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第二章 直线和圆的方程 章末测试（基础）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　 　)
A．1　　　　　B．4 C．1或3 D．1或4
2、已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是(　 　)
3、直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　 　)
A．2 B．－3 C.2或－3 D．－2或－3
4、若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5、点(0，1)到直线y＝k(x＋1)的最大距离为(　 　)
A．0 B．1 C. D.
6、点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B连线的中点的轨迹方程是(　 　)
A.＋y2＝4 B.＋y2＝1
C.＋4y2＝1 D.＋y2＝
7、过直线y＝x＋1上的点P作圆C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x＋1对称时，|PC|＝(　 　)
A．1 B．2 C．1＋ D．2
8、由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　 　)
A．1 B．2 C. D．3
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9、已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为 (　 　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
10、下列命题正确的是(　 　)
A．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数
B．方程x＝ty＋m可以表示垂直于x轴的直线
C．直线过不同的两点A，B，则方程＝可以表示平行于x，y轴和经过坐标原点的直线
D．直线方程bx＋ay＝ab不能表示平行于x，y轴的直线
11、已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　 　)
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C．点(，0)到直线l的距离是2
D．过点(2，2)与直线l平行的直线方程是 x－y－4＝0
12、已知一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列说法正确的有(　 　)
A．存在k，使圆与x轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、若直线的倾斜角α满足0<α<，则直线的斜率k的取值范围是___________．
14、不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是___ _____．
15、动点P到点A(8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P的轨迹方程为________．
16、点P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为________．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
18、已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
19、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
20、(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x－y＝0上，且圆C经过点P(2，0)和点Q(－1，)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点M(2，1)且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
21、已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
22、已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长，
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．第二章 直线和圆的方程 章末测试（基础）（答案）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1、若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　A　)
A．1　　　　　B．4 C．1或3 D．1或4
2、已知k＋b＝0，k≠0，则直线y＝kx＋b的位置可能是(　B　)
3、直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝(　C　)
A．2 B．－3 C.2或－3 D．－2或－3
4、若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过(　D　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5、点(0，1)到直线y＝k(x＋1)的最大距离为(　C　)
A．0 B．1 C. D.
6、点在圆x2＋y2＝1上移动时，它与定点B连线的中点的轨迹方程是(　C　)
A.＋y2＝4 B.＋y2＝1
C.＋4y2＝1 D.＋y2＝
7、过直线y＝x＋1上的点P作圆C：(x－1)2＋(y－6)2＝2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于直线y＝x＋1对称时，|PC|＝(　B　)
A．1 B．2 C．1＋ D．2
8、由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为(　C　)
A．1 B．2 C. D．3
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9、已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a的值为 (　AB　)
A.-3 B.3 C.-1 D.1
10、下列命题正确的是(　BCD　)
A．直线斜率是关于直线倾斜角的增函数
B．方程x＝ty＋m可以表示垂直于x轴的直线
C．直线过不同的两点A，B，则方程＝可以表示平行于x，y轴和经过坐标原点的直线
D．直线方程bx＋ay＝ab不能表示平行于x，y轴的直线
11、已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是(　CD　)
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m
C．点(，0)到直线l的距离是2
D．过点(2，2)与直线l平行的直线方程是 x－y－4＝0
12、已知一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4(k∈N*)，下列说法正确的有(　ABD　)
A．存在k，使圆与x轴相切
B．存在一条直线与所有的圆均相交
C．存在一条直线与所有的圆均不相交
D．所有的圆均不经过原点
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13、若直线的倾斜角α满足0<α<，则直线的斜率k的取值范围是____________．
14、不论k为何实数，直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0恒通过一个定点，这个定点的坐标是___(2，3)_____．
15、动点P到点A(8，0)的距离是到点(2，0)的距离的2倍，那么点P的轨迹方程为____x2＋y2＝16____．
16、点P在直线l：x＋y＝2上，过P作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则四边形OAPB面积的最小值为____1____．
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17、已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
解：如图，由题意，知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是45°，直线PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
18、已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.
又因为直线l1过点(－3，－1)，
所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.
(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，
所以直线l1的斜率存在．
所以＝1－a.①
又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，
所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.②
联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
19、已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
所以无论k取何值，直线l总经过定点(－2，1)．
(2)由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)由题意可知k≠0，再由直线l的方程，
得A，B(0，1＋2k)．
依题意得解得k＞0.
因为S＝·|OA|·|OB|＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
当k＞0且4k＝，即k＝时等号成立，
所以Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
20、(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，圆C的圆心在直线x－y＝0上，且圆C经过点P(2，0)和点Q(－1，)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)求经过点M(2，1)且与圆C恰有1个公共点的直线的方程．
解：(1)由圆C的圆心在直线x－y＝0上，设圆心的坐标为(a，a)，半径为r，
则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝r2，
又圆C经过点P(2，0)和点Q(－1，)．
所以解得
所以圆C的标准方程为x2＋y2＝4.
(2)因为圆C的标准方程为x2＋y2＝4，
所以经过点M(2，1)且与圆C恰有1个公共点的直线与圆C相切．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为x＝2，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为y－1＝k(x－2)，
所以圆心到直线的距离d＝＝2，得k＝－，
所以直线的方程为y－1＝－(x－2)，整理得3x＋4y－10＝0.综上，直线的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.
21、已知方程(2＋λ)x－(1＋λ)y－2(3＋2λ)＝0与点P(－2，2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4.
解：(1)显然2＋λ与－(1＋λ)不可能同时为零，故对任意的实数λ，该方程都表示直线．
因为方程可变形为2x－y－6＋λ(x－y－4)＝0，
所以解得
故直线经过的定点为M(2，－2)．
(2)证明：过点P作直线的垂线段PQ，由垂线段小于斜线段知|PQ|≤|PM|，当且仅当Q与M重合时，|PQ|＝|PM|，　
此时对应的直线方程是y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.
但直线系方程唯独不能表示直线x－y－4＝0，
所以M与Q不可能重合，|PM|＝4，
所以|PQ|<4，故所证成立．
22、已知圆A：x2＋(y＋1)2＝1，圆B：(x－4)2＋(y－3)2＝1.
(1)过圆心A的直线l截圆B所得的弦长为，求直线l的斜率；
(2)若动圆P同时平分圆A与圆B的周长，
①求动圆圆心P的轨迹方程；
②问动圆P是否过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．
解：(1)由题意知，直线l的斜率存在，且圆心A(0，－1)，设直线l的方程为y＝kx－1，由弦长可得圆心B(4，3)到直线l的距离为，
即＝，化简得12k2－25k＋12＝0，
解得k＝或k＝.
(2)①由已知可得|PA|＝|PB|，故圆心P在线段AB的中垂线上．
因为直线AB的斜率为1，所以圆心P所在直线的斜率为－1，且该直线过点(2，1)，所以圆心P在直线x＋y－3＝0上．即动圆圆心P的轨迹方程为x＋y－3＝0.
②动圆P经过定点．设P(m，3－m)，则动圆P的半径为＝，
所以动圆P的方程为(x－m)2＋(y＋m－3)2＝m2＋(3－m＋1)2＋1，
即x2＋y2－6y－8－2m(x－y－1)＝0.
由得
或
故动圆P过定点(2＋，1＋)，(2－，1－)．

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