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第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2 双曲线的简单几何性质
（第二课时）
学习目标
1 巩固对双曲线简单几何性质的理解；
2 会应用双曲线的简单几何性质解决相关问题.
图象 范围 对称性 顶点 渐近线
离心率
或
或
关于坐标轴和原点都对称
双曲线的简单几何性质
性质
双曲线
关于坐标轴和原点都对称
一 新课引入
二)讲授新课
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面.它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25 m，高为55 m.试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m)．
分析 建立如图所示的平面直角坐标系,使线段A′A
在x轴上，其中点是坐标原。
设所求双曲线方程为： -=1
线段A′A 为实轴，所以a=6;又B,C两点
都在双曲线上，所以
例5 动点M(x, y)与定点F(4, 0)的距离和M到定直线
l : x= 的距离的比是常数 求动点M的轨迹.
分析：如图，设d为M到定直线
l : x= 的距离，
由题意，=
= ,两边平方并整理得：
- =1
这里a2=9,b2=7,c=4,
∴e=
定直线l : x= =
原题可这样叙述：平面内的动点M(x, y)到定点F(c, 0)的距离与它到定直线l : x=的距离的比是常数e (e>1),则点M的轨迹是双曲线.
或者 平面内的动点M(x, y)到定点F(-c, 0)的距离与它到定直线l : x=-的距离的比是常数e(e>1),则点M的轨迹是双曲线.
例6 如图所示，直线l 过双曲线=1的右焦点F2, 倾斜角为，且 与双曲线=1
交于A,B两点，求∣AB∣的长。
分析：A,B两交点的坐标就是直线l
的方程与 双曲线的方程联立而成
的方程组的解。因此可以通过
解联立方程组的办法求A,B两点的
坐标。F2 (3,0 ) , 直线l :y=(x-3)
y=(x-3)
联立
=1
5x2+6x-27=0
x=-3或x=
∴∣AB∣= ∣-3-∣
= =
注： 弦长公式
∣AB∣=∣∣
= ∣∣
=
三 课堂练习
双曲线=1的两个焦点F1 ,F2,点P在双曲线上若PF1 PF2, 求P到x轴的距离
分析：在直角三角形PF1 F2 中，
∣PF1 ∣2+∣PF2 ∣2 =4c2
（∣PF1 ∣-∣PF2 ∣）2
+2∣PF1 ∣ ∣PF2 ∣=100
即36+2∣PF1 ∣ ∣PF2 ∣=100
∣PF1 ∣ ∣PF2 ∣=32
x
y
.
F2
F1
O
P
.
.
A
直角三角形PF1 F2 的面积可以是∣PF1 ∣ ∣PF2 ∣，也可以是∣F1F2 ∣ ∣PA ∣（如图所示线段PA是直角三角形PF1 F2 斜边上的高）
即∣PF1 ∣ ∣PF2 ∣=∣F1F2 ∣ ∣PA ∣
32=10∣PA ∣
∣PA ∣=
2 双曲线的焦点到渐近线的距离是定值
分析 不妨设双曲线的标准方程
=1
以F2 (C,0)到渐近线bx-ay=0的距离为例
设点F2 到bx-ay=0的距离d
d==b=定值
其他情况也能得出同样的结论。
四 课堂小结
(1)双曲线的简单几何性质？
(2)上述性质有哪些应用？
五 作业：
课本P126 第 1,2，3题

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