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43（难点20）指数型函数的性质应用
基础知识
本节主要涉及指数型函数恒过定点问题，求指数型函数的值域问题，确定指数型函数的单调性及单调区间问题具体解题方法见解析
例题讲解
类型一：指数形函数过定点问题
例1.函数的图像恒过定点P，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．9 D．16
例2.已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．9
例3．当 且 时，函数的图象一定过点（ ）
A． B． C． D．
例4．设则函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
例5.已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
类型二：指数型函数的值域问题
例6.已知函数的图象过定点，则在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
例7.已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
例8.当时，函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例9.若，则函数的最小值为
A． B．
C． D．0
例10.已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
类型三：指数型函数的单调性
例11.已知函数，则函数（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
例12.函数（为自然对数的底）的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例13.若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例14.已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
例15.已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
43（难点20）指数型函数的性质应用
基础知识
本节主要涉及指数型函数恒过定点问题，求指数型函数的值域问题，确定指数型函数的单调性及单调区间问题具体解题方法见解析
例题讲解
类型一：指数形函数过定点问题
例1.函数的图像恒过定点P，若，则的最小值是（ ）
A．4 B．3 C．9 D．16
解析：由已知定点坐标为，从而可得，再根据结合基本不等式即可得出答案.
解：由已知定点坐标为，由点在直线上， ，即， 又，，， 当且仅当，即，时，取等号． 所以的最小值是9.故选：C.
例2.已知函数，且）的图象恒过定点，若点在椭圆上，则的最小值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．9
分析：由题知,进而得且,再结合基本不等式”1”的用法求解即可.
解：由于函数，且）向右平移两个单位得：，且），即为函数，且），所以定点， 由于点在椭圆，所以，且 所以， 当且仅当，即时取等号.故选：D
例3．当 且 时，函数的图象一定过点（ ）
A． B． C． D．
分析：计算当时，得到答案.
解:函数，当时， 故函数图像过点 故选
例4．设则函数恒过定点（ ）
A． B． C． D．
分析：根据指数函数和对数函数的图象与性质，即可求出所过的定点坐标.
解：令得， 故函数恒过定点，故选B．
例5.已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
解析：由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可
解：令得,故定点为, 所以由三角函数定义得， 所以故选：D
类型二：指数型函数的值域问题
例6.已知函数的图象过定点，则在上的值域是（ ）
A． B． C． D．
解析：先求得定点，然后结合指数函数、二次函数的性质求得正确答案.
解：函数的图象过定点，所以， ， 由于，所以， 所以.故选：B 构造函数是关键
例7.已知函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
解析：由于，进而得，即函数的值域是
解：因为, 所以 所以函数的值域是故选：B
例8.当时，函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
解析：采用换元法，令且，则函数转化为，进而求出二次函数在上的值域即可.
解：令，因为，所以，则，且对称轴为，开口向上，所以时单调递减，时，单调递增，时，，时，，故函数的值域为，故选：A
例9.若，则函数的最小值为
A． B．
C． D．0
解析：采用换元法
解：,，设，则，则，当时，有最小值，即函数的最小值为，故选D.
例10.已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
解析：根据给定条件换元，借助二次函数在闭区间上的最值即可作答.
解：依题意，函数，，令，则在上单调递增，即， 于是有，当时，，此时，， 当时，，此时，， 所以函数的值域为.故选：B
类型三：指数型函数的单调性
例11.已知函数，则函数（ ）
A．是偶函数，且在上单调递增
B．是奇函数，且在上单调递减
C．是奇函数，且在上单调递增
D．是偶函数，且在上单调递减
解析：由偶函数的定义判断函数的奇偶性，结合指数函数的单调性判断函数的单调性.
解：∵ ∴， ∴ 函数为偶函数， 当时，， ∵ 函数在上单调递增，函数在上单调递减， ∴在上单调递增， 即函数在上单调递增.故选：A.
例12.函数（为自然对数的底）的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：根据复合函数的单调性求解．
解：在上递减，在上递增， 又是减函数， ∴所求增区间是．故选：A．
例13.若函数的值域是，则的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：令，根据的值域是，得到的值域是，再利用二次函数的性质求得a，然后再利用复合函数的单调性求解.
解：令 由于的值域是，所以的值域是 因此有，解得 这时， 由于的单调递减区间是，在R上递减； 所以的单调递增区间是答案：A
例14.已知定义在上的奇函数和偶函数满足（且），若，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
解析：根据函数的奇偶性用方程法求出的解析式，进而求出，再根据复合函数的单调性，即可求出结论.
解：依题意有， ① ， ② ①②得，又因为， 所以，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故选:D.
例15.已知函数，若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：利用导数使得函数，在区间单调递增；同时也要根据指数型复合函数的单调性，保证在区间上单调递增；最后再保证在分割点处，使得的函数值小于等于的函数值即可.
解：由题知，，即； 由得 只需保证在上恒成立，则在上恒成立，即； 又函数在上单调递增，则需满足， 综上，实数的取值范围是. 故选：C.

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