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34.函数奇偶性的判定与证明
基础知识
1.函数奇偶性的概念
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。
对函数奇偶性的概念的理解
①奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的，奇偶性是一个“整体”性质，而单调性是一个“局部”性质；
②定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
③按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
2.奇偶函数的图象
奇函数的图象关于原点成中心对称的函数，偶函数的图象关于y轴对称的函数。
3.函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域必然关于原点对称
②若是奇函数，且0在其定义域内，则必有往往在解题时作为隐藏条件
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
即：奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上单调递减（增）
④任意定义在R上的函数都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
4.判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
对于函数的定义域内任意一个，都有则函数是偶函数
对于函数的定义域内任意一个，都有则函数是奇函数
（2）作商法
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是偶函数
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是奇函数
（3）作差作和法
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是偶函数
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是奇函数
（4）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于轴对称的函数是偶函数
（5）运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若为偶函数，则。
5.复合函数的奇偶性
若函数，，的定义域都是关于原点对称的，
则都是奇函数时，是奇函数；都是偶函数，或者一奇一偶时，是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
例题讲解
例1.(全国高考甲卷数学(理)试题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则( )
A． B． C． D．
例2.(全国高考乙卷数学(文)试题)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A． B． C． D．
例3.(2020全国Ⅱ文10)设函数，则 ( )
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
例4.(2019全国Ⅱ文6)设为奇函数，且当x≥0时，则当时，
A． B．
C． D．
例5.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
例6.(湖南)已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且
=，＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
例7.已知函数，则
A． B．0 C．1 D．2
例8.已知函数，，则
A． B． C． D．
例9.下列函数为偶函数的是
A． B．
C． D．
例10.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
复合函数的奇偶性
例11.存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
例12.已知对于任意、，都有，，则（ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
例13.已知函数g(x)=f(x)+2，若f(x)是奇函数，且g(1)=3，则g(-1)=( )
A．-1 B．-3 C．1 D．3
例14.已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
例15.已知函数为奇函数，为偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A．为周期函数 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线轴对称 D．为奇函数
34.函数奇偶性的判定与证明
基础知识
1.函数奇偶性的概念
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。
一般地，对于函数，如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数就叫做奇函数。
对函数奇偶性的概念的理解
①奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的，奇偶性是一个“整体”性质，而单调性是一个“局部”性质；
②定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
③按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.
2.奇偶函数的图象
奇函数的图象关于原点成中心对称的函数，偶函数的图象关于y轴对称的函数。
3.函数奇偶性的性质：
①具有奇偶性的函数，其定义域必然关于原点对称
②若是奇函数，且0在其定义域内，则必有往往在解题时作为隐藏条件
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
即：奇函数在区间上单调递增（减），则在区间上也是单调递增（减）；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数在区间上单调递增（减），则在区间上单调递减（增）
④任意定义在R上的函数都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
