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第二章 整式的加减
2.1 整式
第1课时 用字母表示数
学习目标：1.理解字母表示数的意义.
2.会用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系.
重点：理解字母表示数的意义.
难点：用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系.
自主学习
一、知识链接
1. K先生正在看《阿Q正传》，这里K、Q表示什么？
2. 从 A 地到 B 地要走 3 个小时. 这里 A、B 表示什么？
加法交换律： .
二、新知预习
青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h．请思考下列问题：
（1）列车2 h行驶多少千米？3 h呢？8 h呢？t h呢？
（2）字母 t 表示时间有什么意义 如果用 v 表示速度，列车行驶的路程是多少？
三、自学自测
用含有字母的式子填空：
(1)父亲的年龄比儿子大28岁，如果用x表示儿子现在的年龄，那么父亲现在的年龄为
岁.
(2)设苹果每千克p元，橘子每千克q元.则10千克苹果比6千克橘子多 元.
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：含字母的式子的书写
例1 用含有字母的式子表示下列数量
(1)练习簿的单价为 a 元，100 本练习簿的总价是 元.
(2)练习簿的单价为 b 元， a 本练习簿的总价是 元.
(3)练习簿的单价为 0.5 元，圆珠笔的单价是 3.2 元，买a 本练习簿和 b 支笔的总价
是 元.
(4)小明的家离学校 s 千米，小明骑车上学. 若每小时行10 千米，则需 时.
(5)若每斤苹果 元，则买 m 斤苹果需 元.
(6)小明个子高，经测量他通常跨一步的距离 1 米，若取向前为正，向后为负，则小明向前跨 a 步为 米，向后跨 a 步为 米.
做一做：
判断下列式子书写是否规范，不规范的请改正.
探究点2：用含字母的式子表示数量关系
例2 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是 v km/h，用式子表示船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
提示：顺水行驶时，船的速度=船在静水中的速度+水流速度；
逆水行驶时，船的速度=船在静水中的速度-水流速度.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
（3）如左下图（图中长度单位：cm），用式子表示三角尺的面积；
（4）右下图是一所住宅的建筑平面图（图中长度单位：m），用式子表示这所住宅的建筑面积.
要点归纳：
列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；
②理清语句层次，明确运算顺序；
③牢记一些概念和公式．
练一练：
（1）某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.
（2）圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体的体积.
有两片棉田，一片有m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )，平均每公顷产棉花a kg；另一片有n hm2 ，平均每公顷产棉花b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
探究点3：用字母表示规律
合作探究：如图所示，搭一个正方形需要 4 根火柴棒.
如图所示,搭一个正方形需要4根火柴棒.
(1)按上面的方式,搭2个正方形需要____根火柴,搭3个正方形需要____根火柴.
(2)搭7个这样的正方形需要_____根火柴.
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴
(4) 如果用 x 表示所搭正方形的个数， 那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴
做一做：
根据你的计算方法，搭 200 个这样的正方形需要______根火柴棒，搭 2022 个这样的正方形需要_______根火柴棒.
二、课堂小结
列式时：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，式子整体加括号
当堂检测
1.用式子表示下列数量.
（1）5箱苹果重m kg，每箱重______ kg ；
（2）一个数比a的2倍小5，则这个数为______ ；
（3）全校学生总数是x，其中女生占总数52%，则女生人数是______ ，男生人数是______ ；
（4）某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，那么这批图书共______本；
（5）在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是 a mm，小正方形的边长是 b mm，则剩余部分的面积为 .
2.用火柴棒按下面方式搭图,填写表
图形编号 1 2 3 4 …… n
火柴棒根数 ……
参考答案
自主学习
一、知识链接
（1）字母可表示：人名 （2）字母可表示：地名 （3）字母可表示：运算定律
二、新知预习
（1）200 km；300 km；800 km；100t km.
（2）t表示行驶时间并不确定，可能为任意一个数值；路程为vt.
三、自学自测
（1）（x + 28） （2）（10p - 6q）
合作探究
一、要点探究
探究点1：
例1 （1）100a （2） ab （3）(0.5a + 3.2b)（4） （5） （6）a -a
做一做：不规范，规范的写法分别为xy，ab，-n，3x，.
