度v1＝4 m/s时，不论v1方向如何，其合速度方向总是偏向下游，故不能垂直河岸渡河.
跟踪训练1.解析选C　船正对河岸运动，渡河时间最短t＝，沿河岸运动的位移s2＝v2t＝·d，所以A、B、D选项错误，C选项正确．
例2.解析　根据题意，将A球速度分解成沿着杆与垂直于杆方向，同时B球速度也是分解成沿着杆与垂直于杆两方向．
则有，A球：v∥＝v1sin θ；而B球，v∥＝v2sin θ
由于同一杆，则有v1sin θ＝v2sin θ
所以v2＝v1，故C正确，A、B、D错误；故选C．
例3.答案　(1)vAcos θ　(2)不做匀速运动
解析　(1)把vA分解为一个沿绳方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度vB大小应等于vA的分速度v1，即vB＝v1＝vAcos θ.
(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速vB将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动.
跟踪训练2.解析 选B　如图所示，绳子与水平方向的夹角为θ，将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向的速度等于P的速度，根据平行四边形定则得，vP＝vcos θ，故B正确，A、C、D错误．故选B.
拓展训练
1.答案　vsin θ
解析　物块A沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点(即物块A)的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示.其中物体B的速度大小等于沿绳子方向的分速度vB.
则有vB＝vsin θ.
2.答案　(1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50 s
(2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200 m
解析　(1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间tmin＝＝ s＝50 s.
(2)如图乙所示，航程最短为河宽d，即最短航程为200 m，应使v合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cos α＝＝，解得α＝60°.

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