资源简介

高中自主招生数学全真模拟试卷(三)
一．填空题
2 3
1. 方程组{x y yy x2 x3 的所有实数解为_________
2. 对于任意实数 x，y,不等式 | x 1| | x 3 | | x 5 | k(2 | y 9 |) 恒成立，则实数 k的
最大值是__________
3. α x x3 2已知 为锐角，则关于 的方程 x (sin 3)x 1 0的根的情况是有______个正
根，有_____个负根.
1 1 1
4. 已知 n是两个不同质数的各积，则方程 的正整数解(x,y)的对数是________.
x y n
k
5. 如图，在平面直角坐标系中有一矩形 AOBC，反比例函数 y 经过矩形 AOBC对角线
x
的交点 G，半径为 4-2 2 的圆内切于△ABC，则 k的最小值为______
6. 已知 a、b是整数，且满足 a-b是质数，ab是完全平方数，若 a 2018,则 a的最小值为_____
7. 已知 f (x) [x[x[x]]]，其中[x]表示不超过 x的整数，若0 x 4，则 f (x)的值共有
_______个
8. 如图，已知 C是 AB为直径的半径上一点，I是△ABC的内心，AI、BI的延长线分别与
半圆交于点 D、E，AB=6，则 DE的长为________.
二．解答题
9. 已知关于 x的方程 || x 2 | | x 7 || k 有两个实数根，求 k的取值范围.
10.如图，在四边形 ABCD中，已知△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求
CD的长.
11. 2 2 2 2已知关于x的一元二次方程 (k 6k 8)x (2k 6k 4)x k 4 0 的两个根都是
整数，求实数 k的值.
12.已知 O1与 O2的半径分别为 3和 5，O1O2=10，求两圆的两条内公切线与一条外公切
线所围砀三角形面积.
参考答案
1. 两式相减得 (x y) (y x)(x y) (y x)(y 2 xy x 2) 即
(y x)(x2 xy y 2 x y 1) 0 得 x=y 3得 x x2 x得
1 5 1 5 1 5 1 5
(x,y)=(0,0)( , )( , ) 2或 x xy y2 x y 1 0即
2 2 2 2
x2 (y 1)x (y2 y 1) 0 2 2可得 (y 1) 4(y y 1) 3y2 2y 3 0 无解；
1 5 1 5 1 5 1 5
综上所述原方程的解(x,y)=(0,0)( , )( , )
2 2 2 2
2. 由绝对值的几何意义可知，|x-1|+|x-3|+|x-5|的最小值为 4(此时 x=3)，而 2-|y-9|的最大值为
2(此时 y=9)，根据条件 4 2k，故 k 2，k的最大值为 2
1
3. 2显然 x 0，于是原方程化为 x x sin 3 ，设
x
y 21 x x sin
1 1 13
3, y2 其图像如图所示，抛物线的顶点为 A( ,sin ),当x 2 4
x 1 时，y2=-2> sin
13 (1 ,即点 B , 2)在双曲线上，在 A的正上方,因此抛物线与双曲
2 4 2
线有三个不同的交点，其中有两个点的横坐标为正，一个点的横坐标为负，，这三个横坐标
均是原方程的解.
4. 可知 x n, y n，令 x n t1, y n t2 ， t1, t2 为自然数，原方程化为
1 1 1
2 a,b
n t n t n ，化简得 t1t2 n ，令 n ab ( 为质数,且 a b )，则有1 2
t1t2 (ab)
2 1 a a b b 1 (ab)2 a ab2 b a 2b a 2 b2 ab ab 故 t1的值为
1,a,b,ab, (ab)2,a 2b,ab2,a,b ，相对就 t 的值为 (ab)2 ,ab22 ,a2b,ab,1,a,b,b2 ,a2 由于 t1, t2
的值有 9组，故原方程中(x,y)的值共有 9对.
5. 设 G(a,b),圆的半径记为 r，则 AC=2a,BC=2b,
r 1 (AC 2 ab 2 ab BC AB) a b a 2 b 2 (2 2) ab
2 a b a 2 b2 2 ab 2ab
故 k ab
r
( )2 4，当且仅当 a=b=2时，上式等号成立.
2 2