4.判断函数奇偶性的方法：
（1）定义法：
对于函数的定义域内任意一个，都有则函数是偶函数
对于函数的定义域内任意一个，都有则函数是奇函数
（2）作商法
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是偶函数
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是奇函数
（3）作差作和法
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是偶函数
对于函数的定义域内任意一个，都有，则函数是奇函数
（4）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于轴对称的函数是偶函数
（5）运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：
①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数；
②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。
③若为偶函数，则。
5.复合函数的奇偶性
若函数，，的定义域都是关于原点对称的，
则都是奇函数时，是奇函数；都是偶函数，或者一奇一偶时，是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
例题讲解
例1.(全国高考甲卷数学(理)试题)设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则( )
A． B． C． D．
解析：对奇函数，偶函数的定义的理解，为奇函数有，为偶函数有在通过取特殊值确定出的值
解：因为是奇函数，有①； 因为是偶函数，有②． 令，由①得：， 由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 所以．
例2.(全国高考乙卷数学(文)试题)设函数，则下列函数中为奇函数的是( )
A． B． C． D．
解析：通过定义判定
解：由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B
例3.(2020全国Ⅱ文10)设函数，则 ( )
A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减
解析：通过定义判定
解：∵函数定义域为，其关于原点对称，而， ∴函数为奇函数． 又∵函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减， ∴函数在上单调递增，在上单调递增．故选A．
例4.(全国Ⅱ文6)设为奇函数，且当x≥0时，则当时，
A． B．
C． D．
解析：根据奇偶性求函数的解析式
解：设，则，所以 又为奇函数，所以， 即，故选D．
例5.设函数，的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
解析：函数四则运算奇偶性的判定．
解：为奇函数，为偶函数，故为奇函数，||为奇函数，||为偶函数，||为偶函数，故选B．
例6.(2014湖南)已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且
=，＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：根据奇偶性求函数值
解：用换，得，化简得，令，得，故选C．
例7.已知函数，则
A． B．0 C．1 D．2
解析：对数型函数判断奇偶性经常采用相加的方法判定，其定义域为R关于原点对称
解：
例8.已知函数，，则
A． B． C． D．
解析：令则为切入点
解：因为，又因为，所以，所以3，故选C．
例9.下列函数为偶函数的是
A． B．
C． D．
解析：利用定义判定
证明:函数和既不是偶函数也不是奇函数，排除选项A和选项B；选项C中，则，所以=为奇函数，排除选项C；选项D中，则，所以为偶函数，选D．
例10.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
解析：利用定义判定，注意定义域是否关于原点对称
解：选项A、C为偶函数，选项B中的函数是奇函数；选项D中的函数为非奇非偶函数．
复合函数的奇偶性
例11.存在函数使得对于都有，则函数可能为（ ）
A． B． C． D．
解析：先判断出必为偶函数.对四个选项中的函数的奇偶性一一判断，即可得到答案.
解：因为对于都有，且为偶函数，所以必为偶函数.对于A：为奇函数.故A错误； 对于B：为非奇非偶函数.故B错误； 对于C：对于.定义域为R.因为，所以为奇函数.故C错误；对于D：对于.定义域为R.因为，所以为偶函数.故D正确； 故选：D
例12.已知对于任意、，都有，，则（ ）
A．是奇函数但不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数
C．既不是奇函数也不是偶函数 D．是偶函数但不是奇函数
解析：根据等式特征，先令,由,可以求出的值；再令代入等式,可以得到和的关系,根据函数的奇偶性定义选出正确答案.
解：令,可得. 再令,可得,所以函数是偶函数.又因为,所以函数不是奇函数,所以是偶函数但不是奇函数.故选D
例13.已知函数g(x)=f(x)+2，若f(x)是奇函数，且g(1)=3，则g(-1)=( )
A．-1 B．-3 C．1 D．3
解析：结合已知条件首先求出，然后利用奇函数的性质求出，进而即可求出.
解：由题意可知，，则， 因为是奇函数，所以， 故.故选：C.
例14.已知，分别为定义在上的奇函数和偶函数，则下列为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
解析：由函数奇偶性的性质和定义依次判断各选项即可.
解：由题知，分别为定义在上的奇函数和偶函数， 故满足， 对于A,,则为偶函数； 对于B, ，则为偶函数； 对于C,，则为奇函数； 对于D,，则为偶函数. 故选：C.
例15.已知函数为奇函数，为偶函数，则下列结论错误的是（ ）
A．为周期函数 B．的图象关于点中心对称
C．的图象关于直线轴对称 D．为奇函数
解析：根据函数奇偶性的定义、结合函数对称性和周期性，进行推理，即可容易判断.
解：因为是偶函数，故可得，① 故关于对称； 由①可得：，又是奇函数，满足， 则，也即， 故可得是周期为的函数，正确；因为，是奇函数，故也是奇函数，故正确； 把①式中的用替换，即可得：，再由函数周期为，即可得.故，则关于对称，故正确；若正确，则， 根据①可得，故错误，故选：.

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