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(共21张PPT)
专项培优 5 章末复习课

考点一　三角函数求值
1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．
2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知α∈(0，)，且3cos 2α＋sin α＝1，则(　　)
A．sin (π－α)＝ B．cos (π－α)＝－
C．sin (＋α)＝－ D．cos (＋α)＝－
答案：A
解析：∵3cos 2α＋sin α＝1，α∈(0，)，
∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，
∴sin α＝或sin α＝－(舍去)，
∴cos α＝，sin (π－α)＝sin α＝，cos (π－α)＝－cos α＝－，sin (＋α)＝cos α＝，cos (＋α)＝－sin α＝－，故选项A正确．
(2)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析： 将式子进行齐次化处理得：
＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝＝＝＝.故选C.
答案：C
(3)已知α，β∈(－)，tan α＝3，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)
A．－ B． C．2 D．
答案：B
解析：因为α∈(－)，tanα＝3>0，故α∈(0，)，
因为β∈(－)，故－<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－<0，
故<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，
故tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝1，
所以tan (α－β)＝＝.故选B.
考点二　三角函数的图象
1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．
2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　(1)要得到函数y＝sin x＋cos x的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象上所有的点(　　)
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
答案：A
解析：y＝sin x＋cos x＝cos (x－)，
将函数y＝cos 2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝cos 2(x－)＝cos (2x－)，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝cos (x－)．
(2)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A. sin (2x＋)
B．sin (－2x)
C．cos (2x＋)
D．cos (－2x)
答案：ABC
解析：由函数图象可知：＝＝，∴T＝π，则|ω|＝＝＝2，
不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即函数的解析式为：y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，故A正确；
又sin (2x＋)＝sin (π＋2x－)＝sin (－2x)，故B正确；
又sin (2x＋)＝sin (2x＋)＝cos (2x＋)，故C正确；
而cos (2x＋)＝cos (π＋2x－)＝－cos (2x－)＝cos (－2x)，故D错误．
考点三　三角函数的性质
1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[－]，
则(0，) [－]，(，π) [－]，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[]，
[π， [－]且[π， []，[，2π []，CD选项均不满足条件．
(2)(多选)已知三角函数f(x)＝2sin (2x＋)，以下对该函数的说法正确的是(　　)
A．该函数的最小正周期为π
B．该函数在(－)上单调递增
C．x＝－为其一条对称轴
D．该函数图象关于点(－，0)对称
答案：AD
解析：函数f(x)＝2sin (2x＋)，
函数的最小正周期为T＝＝＝π，故选项A正确；
当x∈(－)时，2x＋∈(0，)，而y＝2sin x在(0，)上单调递增，在()上单调递减，
所以函数f(x)＝2sin (2x＋)在(－)上单调递增，在()上单调递减，故选项B错误；
因为f(－)＝2sin ＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)图象关于点(－，0)对称，故选项D正确，C错误．
(3)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)＋m，x∈R，且f(x)在上的最小值为0.
①求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
②求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合．
解析：①f(x)的最小正周期为π.
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
②当x∈时，2x＋∈.
f(x)min＝2×(－)＋m＝0，解得m＝1.
