资源简介

23（难点10）解分段函数中的不等式及方程
基础知识
1.含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：
一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解
二是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式
2.利用性质（单调性，奇偶性，周期性）分段函数与不等式
（1）函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示
（2）由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法
例题讲解
例1.已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．的解集为 D．若，则x的值是1或
例2.已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例3．函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
例4．(卷1，文15)设函数则使得成立的的取值范围是________.
例5.(新课标Ⅲ)设函数，则满足的的取值范围是___．
例6.已知函数，则不等式的解集是________
例7.已知函数，则不等式的解集为___________
例8.(2014辽宁)已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C. D．
例9.已知函数.若，则的取值范围是
A． B． C． D．
例10.(江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
例11.已知函数，则不等式的解集为___________.
23（难点10）解分段函数中的不等式及方程
基础知识
1.含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：
一种是利用代数手段，通过对进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解
二是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式
2.利用性质（单调性，奇偶性，周期性）分段函数与不等式
（1）函数的奇偶性可以简化运算，而想到这一点是源于抓住所解不等式中的特点。由此可见，有些题目的思路源于式子中的一些暗示
（2）由于两段图像均易作出，所以在判断奇偶性时用的是图像法。对于某些不易作图的分段函数，在判断奇偶性时就需要用定义法
例题讲解
例1.已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．的解集为 D．若，则x的值是1或
解析：根据函数解析式，画出函数图象，结合图象一一判断即可
解：因为，函数图象如下所示： 由图可知，故A错误； 的值域为，故B正确； 由解得，故C错误； ，即，解得，故D错误；故选B
例2.已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
分析：由复合函数和分段函数分类讨论，可化不等式为几个不等式组，解不等式组及可求解.
解： ①当时，，， 不等式 ②当时，，，不等式 ③当时，，， 不等式 ④当时，，， 不等式 综上，不等式的解集为. 故选：C
例3．函数，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
分析：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式
解:（1）当时，，可解得：或。所以或； （2）当时，解得，所以，综上所述： 答案：B
例4．(卷1，文15)设函数则使得成立的的取值范围是________.
分析：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式
解：原不等式等价于或，解得，故的取值范围是.
例5.(新课标Ⅲ)设函数，则满足的的取值范围是___．
解析：首先要把转变为具体的不等式，由于是分段函数，所以要对的范围分类讨论以代入不同的解析式此时分类讨论更为复杂
解：解：（1）当即时， 不等式为恒成立； （2）当即， 不等式恒成立； 当即时， 不等式为，解得，即； 综上，的取值范围为．
例6.已知函数，则不等式的解集是________
解析：要想解不等式，首先要把转变为具体的表达式，对于函数而言自变量为故要对的符号进行分类讨论。
解：（1）当时，，不等式变为： （2）当时，，不等式变为： 答案：
例7.已知函数，则不等式的解集为___________
解析：本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二： 一是要顾及的范围则需要分的情况太多； 二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式不易进行求解。所以考虑的性质求解
解：在R上是增函数则有 ，从而解得：或 答案：
例8.(辽宁)已知为偶函数，当时，，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C. D．
解析：由于为偶函数，和的图像是由 的图像向右平移一个单位，因此只要解出的解集即可
解：（1）当时，令 解得， 当时，令，解得，故． ∵为偶函数 ∴的解集为， 故的解集为
例9.已知函数.若，则的取值范围是
A． B． C． D．
解析：解析：从的特点出发，可以考虑判断的奇偶性
解：通过作图可发现为偶函数，所以，则， 由图像可得只需，即 答案：C
例10.(江苏)函数满足，且在区间上，则的值为 ．
解析：根据周期性把自变量的值转换为已知定义域内自变量的值
解：因为函数满足()，所以函数的最小正周期是4．因为在区间 上，，所以
例11.已知函数，则不等式的解集为___________.
解析：分别在、、和的情况下，根据和的解析式和符号依次求解即可.
解：①当时，，在上单调递增， ，又， 恒成立； ②当时，，， 又，恒成立； ③当时，，，； 恒成立； ④当时，，，， ，解得：， 综上所述：不等式的解集为. 故答案为：.

展开更多......

收起↑