探究点2：
例2 解：（1）顺水速度=静水速度＋水流速度=(v＋2.5)km/h；
逆水速度=静水速度－水流速度=(v－2.5)km/h.
（3x+5y+2z ）元. （3） cm2. （4）（x +2x+18）m2.
练一练：（1）4.8m元 （2）πr h （3）（am+bn）kg
探究点3：
（1）7 10 （2）22 （3） 4 + 3×（100+1） （4） 4 + 3×（x+1）
【做一做】 601 6067
当堂检测
1.（1） （2）2a-5 （3）0.52x 0.48x （4）（4a-25）（4）（a -b ）mm
7 12 17 22 5n + 2第二章 整式的加减
2.1 整式
第2课时 单项式
学习目标：1.理解单项式、单项式的系数和次数的概念.
2.会用单项式表示简单的数量关系.
重点：理解单项式、单项式的系数和次数的概念.
难点：负系数的确定以及准确确定一个单项式的次数.
自主学习
一、知识链接
用代数式表示下列数量：
(1) 若正方形的边长为a，则正方形的面积是_______ ；
(2) 若x表示正方体的棱长，则正方体的体积是_______；
(3) 若m表示一个有理数，则它的相反数是_______；
(4) 小明从每月的零花钱中贮存x元钱捐给希望工程，一年下来小明捐款_______元.
二、新知预习
【自主归纳】
1.上面所填的这些式子中，由_______与_____（或______与_____）相乘组成的代数式叫做单项式.单独的一个______或一个_____也叫单项式.
当数与字母相乘或字母与字母相乘时，可以省略 号，且把数字因数写在字母因数的 前面，如.
2.单项式的系数和次数:
单项式中的 叫做这个单项式的系数.
一个单项式中， 叫做这个单项式的次数.
三、自学自测
1.判断下列式子是不是单项式，并说明理由.
（1） （2）a (3) -3a2b3 (4) － (5) (6) m+1
2.填空
(1)单项式－5y的系数是____，次数是____；
(2)单项式2a3b的系数是_____，次数是_____.
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：单项式的相关概念
用含有字母的式子填空：
（1）棱长为a的正方体的表面积为______，体积为______ .
（2）铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价2.5倍,圆珠笔的单价是______元.
（3）一辆汽车的速度是v km/h,它t小时的行驶路程为______km.
（4）一个圆的半径是r cm，它周长是______cm.
单项式：上面各式的运算中数字和字母之间，字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示字母与数字、字母与字母的积).像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
说一说：下列各式中哪些是单项式？
方法归纳：判断单项式的方法
1.单独一个数或一个字母也是单项式.
2.不含加减运算，单项式只能含有乘积或乘方运算.
3.单项式数字因数与字母可能一个或多个.
4.可以含有除以数的运算（可看作乘这个数的倒数），不能含有除以字母的运算．
知识要点：
单项式的系数、次数：单项式中数与字母相乘,通常把数字因数叫做系数;
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
例1 用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
（1）每包书有12册,n包书有________册；
（2）底边长为a,高为h的三角形的面积是_______；
（3）一个长方体的长和宽都是 a，高为 h，它的体积是 ；
（4）一台电视机原价为a元,现按原价的九折出售,这台电视机现在的售价为_______；
（5）一个长方形的长为0.9,宽为a,面积是_______.
判断：
①－7xy2 的系数是 7；（ ）
②－x2y3 与 x3 没有系数；（ ）
③－ab3c2 的次数是 0＋3＋2；（ ）
④－a3 的系数是－1； （ ）
⑤－32x2y3 的次数是 7；（ ）
⑥πr2h 的系数是 .（ ）
【归纳总结】确定单项式的系数及次数时，应注意：
①圆周率π是常数；
②当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写；
③单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
④对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
探究点2：单项式的应用
试一试：你能写出一个含有x、y，而且系数是-3，次数是4的单项式吗？
提示：x、y的指数之和为4.