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，且最大值为3.故f(x)的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合
1．利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．
2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
例4　已知函数f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)当x∈，求f(x)的值域，并求取得最小值时x的取值集合．
解析：(1)f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x
＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinx cos x
＝(cos2x－sin2x)－2sinx cos x＝cos 2x－sin 2x＝cos (2x＋)，
∵π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)当x∈，∴－≤2x≤，∴－≤2x＋，
所以－≤cos (2x＋)≤1，－1≤cos (2x＋)≤，
∴f(x)的值域为[－1，].当2x＋＝时，即x＝，
∴f(x)取最小值时x的集合为.专项培优5章末复习课
　
考点一　三角函数求值
1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．
2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知α∈(0，)，且3cos2α＋sinα＝1，则(　　)
A．sin (π－α)＝B．cos (π－α)＝－
C．sin (＋α)＝－D．cos (＋α)＝－
(2)若tanθ＝－2，则＝(　　)
A．－B．－
C．D．
(3)已知α，β∈(－)，tanα＝3，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)
A．－B．
C．2D．
考点二　三角函数的图象
1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．
2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　(1)要得到函数y＝sinx＋cosx的图象，只需将函数y＝cos2x的图象上所有的点(　　)
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
(2)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A.sin (2x＋)
B．sin (－2x)
C．cos (2x＋)
D．cos (－2x)
考点三　三角函数的性质
1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
(2)(多选)已知三角函数f(x)＝2sin (2x＋)，以下对该函数的说法正确的是(　　)
A．该函数的最小正周期为π
B．该函数在(－)上单调递增
C．x＝－为其一条对称轴
D．该函数图象关于点(－，0)对称
(3)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)＋m，x∈R，且f(x)在上的最小值为0.
①求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
②求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合．
考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质
的综合
1．利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝Asin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．
2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
例4　已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)当x∈，求f(x)的值域，并求取得最小值时x的取值集合．
专项培优5　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)∵3cos2α＋sinα＝1，α∈(0，)，
∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，
∴sinα＝或sinα＝－(舍去)，
∴cosα＝，sin (π－α)＝sinα＝，cos (π－α)＝－cosα＝－，sin (＋α)＝cosα＝，cos (＋α)＝－sinα＝－，故选项A正确．
(2)将式子进行齐次化处理得：
＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)
＝＝＝＝.故选C.
(3)因为α∈(－)，tanα＝3>0，故α∈(0，)，
因为β∈(－)，故－<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－<0，
故<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，
故tanβ＝tan [(α＋β)－α]＝＝1，
所以tan (α－β)＝＝.故选B.
答案：(1)A　(2)C　(3)B
例2　解析：(1)y＝sinx＋cosx＝cos (x－)，
将函数y＝cos2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝cos2(x－)＝cos (2x－)，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝cos (x－)．
(2)由函数图象可知：＝＝，∴T＝π，则|ω|＝＝＝2，
不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即函数的解析式为：y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，故A正确；
又sin (2x＋)＝sin (π＋2x－)＝sin (－2x)，故B正确；
又sin (2x＋)＝sin (2x＋)＝cos (2x＋)，故C正确；
而cos (2x＋)＝cos (π＋2x－)＝－cos (2x－)＝cos (－2x)，故D错误．
答案：(1)A　(2)ABC
例3　解析：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[－]，
则(0，) [－]，(，π) [－]，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[]，
[π， [－]且[π， []，[，2π []，CD选项均不满足条件．
(2)函数f(x)＝2sin (2x＋)，
函数的最小正周期为T＝＝＝π，故选项A正确；
当x∈(－)时，2x＋∈(0，)，而y＝2sinx在(0，)上单调递增，在()上单调递减，
所以函数f(x)＝2sin (2x＋)在(－)上单调递增，在()上单调递减，故选项B错误；
因为f(－)＝2sin＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)图象关于点(－，0)对称，故选项D正确，C错误．
(3)①f(x)的最小正周期为π.
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
②当x∈时，2x＋∈.
f(x)min＝2×(－)＋m＝0，
解得m＝1.
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，且最大值为3.
故f(x)的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
答案：(1)A　(2)AD　(3)见解析
例4　解析：(1)f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x
＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinxcosx
＝(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝cos (2x＋)，
∵π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)当x∈，∴－≤2x≤，∴－≤2x＋，
所以－≤cos (2x＋)≤1，－1≤cos (2x＋)≤，
∴f(x)的值域为[－1，].当2x＋＝时，即x＝，
∴f(x)取最小值时x的集合为.
