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36.函数的性质周期性
基础知识
1.定义
设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2.周期性的理解
可理解为间隔为的自变量对应的函数值相等即：
3.若是一个周期函数，其周期为则也是的一个周期
4.最小正周期：由第3条可知，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数无最小正周期
5.函数周期性的判定：
的周期为
的周期为
的周期为
(C为常数) 的周期为
的周期为
的周期为
的周期为
的周期为
（它是周期函数，一个周期为6）
有两条对称轴 和（ 周期
有两个对称中心和 周期
有一条对称轴和一个对称中心 周期
奇函数满足 周期。
偶函数满足 周期。
6.双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7.函数周期性的作用：简而言之只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
例题讲解
类型一：函数的周期性（利用周期性求函数值）
例1.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
例2.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
例3.(全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．
若，则
A． B．0 C．2 D．50
例4.(江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
例5.设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ．
例6.(湖南)已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且
=，＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
例7.已知函数，则
A． B．0 C．1 D．2
例8.已知函数，，则
A． B． C． D．
类型一：复合函数的周期性（利用周期性求函数值）
例9.定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．
例10.若函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．10 C．4 D．2
例11.已知是定义在上的奇函数，且 ，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
例12.定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．0 B． C．1 D．不确定
例13.已知定义在R上的函数f(x)，则"的周期为2"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
36.函数的性质周期性
基础知识
1.定义
设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期
2.周期性的理解
可理解为间隔为的自变量对应的函数值相等即：
3.若是一个周期函数，其周期为则也是的一个周期
4.最小正周期：由第3条可知，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常函数无最小正周期
5.函数周期性的判定：
的周期为
的周期为
的周期为
(C为常数) 的周期为
的周期为
的周期为
的周期为
的周期为
（它是周期函数，一个周期为6）
有两条对称轴 和（ 周期
有两个对称中心和 周期
有一条对称轴和一个对称中心 周期
奇函数满足 周期。
偶函数满足 周期。
6.双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）
① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期
分析：关于轴对称
关于轴对称
的周期为
② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期
③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期
7.函数周期性的作用：简而言之只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值
（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”
（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）
（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴 （或对称中心），则 存在无数条对称轴，其通式为
证明：关于轴对称
函数的周期为
关于轴对称
注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法
例题讲解
类型一：函数的周期性（利用周期性求函数值）
例1.（2022·新高考Ⅱ卷T8） 若函数的定义域为R，且，则（ ）
A. B. C. 0 D. 1
解析：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
解：因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为． 因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以． 故选：A．
例2.(2021年全国新高考2卷数学试题)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则( )
A. B. C. D.
解析：推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
解：因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选：B.
例3.(全国卷Ⅱ)已知是定义域为的奇函数，满足．
若，则
A． B．0 C．2 D．50
解析：由是定义域为的奇函数及推出函数是以4位周期的周期函数
解：∵是上的奇函数，则．且 ∵，∴，，∴，∴， ∴是周期函数，且一个周期为4，∴，， =，
例4.(江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
解析：根据周期性求函数值
解：因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以
例5.设是定义在上的周期为2的函数，当时，，则 ．
解析：根据周期性求函数值
解：
例6.(湖南)已知分别是定义在上的偶函数和奇函数，且
=，＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
解析：根据奇偶性求函数值
解：用换，得，化简得，令，得，故选C．
例7.已知函数，则
A． B．0 C．1 D．2
解析：对数型函数判断奇偶性经常采用相加的方法判定，其定义域为R关于原点对称
解：
例8.已知函数，，则
A． B． C． D．
解析：令则为切入点
解：因为，又因为，所以，所以3，故选C．
类型一：复合函数的周期性（利用周期性求函数值）
例9.定义在R上的函数满足，且函数为奇函数．当时，，则（ ）
A．－2 B．2 C．3 D．
解析：由函数的对称性可以找到函数的周期，然后通过周期性和对称性即可求出的值.
解：由可得，函数关于对称，函数为奇函数，所以，所以函数关于对称，则有，即，又， ，的周期为4. .故选：D.
例10.若函数满足，且当时，，则（ ）
A． B．10 C．4 D．2
解析：首先得到的周期，再根据函数的周期性计算可得
解：由，得， ∴函数是周期函数，且4是它的一个周期， 又当时，， ∴；故选：B.
例11.已知是定义在上的奇函数，且 ，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：先根据得到是周期函数，由对数的运算性质可以得到 ，再根据是奇函数得到，再代入解析式计算即可得到答案
解：，是周期为的函数 又是定义在上的奇函数 当时， 故选：A
例12.定义域为R的奇函数满足，则（ ）
A．0 B． C．1 D．不确定
解析：根据奇函数的性质，结合已知等式可以求出函数的周期，利用周期进行求解即可.
解：因为函数是奇函数， 所以， 所以由 ，所以该函数的周期为， 所以， 故选：A
例13.已知定义在R上的函数f(x)，则"的周期为2"是""的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：根据，可得f(x)的周期为2，又由时，f(x)的周期为2，则x取整数时，，和无意义.根据充分必要条件的定义可判断得选项．
解：当成立时，有，则f(x)的周期为2， 所以""是"的周期为2"的必要条件， 而当时，f(x)的周期为2，则x取整数时，，无意义. 所以"的周期为2"是""的必要不充分条件， 故选：B．

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