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专题：机械能守恒定律的应用
一.知识回顾
1．机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．机械能守恒的条件：只有重力或系统内弹力做功．
3．对机械能守恒条件的理解
(1)只受重力(或弹力)作用，例如在不考虑空气阻力的情况下的各种抛体运动，物体的机械能守恒．
(2)存在其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功．
(3)除重力、弹力外其他力做功，但做功的代数和为零．
4．机械能守恒定律的表达式
(1)守恒观点：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
(2)转化观点：ΔEk增＝ΔEp减
(3)转移观点：ΔEA增＝ΔEB减
5．动能定理：在一个过程中合力对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
二、机械能是否守恒的判断
1．利用机械能的定义判断：分析动能和势能的和是否变化．
2．用做功判断：分析物体受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若对物体或系统只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．
3．用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒．
4．对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内力做功，如有滑动摩擦力做功时，因有摩擦热产生，系统机械能将有损失．
例1.如图所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．斜劈对小球的弹力不做功
B．斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C．斜劈的机械能守恒
D．小球机械能的减小量等于斜劈动能的增大量
判断物体的机械能是否守恒，一般从以下三个方面入手．
1．利用守恒定律来判定：研究系统的动能和势能之和有无变化
2．从做功角度判断
(1)单个物体：除重力外无其他力做功(或其他力对这个物体做功之和为零)，则物体的机械能守恒．
(2)系统：外力中除重力外无其他力做功，内力做功之和为零，则系统的机械能守恒．
3．从能量转化角度判断
只有系统内动能、重力势能、弹性势能的相互转化、无其他形式能量的转化，系统机械能守恒．
三、多物体组成的系统的机械能守恒问题
1．多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的．
2．对系统列守恒方程时常有两种表达形式：Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2①或ΔEk增＝ΔEp减②，运用①式需要选取合适的参考平面，运用②式无需选取参考平面，只要判断系统内能的增加量和减少量即可．所以处理多物体组成系统问题用第②式较为方便．
3．注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系．
例2.如图所示，斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，高为H，斜面顶点上有一定滑轮，物块A和B的质量分别为m1和m2，通过轻而柔软的细绳连接并跨过定滑轮.开始时两物块都位于与地面距离为H的位置上，释放两物块后，A沿斜面无摩擦地上滑，B沿斜面的竖直边下落.若物块A恰好能达到斜面的顶点，试求m1和m2的比值.滑轮的质量、半径和摩擦以及空气阻力均可忽略不计.
机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况：
(1)系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接.这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系.
(2)系统内两个物体通过轻绳连接.如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒.解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等.
(3)系统内两个物体通过轻杆连接.轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体转动的角速度相等.
四、机械能守恒定律和动能定理的综合应用
1．机械能守恒定律反映的是物体初、末状态的机械能间的关系，且守恒是有条件的，而动能定理揭示的是物体动能
的变化跟引起这种变化的合外力功之间的关系，既关心初末状态的动能，也必须认真分析对应这两个状态间经历的过程中力做功的情况．
2．动能定理与机械能守恒的选用思路
(1)从研究对象看出，动能定理主要用于单个质点，而机械能守恒定律运用于系统．
(2)从做功角度看，除重力和系统内的弹力做功外，有其它力参与做功选用动能定理．没有其它力参与做功对系统可以选用机械能守恒定律，也可以选用动能定理．
例3.如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B各固定一质量为m的球，杆可绕轴O无摩擦的转动，使杆从水平位置无初速度释放．求当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？
五.巩固训练
1. (多选)如图所示，A和B两个小球固定在一根轻杆的两端，mB>mA，此杆可绕穿过其中心的水平轴O无摩擦地转动.现使轻杆从水平状态无初速度释放，发现杆绕O沿顺时针方向转动，则杆从释放起转动90°的过程中(不计空气阻力)(　　)
A.B球的动能增加，机械能增加
B.A球的重力势能和动能都增加
C.A球的重力势能和动能的增加量等于B球的重力势能的减少量
D.A球和B球的总机械能守恒
2.如图所示，一根很长的、不可伸长的柔软轻绳跨过光滑定滑轮，轻绳两端各系一小球a和b，a球质量为m，静置于地面；b球质量为3m，用手托住，离地面高度为h，此时轻绳刚好拉紧，从静止开始释放b后，a可能达到的最大高度为(b球落地后不反弹，不计空气阻力)(　　)
A.h B.1.5h
C.2h D.2.5h
3.如图所示，ABC和DEF是在同一竖直平面内的两条光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF是半径为r＝0.4 m的半圆形轨道，其直径DF沿竖直方向，C、D可看做重合的点．现有一可视为质点的小球从轨道ABC上距C点高为H的地方由静止释放．(g取10 m/s2)
(1)若要使小球经C点水平进入轨道DEF且能沿轨道运动，H至少多高？
(2)若小球静止释放处离C点的高度h小于(1)中H的最小值，小球可击中与圆心等高的E点，求h.
参考答案
例1.答案　BD
解析　小球有竖直方向的位移，所以斜劈对小球的弹力对球做负功．故A选项错误；小球对斜劈的弹力对斜劈做正功，所以斜劈的机械能增加，故C选项错误．不计一切摩擦，小球下滑过程中，小球和斜劈组成的系统中只有动能和重力势能相互转化，系统机械能守恒，故B、D选项正确．
例2.答案　1∶2
解析　设B刚下落到地面时速度为v，由系统机械能守恒得：
m2g·－m1g·sin30°＝(m1＋m2)v2①
A以速度v上滑到顶点过程中机械能守恒，则：
m1v2＝m1g·sin30°，②
由①②得＝1∶2.
例3.答案　－mgL　mgL
解析　设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得：mgL＋mgL＝mv＋mv
因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，
故vB＝2vA
由以上二式得：vA＝，vB＝.
根据动能定理，可解出杆对A、B两球做的功．
对A有：WA＋mg·＝mv－0，
所以WA＝－mgL.
对B有：WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝mgL.
1.答案　BD
解析　A球运动的速度增大，高度增大，所以动能和重力势能都增大，故A球的机械能增加.B球运动的速度增大，所以动能增大，高度减小，所以重力势能减小.对于两球组成的系统，只有重力做功，系统的机械能守恒，因为A球的机械能增加，故B球的机械能减少，故A球的重力势能和动能的增加量与B球的动能的增加量之和等于B球的重力势能的减少量，故A、C错误，B、D正确.
2.答案　B
解析　释放b后，在b到达地面之前，a向上加速运动，b向下加速运动，a、b系统的机械能守恒，设b落地瞬间速度为v，取地面所在平面为参考平面，则3mgh＝mgh＋mv2＋(3m)v2，可得v＝.b落地后，a向上以速度v做竖直上抛运动，能够继续上升的高度h′＝＝.所以a能达到的最大高度为1.5h，B正确.
3.答案　(1)0.2 m　(2)0.1 m
解析　(1)小球沿ABC轨道下滑，机械能守恒，设到达C点时的速度大小为v，则
mgH＝mv2 ①
小球能在竖直平面内做圆周运动，在圆周最高点必须满足mg≤ ②
①②两式联立并代入数据得H≥0.2 m.
(2)若hr＝gt2 ③
水平方向上有r＝vxt ④
又由机械能守恒定律有mgh＝mv ⑤
由③④⑤联立可解得h＝＝0.1 m

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