1(共21张PPT)
专项培优 5 章末复习课

考点一　三角函数求值
1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．
2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知α∈(0，)，且3cos 2α＋sin α＝1，则(　　)
A．sin (π－α)＝ B．cos (π－α)＝－
C．sin (＋α)＝－ D．cos (＋α)＝－
答案：A
解析：∵3cos 2α＋sin α＝1，α∈(0，)，
∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，
∴sin α＝或sin α＝－(舍去)，
∴cos α＝，sin (π－α)＝sin α＝，cos (π－α)＝－cos α＝－，sin (＋α)＝cos α＝，cos (＋α)＝－sin α＝－，故选项A正确．
(2)若tan θ＝－2，则＝(　　)
A．－ B．－
C． D．
解析： 将式子进行齐次化处理得：
＝＝sin θ(sin θ＋cos θ)
＝＝＝＝.故选C.
答案：C
(3)已知α，β∈(－)，tan α＝3，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)
A．－ B． C．2 D．
答案：B
解析：因为α∈(－)，tanα＝3>0，故α∈(0，)，
因为β∈(－)，故－<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－<0，
故<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，
故tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝1，
所以tan (α－β)＝＝.故选B.
考点二　三角函数的图象
1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．
2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　(1)要得到函数y＝sin x＋cos x的图象，只需将函数y＝cos 2x的图象上所有的点(　　)
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
答案：A
解析：y＝sin x＋cos x＝cos (x－)，
将函数y＝cos 2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝cos 2(x－)＝cos (2x－)，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝cos (x－)．
(2)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A. sin (2x＋)
B．sin (－2x)
C．cos (2x＋)
D．cos (－2x)
答案：ABC
解析：由函数图象可知：＝＝，∴T＝π，则|ω|＝＝＝2，
不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即函数的解析式为：y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，故A正确；
又sin (2x＋)＝sin (π＋2x－)＝sin (－2x)，故B正确；
又sin (2x＋)＝sin (2x＋)＝cos (2x＋)，故C正确；
而cos (2x＋)＝cos (π＋2x－)＝－cos (2x－)＝cos (－2x)，故D错误．
考点三　三角函数的性质
1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
答案：A
解析：因为函数y＝sin x的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[－]，
则(0，) [－]，(，π) [－]，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[]，
[π， [－]且[π， []，[，2π []，CD选项均不满足条件．
(2)(多选)已知三角函数f(x)＝2sin (2x＋)，以下对该函数的说法正确的是(　　)
A．该函数的最小正周期为π
B．该函数在(－)上单调递增
C．x＝－为其一条对称轴
D．该函数图象关于点(－，0)对称
答案：AD
解析：函数f(x)＝2sin (2x＋)，
函数的最小正周期为T＝＝＝π，故选项A正确；
当x∈(－)时，2x＋∈(0，)，而y＝2sin x在(0，)上单调递增，在()上单调递减，
所以函数f(x)＝2sin (2x＋)在(－)上单调递增，在()上单调递减，故选项B错误；
因为f(－)＝2sin ＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)图象关于点(－，0)对称，故选项D正确，C错误．
(3)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)＋m，x∈R，且f(x)在上的最小值为0.
①求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
②求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合．
解析：①f(x)的最小正周期为π.
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
②当x∈时，2x＋∈.
f(x)min＝2×(－)＋m＝0，解得m＝1.
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，且最大值为3.故f(x)的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合
1．利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝A sin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．
2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
例4　已知函数f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)当x∈，求f(x)的值域，并求取得最小值时x的取值集合．
解析：(1)f(x)＝cos4x－2sinx cos x－sin4x
＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinx cos x
＝(cos2x－sin2x)－2sinx cos x＝cos 2x－sin 2x＝cos (2x＋)，
∵π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)当x∈，∴－≤2x≤，∴－≤2x＋，
所以－≤cos (2x＋)≤1，－1≤cos (2x＋)≤，
∴f(x)的值域为[－1，].当2x＋＝时，即x＝，
∴f(x)取最小值时x的集合为.(共24张PPT)
专项培优⑤章末复习课
考点一　三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
(3)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
(4)两角和与差．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
(2)tan α＝2，则sin2α－3sin αcos α＋1＝________．
D　
解析：(1)由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＝＝＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
跟踪训练1　(1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为(　　)
A．tan α＝ B．sin β＝
C．cos β＝ D．Q
(2)若cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
AB　
解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P(n>0)，α是第一象限角，可得cos α＝，
∴sin α＝＝，可得tanα＝＝，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α＋，
则可得sin β＝sin ＝cos α＝，cos β＝cos ＝－sin α＝－，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为，故D错误．故选AB.
