资源简介

38.（难点17）奇偶性，单调性，周期性相结合比较函数值的大小
基础知识
解题方法：见解析
例题讲解
例1.(2017天津)已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
例2.定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例3.若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
例4.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例5.已知在上的连续函数，其导函数为，满足，恒成立，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例6.已知定义在R上的函数满足.若，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
例7.若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
例8.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例9.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例10.定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例11.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
例12.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例13.已知定义在R上的函数满足，为偶函数，若在内单调递增.记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例14．已知定义在R上的偶函数满足，且在上递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
15．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有；
②；
③是偶函数；
若，，，
则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
18已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
19．已知定义在上的奇函数满足，函数的图像关于对称且函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
38.（难点17）奇偶性，单调性，周期性相结合比较函数值的大小
基础知识
解题方法：见解析
例题讲解
例1.(2017天津)已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则a，b，c的大小关系为
A． B． C． D．
解析：先判断出的奇偶性，在比较自变量的大小，再结合单调性比较函数值的大小
解：由题意为偶函数，且在上单调递增，所以， 又，， 所以，故，选C
例2.定义在上的奇函数满足为偶函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据奇函数满足为偶函数可知是一个周期函数，根据可判断单调性，利用周期性将自变量都转化到上，再利用单调性即可得大小关系.
解：因为为偶函数,所以满足,又因为是奇函数,所以故 因此即是以4为周期的周期函数. ， 当时，，在单调递增，在单调递减，故在单调递增.所以 故选：A
例3.若偶函数在上是减函数，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据偶函数性质知，根据单调性可得大小关系.
解：为偶函数，； 在上是减函数，， 即. 故选：B.
例4.已知定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解析：自变量的值出现了2022，初步判定函数是周期函数，分析函数的单调性，判断、、的正负，结合周期性与单调性判断可得出合适的选项.
解：因为定义在上的偶函数满足， 则，得，所以，，即， 当时，，则， 所以，函数在上为增函数，则该函数在上为减函数， 且当时，， 因为，则， ，， ，， 且，所以，，故， 因此，.故选：B.
例5.已知在上的连续函数，其导函数为，满足，恒成立，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：结合题意，构造函数，进而得，单调递减，再根据函数单调性比较大小.
解：令， ， 因为，恒成立， 所以，当时，，单调递减， ，，， 因为，所以.故选：D
例6.已知定义在R上的函数满足.若，则（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系不确定
解析：构造函数，利用导数判断函数的单调性，从而即可比较函数值的大小关系.
解：因为，所以， 构造函数， 则，所以函数在上单调递增， 又，所以，即， 所以，故选：A.
例7.若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性即可得解.
解：由对，且，都有， 所以函数在上递减， 又函数为偶函数， 所以函数关于对称， 所以， 又， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 即.故选：A.
例8.已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据奇函数可得，从而可得函数的图象关于对称进而可得函数在上为增函数，构造函数，利用函数的单调性即可求解.
解：因为是R上的奇函数，且满足，所以， 所以函数的图象关于对称， 因为函数在区间是减函数， 所以函数在上为增函数，且， 由题知，，， 由，则 令，解得， 令，解得， 所以函数在上递增， 在上递减知，， 所以.故选：B
例9.已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可
解：∵对任意，，均有成立， ∴此时函数为减函数， ∵是偶函数， ∴当时，为增函数， ， ，， ∵，∴， ∵， ∴， ∴， 即，故选：D.
例10.定义在上的奇函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由已知确定函数的周期，再确定函数在上的单调性，然后由周期变形，利用单调性比较大小．
解：∵是奇函数，且， ∴的周期为4， ∴，，. ∵时，单调递增， ∴， ∴.故选：C. 当自变量的值较大时，考虑函数的周期性
例11.已知定义在R上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：由题可知函数为奇函数，再结合条件可知函数的周期为2，然后利用函数的单调性可得
解：因为函数的图象关于点对称， 故函数的图象关于原点对称，所以是R上的奇函数， 由可得， 所以的周期为2， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又， 所以.故选：A.
例12.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，，则下面结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据的奇偶性，单调性以及周期性，可将三个函数值 转化到区间中，根据在的单调性即可比较函数值的大小.
解：， 时，单调递增； ， ，单调递增； ，， 综上所述，.故选：A.
例13.已知定义在R上的函数满足，为偶函数，若在内单调递增.记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解析：根据函数的周期性，偶函数的性质进行判断即可.
解：因为，所以函数的周期为， 因此， 因为为偶函数，所以， 所以 ，因为，所以， 所以，而若在内单调递增， 所以，故选：A
例14．已知定义在R上的偶函数满足，且在上递减.若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据题设条件可得函数为周期函数且周期为2，结合函数的奇偶性可得，，再根据函数在上的单调性可得三者之间的大小关系.
解：因为定义在上的偶函数，所以， 因为，所以，即， 所以是以2为周期的周期函数， 又在上递减，所以在递增， 又，， ， 而，在递增， 故，即，故选：A.
15．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：
①对任意的，当时，都有；
②；
③是偶函数；
若，，，
则的大小关系正确的是（ ）
解析：根据题意，由①分析可得函数在区间上为增函数，由②分析可得函数的周期为8，由③分析可得函数的图象关于直线和对称，进而分析可得，，，结合函数在上的单调性，分析可得答案
解：根据题意， 若对任意的，，，当时，都有，则函数在区间上为增函数， 若，则，即函数的周期为8， 若是偶函数，则函数的图象关于直线对称， ，，， 又由函数在区间上为增函数， 则有；故选：．
A． B． C． D．
16．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立.则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
解析：由①②可得函数是周期为4的函数，且是奇函数，由③可得函数在上单调递增，进而可得函数在上单调递增，从而利用周期性和单调性即可求解
解：由题意，因为函数的图象关于y轴对称，所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 又，所以，即， 因为，所以函数是周期为4的函数， 所以，，， 因为，且，所以， 所以函数为奇函数， 又因为对任意的，，，都有成立，即， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 因为，所以，故选：B.
17．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解析：根据已知条件可得在上单调递增，，从而可根据函数的单调性比较大小
解：由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知 ，. 由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增， 所以， 所以.故选：C
18已知定义在上的函数满足下列三个条件：①当时，；②的图象关于轴对称；③，都有.则、、的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
解析：推导出函数为偶函数，结合已知条件可得出，，，利用导数可知函数在上为减函数，由此可得出、、的大小关系.
解：因为函数的图象关于轴对称，则， 故， ， 又因为，都有，所以，， 所以，， ，， 因为当时，，， 当且仅当时，等号成立，且不恒为零，故函数在上为减函数， 因为，则，故.故选：A.
19．已知定义在上的奇函数满足，函数的图像关于对称且函数在区间上单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据函数为奇函数和函数在上单调递增，可以得到函数在上单调递增，进而根据函数的周期性和对称性将函数值化到上，进而比较出大小.
解：由题意，函数周期， 所以， ，而函数图像关于对称，所以， . 又定义在上的奇函数在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即.故选：D.
20．已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：①任意，当时，都有；②；③是偶函数；若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由条件①确实单调性，条件②确定周期性，条件③确定对称性，由对称性和周期性化自变量到区间上，再由单调性得大小关系、
解：因为任意，当时，都有，所以在上是增函数， 因为，所以，是周期函数，周期是8； 由是偶函数，得的图象关于直线对称， ，， 又，所以．故选：C．

展开更多......

收起↑