例2 若 (m-2)x2yn 是关于 x，y 的一个四次单项式，则m，n应满足什么条件？
练一练：
若 -3xa+1 y 是一个五次单项式，你能说出指数 a 是几吗？
知是四次单项式，则p2＝________.
二、课堂小结
1.单独的一个数或一个字母也是单项式；
2.当一个单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如x2，－a2b等；
3.圆周率π是常数，应把它当作系数或系数的一部分；
4.单项式的次数只与字母指数有关，计算次数时，字母指数是 1 的别漏掉；
5.对于单独一个非 0 的数，规定它的次数为 0.
当堂检测
下列各式中，哪些是单项式？
， ，，，
2.判断下列各说法是否正确，将错误的改正过来.
（1）单项式的系数是0, 次数是2. (　　　)
（2）单项式的系数是2, 次数是10 . (　　　)
（3）单项式的系数是,次数是n + 1 . (　　　)
3.若ax2yb-1是关于x，y的单项式，系数为6，次数是3，则a=____，b=_____.
4.已知是x，y的五次单项式，求a的值.
参考答案
自主学习
一、知识链接
（1）a （2）x （3）-m （4）12 x
二、新知预习
1.数字 字母 字母 字母 数 字母 乘
2.数字因数 所有字母的指数的和
三、自学自测
1.（1）不是. 分母中不应含有字母. （2）是. （3）是. （4）是. （5）是.
（6）不是.不是数与字母乘积的形式，也不是单独的一个数或字母 ，单项式中不含加减.
2.（1）-5 1 （2）2 4
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
4m 2. 2.5x 3. vt 4. 2πr
说一说： 解：0，0.72a，x2y,，π，是单项式.
例1 解：（1）12n 三次（2）ah 二次（3） a2h 三次
（4）0.9a 一次 （5）0.9a 一次
练一练： × × × √ × ×
探究点2：
例2 解：由题意知m，n要满足 2+n=4，m-2≠0，所以m≠2，n=2.
【练一练】
解：a + 1 + 1= 5，a = 3.
当堂检测
1.，-1，-是单项式. 2.（1）× （2）× （3）√
3. 6 2
4. 解：由题意得a-2≠0，2+|a+1|=5, 所以a = -4.第二章 整式的加减
2.1 整式
第3课时 多项式
学习目标：1.理解多项式、整式的概念.
2.会确定一个多项式的项数和次数.
重点：理解多项式的有关概念.
难点：会确定一个多项式的项数和次数.
自主学习
一、知识链接
单项式的有关概念：
由_____与_____（或_____与_____）相乘组成的式子叫做单项式.单独的一个_____或一个_____也叫单项式.
（2）单项式中的_________叫做这个单项式的系数.
一个单项式中，________________叫做这个单项式的次数.
的系数是__________，次数是______________.
二、新知预习
【自主归纳】
几个________的和叫做多项式；
2.多项式中的每一个________都叫做这个多项式的项，多项式含有几项，这个多项式叫做_________.
3.不含________的项叫做常数项.
4.多项式里，__________的次数，叫做这个多项式的次数,多项式的次数是几，这个多项式叫做__________.
5.______和______统称为整式.
三、自学自测
1.多项式有_____项，它们分别是______ _.其中常数项是______，它是一个__ _次_____项式.
2.多项式a3－a2b＋ab2－b3的项数为_______，次数为_______.
3.多项式3n4－2n2＋1的次数为________，常数项为_________.
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：多项式的相关概念
问题：列式表示下列数量：
（1）温度由t℃下降5℃后是______℃.
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要___________元.
（3）如图三角尺的面积为___________.
（4）如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是___________平方米.
议一议：上述几个式子都是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
要点归纳：多项式有关概念
1.几个单项式的和叫做多项式
2.在多项式中，每个单项式叫做多项式的项
3.不含字母的项叫做常数项
4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数
5.单项式与多项式统称为整式
试一试：
1.多项式 x2 + y－ z 是单项式 ， ， 的和，它是 次 项式.
2.多项式 3m3－2m－5 + m2 的常数项是____，二次项是_____，一次项的系数是_____.