(2)因为cos (π＋α)＝－，所以－cos α＝－，可得cos α＝，
因为<α<2π，所以sin α＝－＝－＝－，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
考点二　三角函数的图象
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式．
解析：(1)由题图知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
综上，所求函数解析式为
y＝sin －1.
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的．
解析：(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin ；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin ；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练2　(1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin 2x的图象大致是(　　)
答案：D
解析：(1)f(－x)＝＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案：D
解析：(2)因为y＝sin ＝cos ＝cos ，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos .故选D.
考点三　三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)(多选)设函数f(x)＝sin(2x+)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在()上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点()对称
答案：ABD
解析：(1)∵函数f(x)＝sin ＝cos 2x，
∴f(x)＝cos 2x，
∵f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确．
(2)设函数f(x)＝sin()的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈().
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[]上有实数解，求实数k的取值范围．
解析：
①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－＝＋kπ，k∈Z
∴ω＝，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
∴函数f(x)＝sin .
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，所以g(x)＝sin .
当0≤x≤，即－≤2x－时，g(x)递增，g(x)∈，
当所以x∈时，g(x)∈，
因为g(x)＋k＝0在区间上有实数解，
所以实数k的取值范围是.
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数y＝sin 是偶函数
B．存在实数α，使 sin α cos α＝1
C．直线x＝是函数y＝sin 图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β
答案：AC
解析：对于A：函数y＝sin ＝cos x，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin α cos α＝1，故sin α和cos α互为倒数，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin α cos α＝1，故B错误；
对于C：当x＝时，f()＝sin ＝－1，故C正确；
对于D：设α＝，β＝，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；
故选AC.
(2)设函数f(x)＝sin(2x-)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解析：①因为f(x)＝sin
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
②当x∈时，2x－∈，
此时sin ∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)最大值为，最小值为－.专项培优⑤章末复习课
考点一　三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；
(3)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为(　　)
A．－5B．－6
C．－7D．－8
(2)tanα＝2，则sin2α－3sinαcosα＋1＝________．
跟踪训练1　(1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为(　　)
A．tanα＝B．sinβ＝
C．cosβ＝D．Q
(2)若cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
考点二　三角函数的图象
1．函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　如图是函数y＝Asin (ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式．
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的．
跟踪训练2　(1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin2x的图象大致是(　　)
(2)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
考点三　三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)(多选)设函数f(x)＝sin(2x+)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在()上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点()对称
(2)设函数f(x)＝sin()的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈().
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[]上有实数解，求实数k的取值范围．
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数y＝sin是偶函数
B．存在实数α，使sinαcosα＝1
C．直线x＝是函数y＝sin图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ
(2)设函数f(x)＝sin(2x-)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
专项培优⑤　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＝＝＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
答案：(1)D　(2)
跟踪训练1　解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P(n>0)，α是第一象限角，可得cosα＝，
∴sin α＝＝，可得tanα＝＝，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α＋，
则可得sin β＝sin＝cos α＝，cos β＝cos＝－sin α＝－，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为，故D错误．故选AB.
(2)因为cos (π＋α)＝－，所以－cos α＝－，可得cos α＝，
因为<α<2π，所以sin α＝－＝－＝－，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
答案：(1)AB　(2)
例2　解析：(1)由题图知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
综上，所求函数解析式为y＝sin －1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin ；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin ；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练2　解析：(1)f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)因为y＝sin ＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：(1)∵函数f(x)＝sin ＝cos 2x，
∴f(x)＝cos 2x，
∵f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确．
解析：(2)①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－＝＋kπ，k∈Z
∴ω＝，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
∴函数f(x)＝sin .
