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专题：功和功率
一、功的计算
1.恒力的功
功的公式W＝Flcosα，只适用于恒力做功.即F为恒力，l是物体相对地面的位移，流程图如下：
2.变力做功的计算
(1)将变力做功转化为恒力做功
在曲线运动或有往复的运动中，当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积，力F与v同向时做正功，力F与v反向时做负功.
(2)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功.
(3)用平均力求功：若力F随位移x线性变化，则可以用一段位移内的平均力求功，如将劲度系数为k的弹簧拉长x时，克服弹力做的功W＝x＝·x＝kx2.
(4)用F－x图象求功
若已知F－x图象，则图象与x轴所围的面积表示功，如图所示，在位移x0内力F做的功W＝x0.
例1.一物体在运动中受水平拉力F的作用，已知F随运动距离x的变化情况如图所示，则在这个运动过程中F做的功为(　　)
A.4J B.18J
C.20J D.22J
二.摩擦力做功
(1)不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可能不对物体做功．
(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零．
(3)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcos α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零．
例2　如图所示，质量为m的木块放在质量为2m的木板上，木板置于光滑水平面上．现用力F沿水平方向拉木板，木块与木板相对静止，当木板移动的位移为x时：木块与木板间的静摩擦力对木块、木板分别做功为多少？静摩擦力对木块和木板做的总功是多少？
三.功率的计算
计算功率的基本思路
(1)首先判断待求功率是瞬时功率还是平均功率．
(2)功率的计算方法：
①平均功率：
a．利用＝
b．利用＝Fcosα.
②瞬时功率：P＝Fvcosα，v是瞬时速度．
例3.(多选)质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用.水平力F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则(　　)
A.3t0时刻，物体的速度为
B.3t0时刻的瞬时功率为
C.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为
D.在t＝0到3t0这段时间内，水平力F的平均功率为
四.机车启动问题
1.P＝Fv三个量的制约关系：
定值 各量间的关系 应用
P一定 F与v成反比 汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定 F与P成正比 汽车上坡时，要使速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定 v与P成正比 汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
2.两种启动方式的过程分析
以恒定功率启动 以恒定牵引力启动
P－t图和 v－t图
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 F阻＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速运动
BC段 F＝F阻 a＝0 F阻＝，以vm做匀速直线运动
3.机车启动问题中几个物理量的求法
(1)机车的最大速度vm的求法，机车达到匀速前进时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝＝.
(2)匀加速启动持续时间的求法，牵引力F＝ma＋Ff，匀加速的最后速度vm′＝，时间t＝.
(3)瞬时加速度的求法，据F＝求出牵引力，则加速度a＝.
例4.在水平路面上运动的汽车的额定功率为100kW，质量为10t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍(g取10m/s2)，求：
(1)若汽车以不变的额定功率从静止启动，汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小.
四.巩固训练
1．以一定的速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h，空气的阻力大小恒为F，则从抛出至落回出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为(　　)
A．0 B．－Fh
C．－2Fh D．－4Fh
2.如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况，下列说法正确的是(　　)
A．A、B都克服摩擦力做功
B．AB间弹力对A、B都不做功
C．摩擦力对B做负功，对A不做功
D．AB间弹力对A不做功，对B做正功
3.如图所示是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为(　　)
A.mg B.mg
C.mg D.mg
4.汽车发动机的额定功率为60kW，汽车的质量为5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，g取10m/s2.
(1)汽车保持额定功率不变从静止启动后：
①汽车所能达到的最大速度是多大？②当汽车的速度为6m/s时加速度为多大？
(2)若汽车从静止开始，保持以0.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？
参考答案
例1.答案　B
解析　方法一　由图可知F在整个过程中做功分为三个小过程，分别做功为
W1＝2×2J＝4J，W2＝－1×2J＝－2J
W3＝4×4J＝16J，
所以W＝W1＋W2＋W3＝4J＋(－2)J＋16J＝18J.