方法归纳：
(1)多项式的各项应包括它前面的符号；
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；
(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一
例1 下列整式中哪些是多项式？是多项式的指出项和次数.
做一做：
一个多项式的次数是 3，则这个多项式的各项次数（ ）
A. 都等于 3 B. 都小于 3 C. 都不小于 D. 都不大于 3
例2 已知－5xm＋104xm+1－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式.
【归纳总结】 解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意列出方程，求出m的值.
针对训练：
若关于 x 的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1 不含二次项和一次项，求m、n的值.
探究点2：多项式的应用
例3 如图，用式子表示圆环的面积．当R=15 cm，r=10 cm时，求圆环的面积（π取3.14 ）．
做一做：
一个花坛的形状如图所示，其两端是半径相等的半圆，求：
(1)花坛的周长 L； (2)花坛的面积 S.
例4 某公园的门票价格是：成人 10 元/张；学生 5 元/张.
（1）一个旅游团有成人x人、学生y人，那么该旅游团应付多少门票费？
（2）如果该旅游团有 37 个成人、15 个学生，那么他们应付多少门票费？
二、课堂小结
项：多项式中的每个单项式叫多项式的项.
多项式 （其中不含字母的项叫做常数项）
次数：多项式中次数最高的项的次数.
当堂检测
1.下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
3x，2x - 1， ，-ab，-5， -1，3m - 4n + m2n．
判断正误：
多项式-x2y+2x2-y的次数是2．（ ）
（2）多项式 -a + 3a2的一次项系数是1．（ ）
（3）-x-y-z是三次三项式．（ ）
3.一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为４，一次项系数为１，常数项为7，则这个二次三项式为________．
4.若是关于x的一次多项式,则a =______；若它是关于x的二次二项式,则a =______.
5.多项式是关于a、b的四次三项式，且最高次项的系数为－2，则x=______,y=______.
6.已知多项式:是六次四项式,单项式的次数与这个多项式的次数相同,求n的值.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.（1）字母 数字 字母 字母 数 字母
（2）数字因数 所有字母的指数的和
2.- 5
二、新知预习
1.单项式 2.单项式 几项式 3.字母
4.次数最高项 几次多项式 5.单项式 多项式
三、自学自测
1.3 3x ，-2x，5 5 2 3
2.4 3 3.4 1
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
问题：（1）（t-5） （2）（3x+5y+2z） （3）（ab-πr ） （4）（x +2x+18）
议一议：上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
试一试：1. x ，y，-z； 2. -5， m2，-2
例1 解：
做一做：D
例2 解：由题意得m＋2=6，所以m=4. 所以该多项式为－5x4y＋104x5－4x4y2.
针对训练：解：由题意得 m = 0，n－1 = 0，所以 n = 1.
探究点2：
例3 解：外圆的面积减去内圆的面积就是圆环的面积，所以圆环的面积是πR -πr .　　当R=15 cm ，r=10 cm 时，圆环的面积（单位：cm2）是
πR -πr =π×15 -π×10 =392.5（cm ）.
做一做：
解：(1) L＝2a + 2πr
(2) 花坛的面积是一个长方形的面积与两个半圆的面积 之和，即 S = 2ar+πr2.
例4 解：（1）该旅游团应付的门票费是（10x＋5y）元.
（2）把x＝37，y＝15代入上式，得10x＋5y =10×37＋5×15 ＝445.因此，他们应付445元门票费.
当堂检测
1.单项式：3x，-ab，-5；多项式：2x-1，，m-4n+m2n；整式：3x，-ab，-5，2x-1，，m-4n+m2n.
2.（1）× （2）× （3）×
3. 4x2+x+7 4. 2 -3 5. -5 3
6. 解：由题意得2+m+2=6，所以m=2.又因为3n+4-m+1=6，即3n+3=6，所以n=1.第二章 整式的加减
2.2 整式的加减
第1课时 合并同类项
学习目标：1.知道同类项的概念，会识别同类项.
2.掌握合并同类项的法则，并能正确合并同类项.
3.能在合并同类项的基础上进行化简、求值运算.
重点：会判断同类项并能合并同类项.
难点：同类项的定义，合并同类项法则的形成过程及应用.