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，所以g(x)＝sin .
当0≤x≤，即－≤2x－时，g(x)递增，g(x)∈，
当所以x∈时，g(x)∈，
因为g(x)＋k＝0在区间上有实数解，
所以实数k的取值范围是.
答案：(1)ABD　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)对于A：函数y＝sin ＝cosx，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin αcosα＝1，故sin α和cosα互为倒数，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin αcosα＝1，故B错误；
对于C：当x＝时，f()＝sin ＝－1，故C正确；
对于D：设α＝，β＝，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；故选AC.
(2)①因为f(x)＝sin
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
②当x∈时，2x－∈，
此时sin ∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)最大值为，最小值为－.
答案：(1)AC　(2)见解析
1(共24张PPT)
专项培优⑤章末复习课
考点一　三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tan α；
(3)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
(4)两角和与差．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
(2)tan α＝2，则sin2α－3sin αcos α＋1＝________．
D　
解析：(1)由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＝＝＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
跟踪训练1　(1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为(　　)
A．tan α＝ B．sin β＝
C．cos β＝ D．Q
(2)若cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
AB　
解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P(n>0)，α是第一象限角，可得cos α＝，
∴sin α＝＝，可得tanα＝＝，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α＋，
则可得sin β＝sin ＝cos α＝，cos β＝cos ＝－sin α＝－，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为，故D错误．故选AB.
(2)因为cos (π＋α)＝－，所以－cos α＝－，可得cos α＝，
因为<α<2π，所以sin α＝－＝－＝－，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
考点二　三角函数的图象
1．函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　如图是函数y＝A sin (ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式．
解析：(1)由题图知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
综上，所求函数解析式为
y＝sin －1.
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sin x变换得来的．
解析：(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin ；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin ；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练2　(1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin 2x的图象大致是(　　)
答案：D
解析：(1)f(－x)＝＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin ，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
答案：D
解析：(2)因为y＝sin ＝cos ＝cos ，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos .故选D.
考点三　三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)(多选)设函数f(x)＝sin(2x+)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在()上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点()对称
答案：ABD
解析：(1)∵函数f(x)＝sin ＝cos 2x，
∴f(x)＝cos 2x，
∵f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确．
(2)设函数f(x)＝sin()的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈().
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[]上有实数解，求实数k的取值范围．
解析：
①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－＝＋kπ，k∈Z
∴ω＝，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
∴函数f(x)＝sin .
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，所以g(x)＝sin .
当0≤x≤，即－≤2x－时，g(x)递增，g(x)∈，
当所以x∈时，g(x)∈，
因为g(x)＋k＝0在区间上有实数解，
所以实数k的取值范围是.
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数y＝sin 是偶函数
B．存在实数α，使 sin α cos α＝1
C．直线x＝是函数y＝sin 图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sin α＞sin β
答案：AC
解析：对于A：函数y＝sin ＝cos x，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin α cos α＝1，故sin α和cos α互为倒数，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin α cos α＝1，故B错误；
对于C：当x＝时，f()＝sin ＝－1，故C正确；
对于D：设α＝，β＝，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；
故选AC.