6. 设 a b m (m是质数)， ab n2，n为正整数，由 (a b)2 4ab (a b)2 得
(2a m)2 4n2 m2, (2a m 2n)(2a m 2n) m2 1因为 2a m 2n, 2a m 2n
都是正整数，2a m 2n 2a m 2n (m为质数),故 2a m 2n m2, 2a m 2n 1得
a (m 1)
2 2 2 2
,n m 1 (m 1) (m 1) ，于是b a m 又 a 2018, 2018考虑到 m
4 4 4 4
m 89,a (89 1)
2
为质数，得 2025，当
4 a 2025,m 89,b 1936
,n 1980,amin 2025
7. ①0 x 1,[x] 0, f (x) 0
②1 x 2,[x] 1, f (x) 1
③ 2 x 3, x 2 , [0,1), f (x) [(2 )[( 2) 2]] [(2 )(4 [2 ])]
8 [4 2[2 ] [2 ]]， 2 [1, 2)则 f (x) 8 [4 ], 4 [0, 2), f (x)可取 8、9
2 [1, 2), f (x) 10 [5 ],5 [ 5,5], f (x) 可取 12，13，14
2
④3 x 4, x 3 , [0,1), f (x) [(3 )[(3 ) 3]] 27 [9 3[3 ] [3 ]] ，
3 [0,1), f (x) 27 [9 ],9 [0,3), f (x) 可取 27，28，29
3 [1, 2), f (x) 30 [10 ],10 [10, 20 ), f (x) 可取 33，34，35，36
3 3
3 [2,3), f (x) 33 [11 ],10 22 [ ,11), f (x) 可取 40，41，42，43，又 f (4) 64，
3
综上所述，共有 19个即{0，1，8，9，12，13，14，27，28，29，33，34，35，36，40，41，
42，43，64}
1
8. 连接 AE，易知∠C=∠AEB=90°，所以∠AIE=∠IAB+∠ABI= (∠CAB+∠ABC)=45°,
2
DE AE AE AB
于是 EAD=45，在 ADE中，由正弦定理得 ，
sin EAD sin D sin EAB sin 90 0
DE ABsin EAD 6sin 45 0 3 2
9. 由题意知 k 0，则 | x 2 | | x 7 | k ，设 | x 2 | | x 7 | p, p 9,9, 2x 5 ，
当 9 p 9,| x 2 | | x 7 | k 有唯一解,于是 9 k 9, 9 k 9,0 k 9
10.如图，以CD为边向四边形ABCD外作等边△CDE，连接AE，由AC=BC
CD=CE，知∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE，所以
△BCD≌△ACE，从而 BD=AE，∠ADC=30°，故∠ADE=90°，故 CD=4
11. 原方程可化为[(k 4)x (k 2)][(k 2)x k 2] 0, (k 2)(k 4) 0 ，故
x k 2
2 4
1 1
2 ,x k 2 4 2 1 ，得 k 4 ,k 2 k 4 k 4 k 2 k 2 x1 1 x 1
，
2
10
化简得 x1(x2 3) 2，x1, x2 都是整数，所以 (x1, x2 ) =(-2,-2)、(1,-5)、(2，-4)从而 k 6,3, ，3
经检验，均满足题意.
12.如图，设两内公切线 AB与 EF 相交于点 O，延长 AB、EF 与外公切线 CD分别交于点 N、
O O O A 3
M，连接 O1A、O2B，由 Rt△AO1O~Rt BO O,
1 1△ 2 得 ,O1O O2O 10O2O O
，得
2B 5
9 15
OA= ，OB= ，故 AB=6；连接 O1C、O2D，作 CG||O1O2交 O2G于点 G，则 CD=4
4 4 6
，
由 AB+BN=NC=CD-ND，BN=ND，ND=2 6 -3，故MN=6，作 OH⊥MN交 CG于点 P，交
OH O1C HP CP O1O 3 15 45CD于点 H，则 O D O C GD CG OO 8 得 OH= ，从而得S 4 OMN

2 1 1 2 4

展开更多......

收起↑