自主学习
一、知识链接
1.-5+3= , 4-2= .
2. 的系数是 ，次数是 .当a=1,b=-2时，的值是______.
3.组成多项式的项分别为 , , .
4.30米+50米= .
5.乘法的分配律：______________________.
二、新知预习
1.下列每组中的两项有什么共同的特点？你可以给这些具有共同特征的项取个名字吗？
⑴ 和 ⑵ 和 ⑶ 和 ⑷ 和
【自主归纳】所含_______相同，并且相同字母的_______也相同的项，叫做同类项.
2.温故： 知新：
⑴_______ ；⑵_______ ；
⑶ _______ ； ⑷_______ .
【自主归纳】在多项式中，几个__________可以合并成一项，这个合并的过程，叫做合并同类项.
合并同类项后，所得项的系数是合并前_____________________________，且________________________保持不变.
三、自学自测
1.下列各题中的两项不是同类项的是（ ）
A. 与 B. 与 C. 与 D. 与
2.下列各式正确的有（ ）
（1） （2）
（3） （4）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.合并同类项：－mn+mn=_______，－m－m－m=_______．
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：同类项的辨别
有八只小白兔，每只身上都标有一个单项式，你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗？（无论你用几个房间）
8n -7a2b 3ab2 2a2b 6xy 5n -3xy -ab2
知识要点：
所含字母相同
相同字母指数也相同
我们把具有如此特征的单项式称为同类项；所有的常数项也看做同类项
游戏：先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.
（1）2x2y与-3x2y
（2）2abc与2ab
-3pq与3qp
-4x2y与5xy2
总结归纳：同类项的判别方法
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.
（3）并且不要忘记几个常数项也是同类项.
例1 (1)在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
(2)如果2a2bn+1与 -4amb3 是同类项，那么m= ，n= .
探究点2：合并同类项及应用
周末，小明一家要外出游玩，爸爸、妈妈和小明各自选了他们要吃的东西：
爸爸
妈妈
小明
买的时候，小明怎么说？
____个汉堡____个苹果____个草莓_____瓶饮料
2 个汉堡 + 1 个汉堡 + 1 个汉堡 = 个汉堡
2 个草莓 + 3 个草莓 + 3 个草莓 = 个草莓
奇妙的替换：
2x + 3x = . 3a2bc - 2a2bc = .
知识要点：
1.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
2.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
.
说一说：下列合并同类项对吗？不对的，说明理由.
(1)a+a=2a； (4)4x2y-5xy2=-x2y；
(2)3a+2b=5ab； (5)3x2+2x3=5x5；
(3)5y2-3y2=2； (6)a+a-5a=-3a.
例2 合并下式中的同类项.
练一练：
合并同类项：
(1) 6x＋2x2－3x＋x2＋1；
(2) －3ab＋7－2a2－9ab－3.
总结归纳：“合并同类项”的方法：
一找，找出多项式中的同类项，不同类的项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律和结合律，将同类项分别集中到不同的括号内；
三并，将同一括号内的同类项合并即可.
例3 (1)求多项式2x2－5x＋x2＋4x－3x2－2的值，其中x＝.
(2)求多项式3a＋abc－c2－3a＋c2的值，其中a＝－，b＝2，c＝－3.[来源:Z
例4 一天，小明奶奶提着一篮子土豆去换苹果，双方商定的结果是：1 kg 土豆换 0.5 kg 苹果.当称完带篮子的土豆重量后，摊主对小明奶奶说：“别称篮子的重量了，称苹果时也带篮子称，这样既省事又互不吃亏.”你认为摊主的话有道理吗？请你用所学的有关数学知识加以判断.
练一练：
水库中水位第一天连续下降了 a 小时，每小时平均下降 2 cm；第二天连续上升了 a 小时，每小时平均上升0.5 cm，这两天水位总的变化情况如何？
分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.
