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25.（难点12）由分段函数中的值域及单调性确定参量取值范围
基础知识
1.由分段函数中的单调性确定参量取值范围
解题方法：（1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件
①在上单调递增
②在上单调递增
③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值）
（2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件
①在上单调递减
②在上单调递减
③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值）
2.由分段函数中的值域确定参量取值范围
解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步
的值域为
首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来
其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围
最后通过的范围确定出参量的取值范围
例题讲解
类型Ⅰ由分段函数中的单调性确定参量取值范围
例1.若函数的单调递增区间是，则=________．
例2.已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________
例3．若函数在上为单调递增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
例5.设函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例6.已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
类型Ⅱ由分段函数中的值域确定参量取值范围
例7.（2022·北京卷T14）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
例8.（2022·浙江卷T14） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
例9.若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是 ．
例10.若函数的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
例11.若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
25.（难点12）由分段函数中的值域及单调性确定参量取值范围
基础知识
1.由分段函数中的单调性确定参量取值范围
解题方法：（1）若已知分段函数在定义域上是单调递增确定参数的取值范围需要满足三个条件
①在上单调递增
②在上单调递增
③在连接点必有（即左端的值小于等于右端的值）
（2）若已知分段函数在定义域上是单调递减确定参数的取值范围需要满足三个条件
①在上单调递减
②在上单调递减
③在连接点必有（即左端的值大于等于右端的值）
2.由分段函数中的值域确定参量取值范围
解题方法：已知函数的值域（常见题型如下）确定参数的取值范围需要以下几步
的值域为
首先把分段函数中的一段具体函数的值域求出来
其次根据已知条件函数的值域为，由确定出的范围
最后通过的范围确定出参量的取值范围
例题讲解
类型Ⅰ由分段函数中的单调性确定参量取值范围
例1.若函数的单调递增区间是，则=________．
解析：先取绝对值写成分段函数，在找出其单调递增区间
解：因为 可知的单调递增区间为 所以．
例2.已知函数，若在单调递增，则实数的取值范围是_________
分析：若在单调增，则在上任取，均有所以在每一段的解析式是单调递增的,并且当不在同一段取值是，在分界点处必有左段右端，才能保证在在单调增
解：因为在单调增 由此可得： 又将分界点代入得有 所以 答案：
例3．若函数在上为单调递增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
分析：在上为单调递增函数，只需递增，以及右段函数图像的最低点不低于左段函数图像的最高点，即可求出结论.
解:函数在上为单调递增函数， 需，解得. 故选:A.
例4．若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A．， B． C．， D．
分析：由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.
解：根据题意，任意实数都有成立， 所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是：,. 故选：D.
例5.设函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
解析：当时，分和两种情况，由，得出的取值范围，当时，，单调递增，则，解出范围，再取交集即可．
解：解：（1）当时，，对称轴为， ①若，即时，， 由恒成立，得， 所以，恒成立，所以， ②若，即时， ， 由恒成立，得， 所以，得（舍去）， 所以 （2）当时，，单调递增， 由恒成立，，解得， 综上所述，，实数的取值范围为， 故选：C．
例6.已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
解析：分函数在R上的单调递减和单调递增求解.
解：当函数是R上的单调递减函数， 所以，解得， 因为且， 所以当时，不可能是增函数， 所以函数在R上不可能是增函数， 综上：实数a的取值范围为， 故选：B
类型Ⅱ由分段函数中的值域确定参量取值范围
例7.（2022·北京卷T14）设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．
解析：根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1
例8.（2022·浙江卷T14） 已知函数则________；若当时，，则的最大值是_________．
解析：结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
解：由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，.
例9.若函数( 且 )的值域是，则实数的取值范围是 ．
解析：分段函数的值域是各段函数值域的并集，转换为根据集合的运算确定参数的范围
解：因为 所以当时， 又函数的值域为， 所以解得， 所以实数的取值范围为
例10.若函数的值域为，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
解析：分别求出和时f(x)的范围，根据两个范围的并集为即可求出a的范围．
解：当时，f(x)=， 当时，f(x)=， 故要使的值域是，则解得． 故选：C．
例11.若函数的值域为R，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：由时，，由题意，当时，，对分和两种情况讨论即可求解.
解：由时，， 因为函数的值域为R，所以当时，， 分两种情况讨论： ①当时， ，所以只需，解得，所以； ②当时，，所以只需，显然成立，所以. 综上，的取值范围是. 故选：D.

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