(2)设函数f(x)＝sin(2x-)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
解析：①因为f(x)＝sin
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
②当x∈时，2x－∈，
此时sin ∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)最大值为，最小值为－.专项培优⑤章末复习课
考点一　三角函数式的求值
1．(1)三角函数的定义；
(2)两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tanα；
(3)诱导公式：可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．
记忆规律：奇变偶不变，符号看象限．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知sinα－cosα＝－，则tanα＋的值为(　　)
A．－5B．－6
C．－7D．－8
(2)tanα＝2，则sin2α－3sinαcosα＋1＝________．
跟踪训练1　(1)(多选)在平面直角坐标系中，若角α的终边与单位圆交于点P(n＞0)，将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，记角β的终边与单位圆的交点为Q，则下列结论正确的为(　　)
A．tanα＝B．sinβ＝
C．cosβ＝D．Q
(2)若cos (π＋α)＝－，＜α＜2π，则sin (2π－α)＝________．
考点二　三角函数的图象
1．函数y＝Asin (ωx＋φ)的图象
(1)“五点法”作图；
(2)图象的识别；
(3)图象伸缩、平移变换；
(4)由函数图象求三角函数解析式．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　如图是函数y＝Asin (ωx＋φ)＋k的一段图象．
(1)求此函数解析式．
(2)分析一下该函数是如何通过y＝sinx变换得来的．
跟踪训练2　(1)我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数图象来研究函数性质，也常用函数解析式来分析函数图象的特征．如函数y＝2|x|sin2x的图象大致是(　　)
(2)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
考点三　三角函数的性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对以上知识的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)(多选)设函数f(x)＝sin(2x+)，则关于函数y＝f(x)说法正确的是(　　)
A．函数y＝f(x)是偶函数
B．函数y＝f(x)在()上单调递减
C．函数y＝f(x)的最大值为2
D．函数y＝f(x)图象关于点()对称
(2)设函数f(x)＝sin()的图象关于直线x＝π对称，其中ω为常数，且ω∈().
①求函数f(x)的解析式；
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[]上有实数解，求实数k的取值范围．
跟踪训练3　(1)(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．函数y＝sin是偶函数
B．存在实数α，使sinαcosα＝1
C．直线x＝是函数y＝sin图象的一条对称轴
D．若α，β都是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ
(2)设函数f(x)＝sin(2x-)，
①求f(x)的最小正周期和单调递增区间；
②当x∈[]时，求函数f(x)的最大值和最小值．
专项培优⑤　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)由题意可得(sin α－cos α)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcos α＝1－2sin αcos α＝，故sin αcos α＝－，切化弦可得tan α＋＝＝＝＝－8.故选D.
(2)sin2α－3sinαcos α＋1＝sin2α－3sinαcos α＋(sin2α＋cos2α)
＝2sin2α－3sinαcos α＋cos2α
＝
＝＝＝.
答案：(1)D　(2)
跟踪训练1　解析：(1)由角α的终边与单位圆交于点P(n>0)，α是第一象限角，可得cosα＝，
∴sin α＝＝，可得tanα＝＝，故A正确；
将角α的终边按逆时针方向旋转后得到角β的终边，可得β＝α＋，
则可得sin β＝sin＝cos α＝，cos β＝cos＝－sin α＝－，故B正确，C错误；
据三角函数定义可得，角β的终边与单位圆的交点为Q，则点Q的坐标为，故D错误．故选AB.
(2)因为cos (π＋α)＝－，所以－cos α＝－，可得cos α＝，
因为<α<2π，所以sin α＝－＝－＝－，
所以sin(2π－α)＝－sin α＝.
答案：(1)AB　(2)
例2　解析：(1)由题图知A＝＝，
k＝＝－1，
T＝2×＝π，
所以ω＝＝2.所以y＝sin (2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝.
综上，所求函数解析式为y＝sin －1.
(2)把y＝sin x向左平移个单位，得到y＝sin ；然后纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin ；再使横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin ，最后把函数y＝sin 的图象向下平移1个单位，得到y＝sin －1的图象．
跟踪训练2　解析：(1)f(－x)＝2|－x|sin (－2x)＝－2|x|sin 2x＝－f(x)，函数为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，
当＜x＜π时，f(x)＜0，排除C，
故选D.
(2)因为y＝sin ＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D.
