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29.利用函数的单调性解不等式
基础知识
解题方法：利用函数的单调性比较大小主要思路是已知下面的三个选项中任意两个都能得出其余一个的结论即知三推二
①函数在某个区间上的单调性
②在这个区间上的任意两个自变量的大小
③在这个区间上的任意两个函数值的大小
但在利用函数的单调性比较大小时主要还结合函数的奇偶性和对称性等相关性质确定函数的单调性，最后进行大小比较。
例题讲解
例1.已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例2.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例3.已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
例4.若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例5.定义在上的函数其导函数恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例6.已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
例7.已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
例8.已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例9.已知是定义在R上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
例10.函数对任意的，都有，并且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若，解不等式．
29.利用函数的单调性解不等式
基础知识
解题方法：利用函数的单调性比较大小主要思路是已知下面的三个选项中任意两个都能得出其余一个的结论即知三推二
①函数在某个区间上的单调性
②在这个区间上的任意两个自变量的大小
③在这个区间上的任意两个函数值的大小
但在利用函数的单调性比较大小时主要还结合函数的奇偶性和对称性等相关性质确定函数的单调性，最后进行大小比较。
例题讲解
例1.已知是定义为R上的奇函数，f(1)＝0，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
解析：由是定义为R上的奇函数可知函数关于点对称；再结合，即可得出.再结合f(x)在上单调递增，在上单调递减，可知函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.再分类讨论即可你求出答案.
解：因为是定义为R上的奇函数, 所以;函数关于点对称. 当时：； 当时：; 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，解得; 当时，解得; 当时，解得; 综上所述：不等式的解集故选：D.
例2.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
解析：先判断出原函数的单调性，进而解出不等式即可.
解：由题意，，易知函数在R上单调递减（减+减），而，所以 故选：D.
例3.已知函数，不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
解析：求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
解：：因为，所以，所以在上单调递减， 则等价于，解得，即原不等式的解集为. 故选：B.
思考：对于分式型函数通过分离常数来判断函数的的单调性解此题
例4.若奇函数在单调递增，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据的单调性和奇偶性以及，知：当 时，，当 时，，进而根据分式不等式进行求解.
解：由是奇函数在单调递增，且可知：当 时，，当 时，， 又或，解得：或 满足的x的取值范围是或 故选：D
例5.定义在上的函数其导函数恒成立，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
解析：根据题意，设g（x）＝f（x） 3x，求出其导数，分析可得g′（x）<0，则g（x）在R上为减函数，又由f（1）＝3，则g（1）＝0， ，结合函数的单调性分析可得答案．
解：设g（x）＝f（x） 3x，则g′（x）＝f′（x） 3， 又由f′（x）<3，则g′（x）<0，则g（x）在R上为减函数， 又由f（1）＝3，则g（1）＝f（1） 3＝0， 则g（x）过点，且在R上为减函数， 由得 即，由于过点，且在R上为增函数， 则必有 故选：C
例6.已知是定义在上的奇函数，当时，为增函数，且，那么不等式的解集是 （ ）
A． B．
C． D．
解析：分、两种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
解：因为是定义在上的奇函数，则，因为，则. 因为函数在上为增函数，则函数在上也为增函数. 当时，由可得，则； 当时，由可得，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：C.
例7.已知定义在R上的函数满足，对于，，当时，都有，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
解析：由题设知在R上递增，将不等式转化为，利用单调性求解集即可.
解：由题设时，即在R上递增， 又，而等价于， 所以，即，可得. 故不等式解集为.故选：B
例8.已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析：分析给定函数的性质，利用函数的奇偶性、单调性解不等式作答.
解：函数定义域为， 显然有，即函数是偶函数， 当时，，令， ，，， 因，则，即，，有，在上单调递增， 又在上单调递增，因此，在上单调递增， 于是得，解得或， 所以不等式成立的x的取值范围是. 故选：C
例9.已知是定义在R上的函数的导数，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
解析：令，求导得，由题意可得在R上单调递增.再逐一判断即可.
解：设，则. 因为，所以，则在R上单调递增. 因为，所以，即， 所以，则A错误； 因为，的大小不能确定，所以，的大小不能确定，则B错误； 因为，所以，则，所以，则C正确； 因为，的大小不能确定，所以，不能确定，则D错误.故选:C
例10.函数对任意的，都有，并且当时，．
(1)求证：在上是增函数；
(2)若，解不等式．
解析：（1）先任取．由当时，．得到 ，再按照变形，即可得到结 （2）由，求得，再将转化为，利用单调性求解即可．
解：(1)证明：设，且，则 因为当时， 所以 ∴ ． ∴． 故在上是增函数． (2)∵， ∴． ∴原不等式可化为． ∵在上是增函数，∴，解得． 故不等式的解集为．

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