方法二　F－x图象中图线与x轴所围成的面积表示做功的多少，x轴上方为正功，下方为负功，总功取三部分的代数和，即(2×2－2×1＋4×4)J＝18J，B正确.
例2.答案　见解析
解析　对整体有：F＝3ma.对木块有F静＝ma
故F静＝.由公式W＝Flcosα得，
静摩擦力对木块所做的功为
Wm＝F静·x＝Fx
静摩擦力对木板做的功为
W2m＝－F静·x＝－Fx
静摩擦力对木块和木板做的总功是
W＝Wm＋W2m＝Fx＋(－Fx)＝0.
例3.答案　BC
解析　0～2t0时间内，物体加速度a1＝，位移x1＝a1(2t0)2＝，2t0时刻的速度v1＝a1·2t0＝；2t0～3t0时间内，物体的加速度a2＝，位移x2＝v1t0＋a2t＝，3t0时刻的速度v2＝v1＋a2t0＝，所以3t0时刻的瞬时功率P＝2F0v2＝，选项A错误，B正确；0～3t0时间内的平均功率＝＝＝，选项C正确，D错误.
例4.答案　(1)见解析　(2)m/s　(3)10 m/s
解析　(1)汽车以不变的额定功率从静止启动，v变大，由P＝Fv知，牵引力F减小，根据牛顿第二定律F－Ff＝ma知，汽车的加速度逐渐减小.
(2)由F－Ff＝ma1①
P＝Fv1②
联立①②代入数据得：v1＝m/s
(3)当汽车速度达到最大时，a2＝0，F2＝Ff，P＝P额，故
vmax＝＝m/s＝10 m/s.
1.答案　C
解析　从全过程看，空气的阻力为变力，但将整个过程分为两个阶段：上升阶段和下落阶段，小球在每个阶段受到的阻力都为恒力，且总是跟小球运动的方向相反，所以空气阻力对小球总是做负功．全过程空气阻力对小球做的功等于两个阶段所做功的代数和，即W＝W上＋W下＝(－Fh)＋(－Fh)＝－2Fh.空气阻力、摩擦阻力是一种特殊的力，在计算这种力做的功时，不可简单地套用功的计算公式W＝Flcosα，得出W＝0的错误结论．从上面的正确结果可以看出：空气阻力做的功在数值上等于阻力与全过程中小球路程的乘积．故选C.
2.答案　BC
解析　A、B间的相互作用力Ff1与Ff2、FAB与FBA如图所示，A没有发生位移，Ff2、FBA对A不做功，B发生了位移，Ff1做负功，FAB与位移成90°角，不做功，B、C对，A、D错．
3.答案　B
解析　小孩的加速度a＝＝g，由v2＝2as得小孩滑行距离为s时的速率v＝，故此时重力的瞬时功率P＝mgvsin30°＝mg，B正确.
4.答案　(1)①12 m/s　②1 m/s2　(2)16 s
解析　汽车运动中所受的阻力
Ff＝0.1mg＝0.1×5×103×10 N＝5×103 N
(1)汽车保持额定功率启动时，做加速度逐渐减小的加速运动，当加速度减小到零时，速度达到最大.
①此时汽车的牵引力F1＝Ff＝5×103 N
则汽车的最大速度vm＝＝m/s＝12 m/s
②当汽车的速度为6 m/s时牵引力
F2＝＝ N＝1×104 N
由牛顿第二定律得F2－Ff＝ma′
a＝＝ m/s2＝1 m/s2
(2)当汽车以恒定加速度0.5 m/s2匀加速运动时，设汽车的牵引力为F3，由牛顿第二定律得F3－Ff＝ma′
即F3＝Ff＋ma′＝5×103 N＋5×103×0.5 N＝7.5×103 N
汽车匀加速运动时，其功率逐渐增大，当功率增大到等于额定功率时，匀加速运动结束，此时汽车的速度
v1＝＝m/s＝8 m/s
则汽车匀加速运动的时间t＝＝ s＝16 s.

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