资源简介

三角函数求参数问题解析
三角函数中的参数范围问题是三角函数中中等偏难的问题，很多同学由于思维方式不对，导致问题难解。此类问题主要分为五类，它们共同的方法是将相位看成整体，结合正弦函数或余弦函数的图像与性质进行求解。
类型一 的取值范围与单调性相关
方法提示：含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.
例1将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
例2 若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
自主练习
1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
类型二 的取值范围与三角函数的最值
方法提示：不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
例1.已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
自主练习
1.已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2.设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
类型三 三角函数的零点与的取值范围
方法提示：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
例1.设函数，若函数恰有5个零点，，，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例2（多选）设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A.在有且仅有2个零点
B．在单调递增
C．的取值范围是
D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
自主练习
1.已知函数，若方程在上有且只有四个实根数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
类型4 三角函数的极点与的范围
方法提示：极点=最值点=对称轴
例1（多选）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上至多有2个极大值点
例2已知函数在区间上至少有个不同的极小值点，则的取值范围是____．
自主练习
1.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
五．三角函数的性质综合与w的范围
方法提示：函数的性质：
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数；
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为；
（3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；
（2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴．
例1.（多选）已知函数为偶函数，点、是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．在区间上单调递增
例2.（多选）在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
自主练习
1.已知函数，且的图像平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
综合练习
1．已知函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2.已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5.已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数的图象关于中心对称
B．函数在区间内有个零点
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
三角函数求参数问题解析
三角函数中的参数范围问题是三角函数中中等偏难的问题，很多同学由于思维方式不对，导致问题难解。此类问题主要分为五类，它们共同的方法是将相位看成整体，结合正弦函数或余弦函数的图像与性质进行求解。
类型一 的取值范围与单调性相关
方法提示：含参数的正弦型函数，若已知其在某区间上的单调性，求参数的取值范围时，一般先求出单调区间的一般形式，再根据包含关系可求参数的取值范围.
例1将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的图象，若函数在上单调递减，则正数的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】
先根据图象变换得到的解析式，根据可得此函数单调减区间的一般形式，根据其在上的单调性可求正数的范围，故可得正确的选项.
【详解】
，故，
令，故，故存在，使得，故即，解得，故正数的最大值为.故选：A.
例2 若在上是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，由辅助角公式可得：
令，解得：，
则函数的单调减区间为，
又在上是减函数，则，当时，函数的单调减区间为， ，解得：，故答案选D。
自主练习
1．若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用，得，再根据单调性，得，列不等式求解.
【详解】当时，，因为在上单调递增，所以，得，又，则．故选：D
2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数，
则f′（x）＝﹣sin2x﹣2a（cosx﹣sinx）+4a﹣3．
∵函数f（x）在上单调递增，可得f′（x）≥0，
令t＝cosx﹣sinx（x）∈[﹣1，1]，则sin2x= 1﹣t2
即t2﹣2at+4a﹣4≥0在[﹣1，1]恒成立，
∴a，不等式右边的最大值为，∴a≥．故选：A．
类型二 的取值范围与三角函数的最值
方法提示：不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图像在 上方即可)；
③讨论最值或恒成立.
例1.已知同时满足下列三个条件：①；②是奇函数；③.若在上没有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，可得，因为是奇函数，所以是奇函数，即 又因为，即
所以是奇数，取k=1，此时所以函数
因为在上没有最小值，此时
所以此时 ，解得.故选D.
例2.图象向右平移个单位所得到的函数为偶函数.若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由是对称中心，可得，由平移后的函数为偶函数可得，可求得的关系式及，由代入可知恒成立，转化为恒成立，结合可求得实数m的取值范围.
【详解】
是函数（）的一个对称中心，①
的图像向右平移个单位得到的函数为，
为偶函数，②
由①②可知，，解得：
又
所以对任意，不等式恒成立，即恒成立
即恒成立，又且，
，解得：所以实数m的取值范围是
故选：B
自主练习
1.已知函数，，且在区间上有最小值，无最大值，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为，且，
又在区间内只有最小值，没有最大值，所以在处取得最小值，所以，所以，
当时，，此时函数在区间内存在最大值，故，故选C.
