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40.指数的运算
基础知识
一．指数的性质
整数指数幂
1．整数指数幂概念： ，
2．整数指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）
其中， ．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，
说明：
①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
④ ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 ∴．
分数指数幂
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴ ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：
正数的正分数指数幂的意义是；
正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
例题讲解
例1.若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例2.已知，，则ab=（ ）
A．2 B． C． D．1
例3.已知，，，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
例4.log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ）
A． B．
C． D．
例5.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
例6.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7.函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例8.已知，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
例9.化简，结果是
A． B． C． D．
例10.求解下列问题：
(1)已知，且，求.
(2)已知，求和的值.
例11.已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
例12.（1）；
（2）已知，求和的值.
40.指数的运算
基础知识
一．指数的性质
整数指数幂
1．整数指数幂概念： ，
2．整数指数幂的运算性质：
（1）
（2）
（3）
其中， ．
3．的次方根的概念
一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，
即： 若，则叫做的次方根，
说明：
①若是奇数，则的次方根记作； 若则，若则；
②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根 16的4次方根）
③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；
④ ∴；
⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。 ∴．
分数指数幂
1．分数指数幂：
即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；
如果幂的运算性质对分数指数幂也适用，
例如：若，则，， ∴ ．
即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。
规定：
正数的正分数指数幂的意义是；
正数的负分数指数幂的意义是．
2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即
说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；
（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。
例题讲解
例1.若实数，满足，则的最小值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
解析：由条件结合基本不等式求的最小值.
解：因为，又 所以 所以，当且仅当，时取等号， 所以的最小值为2， 故选：C.
例2.已知，，则ab=（ ）
A．2 B． C． D．1
解析：联立给定等式并变形，再借助指数函数单调性计算作答.
解：因，， 因此有，即， 而函数在R上单调递增，则， 所以. 故选：B
例3.已知，，，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
解析：由已知结合指数的运算可得，，然后根据可求最值．
，，且， ，即， 则， 当且仅当时取得最大值． 故选：B．
例4.log5(log3(log2x))＝0，则等于（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据对数运算公式得到，进而得到，根据指数幂运算可得到结果.
解：∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1， ∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴ 故选：C.
例5.已知，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：结合指数运算、基本不等式、对数运算、比较大小等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
解：因为，所以，所以A错误； 又，所以，又，所以，所以B错误； 因为，所以，又，所以，故C正确； 因为，所以，故只要比较和的大小即可，又，所以，故D错误. 故选: C
例6.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：把等式左边变形为，结合，可得，则答案可求.
解：由， 可得，即．实数的取值范围是． 故选：
例7.函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
解析：化简得，再利用指数函数的性质和不等式的性质逐步求出函数的值域.
， 因为 ， 所以函数的值域为. 故选：C
例8.已知，，则与之间的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法比较
解析：构造函数，得到，然后利用不等式的性质，由与的大小判断
解：设，则， 所以， ， 而， 所以，即， 故选：B
例9.化简，结果是
A． B． C． D．
解析：本题考查分数指数幂的运算，以及平方差公式的运用，其中在凑平方差公式时，乘以一项再除以这一项是解题的关键．
解：原式 故选A
例10.求解下列问题：
(1)已知，且，求.
(2)已知，求和的值.
解析：1）通过平方再开方的运算，化简求得所求表达式的值. （2）通过平方的方法求得所求表达式的值.
解：(1)，， ， . (2)， . ， ， .
例11.已知，且，求下列各式的值：
(1)；
(2)；
(3)．
解析：（1）根据结合已知即可得解； （2）根据结合已知即可得解，注意符号； （3）根据计算即可得解.
解：(1)因为，且， 所以； (2)因为，所以， 则， 因为，所以舍去）； (3).
例12.（1）；
（2）已知，求和的值.
解析：1）由幂的运算性质直接求解； （2）利用完全平方公式即可求解.
解：（1）原式 （2） ∵， ∴由得.

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