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第三章 圆锥曲线的方程
3.3.2 抛物线的简单几何性质
（第一课时）
学习目标
1 理解并掌握抛物线的简单几何性质；
2 结合抛物线的定义及抛物线的标准方程理解其简单几何性质.
一)新课引入
从抛物线的标准方程: y2 =2px(p>0)，
分析：x逐渐增大时，∣y∣怎么变化？
二)讲授新课
1 范围
以y2 =2px(p>0) 为例：
当x逐渐增大时，
∣y∣也逐渐增大，
某个x值后，增大
速度会加快
，趋近于+∞
如图所示
x
l
F
y
O
2 对称性
以y2 =2px(p>0)为例，设抛物线上任意一点P（x,y），其关于y轴的对称点P1 的坐标（-x,y）,将其代入y2 =2px(p>0)，方程不变，说明抛物线关于关于x轴的对称，也可以从图形上观察得到
注 1 抛物线只有一条对称轴，也是
焦点所在的坐标轴，也是一次项中
字母名称对应的坐标轴。
2 基于1，抛物线没有对称中心，
这与椭圆和双曲线不同。
x
l
F
(x,y)
y
O
3、抛物线的顶点
定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.
如图所示，坐标原点就是抛物线的顶点
x
l
F
y
O
4 离心率e
离心率：抛物线上的点M与焦点F的距离和它到准线的距离d之比 ，叫做
抛物线的离心率，用e表示.
由于 =1，所以e=1
注 对于离心率的定义，椭圆与双曲线是一致的，抛物线与其不同；综合三者的离心率范围，它们的并集是（0，+∞）
方程
图形
范围
对称性 顶点 y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
l
F
y
x
O
x≥0, y∈R
x≤0, y∈R
x∈R, y≥0
x∈R, y≤0
l
F
y
x
O
关于x轴对称
关于y轴对称
(0,0)
以表格的形式表述不同类型的抛物线简单几何性质
例3 已知抛物线关于轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点，求它的标准方程.
分析：由已知可设抛物线的标准方程为
点抛物线上，则
所求抛物线的标准方程为
例4 斜率为1的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
分析 由题意可知，，
∴焦点，准线方程 .
设,两点
到准线的距离分别为.
由抛物线的定义，可知
，
于是
l
F
A
A′
x
y
B
B′
┑
┑
∵直线的斜率为1，且过焦点，
∴直线的方程为
将直线的方程与联立，
得，
化简，得
由韦达定理，
=6
∴ =+2=8
所以，线段AB的长是8.
三 巩固练习
1.已知抛物线关于坐标轴对称,顶点在坐标原点,且过点,求它的标准方程.
2.求适合下列条件的抛物线的标准方程
(1)关于x轴对称，并且经过点M(5,-4);
(2)关于y轴对称，准线经过点E(5,-5);
(3)准线在y轴的右侧，顶点到准线的距离是4
(4)焦点在y轴的负半轴上，经过横坐标为16的点P, 且FP平行于准线.
分析：
1 由已知，点在第四象限，抛物线的焦点可能在x轴上，开口向右；也可能在y轴上，开口向下。
所以，可设抛物线的标准方程分别是：
或者：
将的坐标分别代入上述两式，
即可求得：
或
2 （1）
（2）
（3）
（4）
四 课堂小结
(1)抛物线的简单几何性质？
(2)抛物线的标准方程与椭圆抛物线的简单几何性质的关系？
五 作业：
课本P138 练习 第 1，2， 3题

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