2.设函数在区间上单调，且，当时，取到最大值2，若将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍得到函数的图像，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
首先设函数，由条件确定周期和的范围，再利用对称性求出对称中心和对称轴，求，代入求，利用伸缩变换求，最后解不等式.
【详解】
函数的最大值为2，，在区间上单调，所以，即， ，即，，是函数的对称轴，，是函数的对称中心， 和是函数相邻的对称轴和对称中心，，得，当时，取到最大值2，，，当时，，，根据题意可知，，
，解得：，.
的解集是.
故选：A
类型三 三角函数的零点与的取值范围
方法提示：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
例1.设函数，若函数恰有5个零点，，，，，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由已知可得有5个根，作出的图像，利用正弦型函数图像的对称性，找出间的关系，即可求得结果.
【详解】
由函数恰有5个零点，知有5个根，
由五点法作图，
0 2π
x
0 1 0 0
如图，可知过点，，，
又
则，，，;
故选：D.
例2（多选）设函数，已知在有且仅有5个零点，则下列结论成立的有（ ）
A.在有且仅有2个零点
B．在单调递增
C．的取值范围是
D．将的图象先右移个单位，再纵坐标不变，横坐标扩大为原来的2倍，得到函数
【答案】BC
【分析】
首先利用图象直接判断A选项；再利用函数在有且仅有5个零点，求得的范围，并利用整体代入的方法判断B选项；最后利用图象的变换规律，求得变换之后的解析式，判断D.
【详解】
A.如图，上函数仅有5个零点，但有3个最小值点，这3个最小值点就是在上的3个零点；
B.时， 若函数在有且仅有5个零点，则，得，当时，，此时函数单调递增，故BC正确；
D. 函数的图象先右移个单位后得到，再将横坐标扩大为原来的2倍，得到，故D不正确；故选：BC
自主练习
1.已知函数，若方程在上有且只有四个实根数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
因为，方程在上有且只有四个实数根，即在上有且只有四个实数根，设，因为，所以，所以，解得，故选B.
2.已知函数的图象经过点和.若函数在区间上有唯一零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，，得，故，因为，，所以.由，得，因为，故，所以，从而当时，，令，则由题意得在上有唯一解，故由正弦函数图象可得或，解得.故选D
类型4 三角函数的极点与的范围
方法提示：极点=最值点=对称轴
例1（多选）设函数，已知在有且仅有2个极小值点，下述选项错误的是（ ）
A． B．在上单调递增
C．在上单调递减 D．在上至多有2个极大值点
【答案】B
【分析】利用已知条件求出的范围，判断A；利用函数的单调性判断B、C；函数的极大值判断D.
【详解】
由题，因为在有且仅有2个极小值点，所以，即，因为，所以，故A正确；因为，所以，因为在单调递增，只有当时在单调递增才成立，故B错误；因为在单调递减，所以在上单调递减，故C正确；因为，两端点取不到，且，所以在至多有2个极大值点，故D正确.故选：B
例2已知函数在区间上至少有个不同的极小值点，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】设，由可得,
作出的图像如下：
结合图像，当函数在区间上有个不同的极小值点时，
且，解得；当有个以上不同的极小值点时，，解得.综上可得的取值范围是.
自主练习
1.若函数在区间内恰有两个极值点，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函数图像如图所示，
因为，所以
由图得当是A的横坐标，是B的横坐标时，函数满足，在之间只有一个极值点，但是只要x的范围向左右扩展一点，则有两个极值点，所以.
当是O的横坐标，是C的横坐标时，函数满足，在之间有两个极值点，所以.所以.故选：D
2.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 在区间上是增函数，
∴ ，∴得不等式组，又∵ω＞0，∴；因函数在x= 处取得最大值，可得0≤≤π，∴ω≥，综述可知.