答案：(1)D　(2)D
例3　解析：(1)∵函数f(x)＝sin ＝cos 2x，
∴f(x)＝cos 2x，
∵f(－x)＝cos (－2x)＝cos 2x＝f(x)，y＝f(x)为偶函数，故A正确；
令2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，解得kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，可得函数y＝f(x)在单调递减，所以B正确；
由于f(x)的最大值是，故选项C不符合题意．
由2x＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可得当k＝0时，其图象关于点对称，故D正确．
解析：(2)①∵图象关于直线x＝π对称，∴2πω－＝＋kπ，k∈Z
∴ω＝，又ω∈，
令k＝1时，ω＝符合要求，
∴函数f(x)＝sin .
②将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后，得到函数y＝sin 的图象，再将得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝sin 的图象，所以g(x)＝sin .
当0≤x≤，即－≤2x－时，g(x)递增，g(x)∈，
当所以x∈时，g(x)∈，
因为g(x)＋k＝0在区间上有实数解，
所以实数k的取值范围是.
答案：(1)ABD　(2)见解析
跟踪训练3　解析：(1)对于A：函数y＝sin ＝cosx，故该函数是偶函数，故A正确；
对于B：由于 sin αcosα＝1，故sin α和cosα互为倒数，与sin2α＋cos2α＝1矛盾，故不存在实数α，使sin αcosα＝1，故B错误；
对于C：当x＝时，f()＝sin ＝－1，故C正确；
对于D：设α＝，β＝，由于α，β都是第一象限角，但是sin β＞sin α，故D错误；故选AC.
(2)①因为f(x)＝sin
所以f(x)的最小正周期是T＝＝π，
由－＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为，k∈Z.
②当x∈时，2x－∈，
此时sin ∈，可得f(x)∈，
综上，f(x)最大值为，最小值为－.
答案：(1)AC　(2)见解析
1专项培优5章末复习课
　
考点一　三角函数求值
1．三角函数求值是高考重点考查内容之一，常涉及到三角函数的概念、同角三角函数基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式，熟记以上公式是解决问题的前提．
2．通过对三角函数求值问题的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例1　(1)已知α∈(0，)，且3cos2α＋sinα＝1，则(　　)
A．sin (π－α)＝B．cos (π－α)＝－
C．sin (＋α)＝－D．cos (＋α)＝－
(2)若tanθ＝－2，则＝(　　)
A．－B．－
C．D．
(3)已知α，β∈(－)，tanα＝3，cos (α＋β)＝－，则tan (α－β)＝(　　)
A．－B．
C．2D．
考点二　三角函数的图象
1．三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定．
2．通过对三角函数图象的变换和根据图象求解析式的考查，提升学生的直观想象和数学运算素养．
例2　(1)要得到函数y＝sinx＋cosx的图象，只需将函数y＝cos2x的图象上所有的点(　　)
A．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
B．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
C．先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)
D．先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)
(2)(多选)如图是函数y＝sin (ωx＋φ)的部分图象，则sin (ωx＋φ)＝(　　)
A.sin (2x＋)
B．sin (－2x)
C．cos (2x＋)
D．cos (－2x)
考点三　三角函数的性质
1．对三角函数的性质考查多以三角函数的最值(或值域)、单调性、奇偶性、对称性为主，在研究以上性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．通过对三角函数性质的考查，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
例3　(1)下列区间中，函数f(x)＝7sin (x－)单调递增的区间是(　　)
A．(0，) B．(，π)
C．(π，) D．(，2π)
(2)(多选)已知三角函数f(x)＝2sin (2x＋)，以下对该函数的说法正确的是(　　)
A．该函数的最小正周期为π
B．该函数在(－)上单调递增
C．x＝－为其一条对称轴
D．该函数图象关于点(－，0)对称
(3)已知函数f(x)＝2sin (2x＋)＋m，x∈R，且f(x)在上的最小值为0.
