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42（难点19）指数之间大小比较
基础知识
解题方法：指数幂之间的大小比较常利用指数函数的单调性比较大小，也利用中间值1进行大小比较，较难的题目通过构造函数。判断单调性来比较大小
例题讲解
例1.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
例2.已知三个实数a，，，其中，则这三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
例4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例5.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例6.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
例7.已知，则（ ）
A． B． C． D．
例8.若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例9.设，那么（ ）
A． B．
C． D．
例10.设，，，则、、的大小关系（ ）．
A． B． C． D．
例11.，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
例12.的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
例13.已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
例14.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例15.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
42（难点19）指数之间大小比较
基础知识
解题方法：指数幂之间的大小比较常利用指数函数的单调性比较大小，也利用中间值1进行大小比较，较难的题目通过构造函数。判断单调性来比较大小
例题讲解
例1.设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
解析：将与化成同底数幂，再根据单调性比较大小
解：，，， 根据在上是增函数，所以，即
例2.已知三个实数a，，，其中，则这三个数的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
分析：利用指数函数的单调性判断．在利用中间值1比较大小
解：∵， ∴由指数函数的性质，有 ∴．再由指数函数的性质得，即．
例3．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
分析：利用指数函数的单调性即可比较a，b，利用中间量1即可比较b，c.
解:因为，，且函数为增函数， 所以， 又， 所以. 故选：B.
例4．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
分析：利用指数函数和幂函数的单调性求解.
解：因为在上递增， 所以， 又因为 在R上递减， 所以， 所以，故选：A
例5.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：根据指数函数的单调性及指数运算，再结合幂函数的单调性即可求解.
解：因为，，， 且幂函数在上单调递增，因为所以，即， 指数函数在上单调递增，因为所以，所以，综上，故选：A.
例6.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：根据的结构特征构造函数，利用导数进行求解判断，然后再用转化法，通过构造新函数比较之间的大小即可.
解：设函数，因为，所以，因此当时，函数单调递减，因为，所以，即， 于是有， 之间的大小关系，可以转化为之间的大小关系，设函数， ，当时，单调递增，因此有， 即， 当时，单调递减，因此有， 即，而， 所以当时，有（当时取等号）成立， 于是有，所以，即，所以，故选：D 构造函数是关键
例7.已知，则（ ）
A． B． C． D．
解析：根据作商法比较大小即可得答案.
解：由于均为正数， 所以，故只需考虑与的大小关系，即与的关系，由于，，所以，故，所以，故； ，故只需考虑与的大小，即与的大小，由于，，故，所以，即，故； 故.故选：C
例8.若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
解析：根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.
解：因为在上单调递减，所以，即， 又因为在上单调递增，所以，即， 所以，故选：A.
例9.设，那么（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据已知条件构造指数函数,利用其单调性得到，进而利用的单调性可以做出判定.
解：因为指数函数在上是递减函数， 所以由得， 所以. 所以在上都是递减函数， 从而 ，故，故选：B.
例10.设，，，则、、的大小关系（ ）．
A． B． C． D．
解析：利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可
解：因为在上单调递增， 所以，即 因为 所以故选：A
例11.，，则，，的大小关系为
A． B．
C． D．
解析：由题意利用所给的数的特征结合其方幂比较其大小即可.
解：显然， 且：； ， 综上可得：.故选C.
例12.的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
解析：先利用指数函数y=（）x的单调性，比较前两个数的大小，再利用幂函数y=的单调性，比较的大小，最后将三个数从大到小排列即可
解：∵y=（）x在R上为减函数，，∴ ∵y=在（0，+∞）上为增函数， ，∴ ∴故选A．
例13.已知a=，b=，c=，则a、b、c的大小关系是（　　）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a
解析：根据指数函数的单调性可以判断，的大小，根据幂函数的单调性可以判断，的大小，综合可得结果.
解：∵，可得是单调减函数， ∵，∴， ∵，可得为减函数， ∵，∴ ， 综上可得，故选D.
例14.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：利用幂函数的单调性可得出、的大小关系，利用指数函数的单调性可得出、的大小关系，构造函数，利用函数在上的单调性可得出、的大小关系，即可得出结论.
解：因为，，即，， 构造函数，则，当时，， 故函数在上为增函数， 因为，则，即，可得， 即，故，因此. 故选：B.
例15.设，，，则（ ）
A． B． C． D．
解析：先利用指数函数的单调性比较的大小，再构造函数，通过导数判断函数的单调性，从而可比较出的大小，从而可得答案
解：因为， 所以，即. 设，则. 由，得；由，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，， 所以对任意的，都有，则，即， 故，即.综上，.故选：A

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