五．三角函数的性质综合与w的范围
方法提示：函数的性质：
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数；
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为；
（3）单调性：根据和的单调性来研究，由得单调增区间；由得单调减区间；
（2）对称性：对称中心：利用的对称中心为求解，令，求得；
对称轴：利用的对称轴为求解，令得其对称轴．
例1.（多选）已知函数为偶函数，点、是图象上的两点，若的最小值为，则下列说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．在区间上单调递增
【答案】AC
【分析】
求出函数的最小正周期，可求出的值，可判断A选项的正误；根据函数为偶函数可求出的值，可判断B选项的正误；求出的值，可判断C选项的正误；利用余弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，点、是图象上的两点，
可得，若的最小值为，则函数的最小正周期为，，A选项正确；对于B选项，，由于该函数为偶函数，则，可得，，，B选项错误；
对于C选项，若，则，则；
若，则，则.C选项正确；
对于D选项，取，则，取，则，当时，，此时，函数在区间上单调递减，D选项错误.故选：AC.
例2.（多选）在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（ ）
A．在区间上的单调性无法判断
B．图象的一个对称中心为
C．在区间上的最大值与最小值的和为
D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则
【答案】BC
【分析】根据条件求出，然后利用正弦型函数的图象及其性质逐一判断即可.
【详解】由题意得，即，
又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，所以，所以
所以只有时满足，此时，即，
因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；因为，所以
，所以最大值与最小值之和为，故C正确；将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，
即，故D错误.综上，BC正确
自主练习
1.已知函数，且的图像平移个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
①将的图像向左平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，，可得则的最小值为；
②将的图像向右平移个单位，得到，因为平移后图像关于对称，带入得，，可得则的最小值为；综合①②可知，的最小值为
故选C项.
2.已知函数(，，)，满足且对于任意的都有，若在上单调，则的最大值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【分析】
由函数的对称性可得、，两式相减进一步化简可得，根据正弦型函数的单调性得，代入周期计算公式可得，取验证函数的单调性即可.
【详解】
由于，则关于对称，即是函数的一条对称轴，，①
，②
①-②得，
令，，则，，
，，的最小正周期，
在上单调， ，
，解得，
当时，，则②式为，，
又，，此时，
当时，，
在上不单调，不符合题意舍去；
当时，，则②式为，，
又，当时， ，此时，
当时，，单调递增；
当时，，此时，
当时，，单调递减.
的最大值为9.故选：C
综合练习
1．已知函数，是的零点，直线是图象的对称轴，且在上单调，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据已知可得ω为正奇数，且ω≤4，结合x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，求出满足条件的解析式，并结合f（x）在上单调，可得ω的最大值．
【详解】
由对称轴和零点可知，得到 ①
由在区间上单调可知，得到 ②
由①②可知可能取3.当时，可得，满足在上单调，所以满足题意，故的最大值为3.故选：C.
2.已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，得到，根据函数在区间上单调递减，由 和求解.
【详解】
因为，所以，因为函数在区间上单调递减，所以 即，又因为在上递减，所以，所以，，可得，由，解得，且，则.所以，，所以实数的取值范围是
故选：A．
3.已知函数在区间上是增函数，其在区间上恰好取得一次最大值2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 在区间上是增函数，
故得到
当时，，函数在区间上恰好取得一次最大值，故得到 综上：故答案为：A.
4.已知函数，函数有三个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意做出函数在定义域内的图像，将函数零点转化成函数与函数图像交点问题，结合图形即可求解.
【详解】
解：根据题意画出函数的图象，如图所示：
函数有三个零点，等价于函数与函数有三个交点，
当直线位于直线与直线之间时，符合题意，由图象可知：，，所以，故选：D.
5.已知函数，点，分别为图像在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点，为坐标原点，若为锐角三角形，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，，，
因为为锐角三角形.所以，，
即，，从而，故选B.
6.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．函数的图象关于中心对称
B．函数在区间内有个零点
C．函数的图象关于直线对称
D．函数在区间上单调递增
【答案】B
【分析】
求出的值，利用正弦型函数的对称性可判断AC选项的正误；在区间上解方程，可判断B选项的正误；利用正弦型函数的单调性可判断D选项的正误.
【详解】
由的图象相邻两条对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为，
可得，所以，.
A中，，A错误；
B中，当时，，当或或或时，
即当或或或时，，B正确；
C中，，C错误；
D中，当时，，
所以，函数在区间上不单调，D错误.故选：B.

展开更多......

收起↑