①求f(x)的最小正周期及单调递增区间；
②求f(x)的最大值以及取得最大值时x的取值集合．
考点四　三角恒等变换、三角函数的图象与性质
的综合
1．利用和差角、二倍角及其变形公式将函数f(x)的表达式变换为f(x)＝Asin (ωx＋φ)的形式，再研究f(x)的图象与性质(如求周期、单调区间、最值等)，这是处理三角函数问题最基本且最重要的通法．
2．通过对三角恒等变换、三角函数的图象与性质的综合考查，提升学生的逻辑推理、直观想象和数学运算素养．
例4　已知函数f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)当x∈，求f(x)的值域，并求取得最小值时x的取值集合．
专项培优5　章末复习课
考点聚集·分类突破
例1　解析：(1)∵3cos2α＋sinα＝1，α∈(0，)，
∴3(1－2sin2α)＋sinα＝1，即6sin2α－sinα－2＝0，
∴sinα＝或sinα＝－(舍去)，
∴cosα＝，sin (π－α)＝sinα＝，cos (π－α)＝－cosα＝－，sin (＋α)＝cosα＝，cos (＋α)＝－sinα＝－，故选项A正确．
(2)将式子进行齐次化处理得：
＝＝sinθ(sinθ＋cosθ)
＝＝＝＝.故选C.
(3)因为α∈(－)，tanα＝3>0，故α∈(0，)，
因为β∈(－)，故－<α＋β<π，而cos (α＋β)＝－<0，
故<α＋β<π，所以tan (α＋β)＝－2，
故tanβ＝tan [(α＋β)－α]＝＝1，
所以tan (α－β)＝＝.故选B.
答案：(1)A　(2)C　(3)B
例2　解析：(1)y＝sinx＋cosx＝cos (x－)，
将函数y＝cos2x的图象上所有的点向右平移个单位长度得到y＝cos2(x－)＝cos (2x－)，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝cos (x－)．
(2)由函数图象可知：＝＝，∴T＝π，则|ω|＝＝＝2，
不妨令ω＝2，当x＝＝时，y＝－1，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得：φ＝2kπ＋(k∈Z)，
即函数的解析式为：y＝sin (2x＋＋2kπ)＝sin (2x＋)，故A正确；
又sin (2x＋)＝sin (π＋2x－)＝sin (－2x)，故B正确；
又sin (2x＋)＝sin (2x＋)＝cos (2x＋)，故C正确；
而cos (2x＋)＝cos (π＋2x－)＝－cos (2x－)＝cos (－2x)，故D错误．
答案：(1)A　(2)ABC
例3　解析：(1)因为函数y＝sinx的单调递增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)，
对于函数f(x)＝7sin (x－)，由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
取k＝0，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[－]，
则(0，) [－]，(，π) [－]，A选项满足条件，B不满足条件；
取k＝1，可得函数f(x)的一个单调递增区间为[]，
[π， [－]且[π， []，[，2π []，CD选项均不满足条件．
(2)函数f(x)＝2sin (2x＋)，
函数的最小正周期为T＝＝＝π，故选项A正确；
当x∈(－)时，2x＋∈(0，)，而y＝2sinx在(0，)上单调递增，在()上单调递减，
所以函数f(x)＝2sin (2x＋)在(－)上单调递增，在()上单调递减，故选项B错误；
因为f(－)＝2sin＝0，所以函数f(x)＝2sin (2x＋)图象关于点(－，0)对称，故选项D正确，C错误．
(3)①f(x)的最小正周期为π.
令－＋2kπ≤2x＋＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
②当x∈时，2x＋∈.
f(x)min＝2×(－)＋m＝0，
解得m＝1.
所以f(x)＝2sin (2x＋)＋1.
当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值，且最大值为3.
故f(x)的最大值为3，取得最大值时x的取值集合为
答案：(1)A　(2)AD　(3)见解析
例4　解析：(1)f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x
＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sinxcosx
＝(cos2x－sin2x)－2sinxcosx＝cos2x－sin2x＝cos (2x＋)，
∵π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调增区间为，k∈Z.
(2)当x∈，∴－≤2x≤，∴－≤2x＋，
所以－≤cos (2x＋)≤1，－1≤cos (2x＋)≤，
∴f(x)的值域为[－1，].当2x＋＝时，即x＝，
∴f(x)取最小值时x的集合为.
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