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直线与椭圆的斜率定值问题
方案一：通法
本类问题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．
例1.已知椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
练习1.已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
法二：构建斜率的齐次式
例2.已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率为的两条直线分别交于异于点的两点.证明：当时，直线过定点．
练习2. 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．求l的斜率；
反思练习
1.已知椭圆经过两点，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
2.已知椭圆， ，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
3.已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
直线与椭圆的斜率定值问题解析
方案一：通法
本类问题主要考查的是椭圆的几何性质，直线和椭圆的位置关系及直线斜率，直线相交的问题，属于难题．解决第二问时，涉及直线较多，采用设两条直线斜率，表示另外两条的方法，控制引入未知数个数，然后利用直线相交，表示交点坐标，需要较强的类比推理能力及运算能力，还要注意斜率是否存在，要有较强的分类讨论意识．
例1.已知椭圆C：的离心率为，且过点．
Ⅰ 求椭圆C的方程；
Ⅱ 若是椭圆C上的两个动点，且使的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.
【答案】Ⅰ ；（Ⅱ）
【分析】
（I）由离心率可得关系，再将点坐标代入，可得间关系，又，解方程可得的值；
（II）由的角平分线总垂直于轴，可判断直线的斜率互为相反数，由两直线都过点，由点斜式可写出直线方程．一一与椭圆方程联立，消去或的值，可得一元二次方程，又点满足条件，可求得点的坐标，用表示．再由斜率公式可得直线的斜率为定值．
【详解】
(Ⅰ) 因为椭圆的离心率为, 且过点,
所以, . 因为,
解得, ,
所以椭圆的方程为.
(Ⅱ)法1：因为的角平分线总垂直于轴,
所以与所在直线关于直线对称.
设直线的斜率为, 则直线的斜率为.
所以直线的方程为,
直线的方程为.
设点, ,由消去,
得. ①
因为点在椭圆上, 所以是方程①的一个根,
则, 所以.
同理.所以.
又.
所以直线的斜率为.
所以直线的斜率为定值，该值为.
法2：设点，
则直线的斜率, 直线的斜率.
因为的角平分线总垂直于轴, 所以与所在直线关于直线对称.
所以, 即, ①
因为点在椭圆上,
所以，② . ③
由②得, 得, ④
同理由③得, ⑤
由①④⑤得,
化简得, ⑥
由①得, ⑦
⑥⑦得.
②③得,得.
所以直线的斜率为为定值.
法3：设直线的方程为，点，
则,
直线的斜率, 直线的斜率.
因为的角平分线总垂直于轴,
所以与所在直线关于直线对称.
所以, 即,
化简得.
把代入上式, 并化简得
. (*)
由消去得, (**)
则,
代入(*)得,
整理得,
所以或.
若, 可得方程(**)的一个根为，不合题意.
若时, 合题意.
所以直线的斜率为定值，该值为.
练习1.已知椭圆（）的离心率为，、是椭圆C的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若Q是椭圆C上的一个动点，点M，N在椭圆上，O为原点，点Q，M，N满足，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）是定值，且定值为．
【分析】
（1）根据题意列出关于，，的方程组，解出，，的值，即可求出椭圆方程；
（2）设，，，，，，所以，，，由得，代入得，所以，即，从而得到直线与直线的斜率之积为定值，且定值为．
【详解】
解：（1）由题意可知：，解得，
∴椭圆C的方程为：；
（2）设，，，
∴，，，
∵，
∴，∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为．
方案二：构建斜率的齐次式
例2.已知中心在原点的椭圆的左焦点为，与轴正半轴交点为，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率为的两条直线分别交于异于点的两点.证明：当时，直线过定点．
解：（1）由题意得得
（2）由得
设，，则，
令，则,,
设
由
，即
则，
，
直线过定点
练习2. 已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．求l的斜率；
解：把代入得，，解得，
设，，，即
令，则，
设，
由
，，
即，
，则
，即，
反思练习
1.已知椭圆经过两点，为坐标原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，且与圆相交于两点，试问直线与的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】（1）；（2）为定值，
【分析】
（1）将两点坐标代入椭圆方程，建立的方程组，即可求出结论；
（2）先求出直线斜率不存在时的值，当直线斜率存在时，设其方程为，与椭圆方程联立，根据已知求出关系，再将直线与圆方程联立，根据根与系数关系将坐标用表示，进而求出，即可得出结论.
【详解】
（1）依题意，，解得，
所以椭圆方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为.
若直线l的方程为，则M，N的坐标为，
.
若直线l的方程为，则M，N的坐标为，
.
当直线l的斜率存在时，可设直线，
与椭圆方程联立可得，
由相切可得，
.
又，消去得
，
设，，则
∴，
.
故为定值且定值为.
综上，为定值且定值为.
2.已知椭圆， ，左、右焦点为，点在椭圆上，且点关于原点对称，直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知直线经过点，且与椭圆交于不同的两点，若，判断直线的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）直线的斜率为定值
【分析】
（1）利用斜率乘积为，，可构造出方程组，求解得到和，从而可得椭圆标准方程；（2）联立直线与椭圆方程，可得关于的一元二次方程；利用判别式大于零可求得的取值范围；利用韦达定理表示出和；根据，可得到；利用向量数量积坐标运算，代入韦达定理整理得到，解方程可求得结果.
【详解】
（1）由题意知：，又，
可得：，，
椭圆的方程为：
（2）设直线的方程为：
将其代入，整理可得：
则，得：
设，
则，
又，且
又，
所以
又，
化简得：，解得：
直线的斜率为定值
3.已知椭圆（）的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（）与椭圆交于两点，记直线的斜率分别为，试探究是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】(1) (2) 为定值，该定值为0.
【解析】
试题分析：（1）由椭圆的离心率公式，求得a2=4b2，将M代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）将直线l：代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可取得k1+k2=0．
试题解析：
（1）依题意，
解得，故椭圆的方程为；
（2）法一：，下面给出证明：设， ，
将代入并整理得，
，解得，且
故，，
则，
分子=
，
故为定值，该定值为0.
法二：，证明如下:
设，，，即令，则，设，
由
，，
即，
∵，∴，
故为定值，该定值为0.

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