二、课堂小结
当堂检测
1.下列各组式子中是同类项的是（ ）
A．-2a与a2 B．2a2b与3ab2 C．5ab2c与-b2ac D．-ab2和4ab2c
2.下列运算中正确的是（ ）
A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1 C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____．
4．合并同类项：
（1）-a-a-2a=________；
（2）-xy-5xy+6yx=________；
（3）0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______；
（4）3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=______________．
三角形三边长分别为，则这个三角形的周长为 ；
当时，周长为 .
6．求下列各式的值:
（1）3x2-8x+2x3-13x2+2x-2x3+3，其中x=-1．
（2）a2b-6ab-3a2b+5ab+2a2b，其中a=0.1，b=0.01．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.-2 2 2.-2 3 4 3.2x y -3xy 1 4.80米 2. a (b+c)=ab+ac
二、新知预习
1.所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项.
【自主归纳】字母 指数
2.（1）13 （2）6.5x （3）10 （4）
【自主归纳】同类项 各同类项的系数的和 字母连同它的指数
三、自学自测
1.B 2.A 3.0 -3m
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
（1）8n 5n （2） 3ab2 -ab2 （3） 6xy -3xy （4） -7a2b 2a2b
游戏：（1）是. （2）不是. 2abc的一个同类项为3abc.
（3）是. （4）不是. -4x y的一个同类项为x y.
例1 （1）6xy （2）2 2
探究点2：
4 个面包 3 个苹果8 个草莓3 瓶饮料
2 个面包 + 1 个面包 + 1 个面包 = 4 个面包
2 个草莓 + 3 个草莓 + 3 个草莓 = 8 个草莓
2x + 3x = .
3a2bc - 2a2bc = .
说一说：（1）对. （2）不对.不是同类项，不能合并. （3）不对.结果应为2y .
不对.不是同类项，不能合并. （5）不对.不是同类项，不能合并.（6）对.
例2
练一练：解：(1)原式 = (6x－3x)＋(2x2＋x2)＋1 = 3x＋3x2＋1
(2)原式 = (－3ab－9ab)－2a2＋(7－3) =－12ab－2a2＋4
例3 解：（1）原式=-x-2，当x=时，原式=-.
（2）原式=abc，当a=-，b=2，c=-3时，原式=1.
例4 解：设土豆重 a kg，篮子重 b kg，则应换苹果 0.5a kg.若不称篮子，则实换苹果为 0.5a＋0.5b－b＝(0.5a－0.5b) kg，很明显小明奶奶少得苹果 0.5b kg.
所以摊主说得没有道理，这样做小明奶奶吃亏了.
练一练：答案：下降 1.5a cm.
当堂检测
1.C 2.A 3. 2 1
4.（1）-4a （2）0 （3）ab2-a2b （4）8a2b-2ab2+3
5.30x 60
解：（1）原式=-1. （2）原式=-0.001.第二章 整式的加减
2.2 整式的加减
第2课时 去括号
学习目标：1.能运用运算律探究去括号法则.
2.会利用去括号法则将整式化简.
重点：能运用运算律探究去括号法则.
难点：会利用去括号法则将整式化简.
自主学习
一、知识链接
1.合并同类项：
（1）；（2）；（3）.
2.乘法的分配律：_____________________________________.
二、新知预习
1.填一填
2.通过上表你发现a+(-b+c) 与a-b+c，a-(-b+c)与a+b-c有何关系，用式子表示出来.
a b c a+(-b+c) a-b+c a-(-b+c) a+b-c
5 2 -1
-6 -4 3
3.运用分配律去括号:
(1) +(3－x)＝ ， +（3－x）＝ ；
（2）-（3－x）＝ ， -(3－x)＝ .
想一想：观察上述等式，从左边到右边发生了那些变化？
【自主归纳】去括号法则：
1.括号前是“+”时，把括号和它前面的“+”去掉，原括号里的各项都_________________.
2.括号前是“-”时，把括号和它前面的“-”去掉，原括号里的各项都_________________.
自学自测
化简下列各式：
（1）ab+2b2 -（5ab-b2）； （2）（5a-3b）-3（a-2b）
四、我的疑惑
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________
课堂探究
要点探究
探究点1：去括号化简
合作探究：利用乘法分配律计算：你有几种方法？
-7(3y - 4) =？
试一试：用类似方法计算下列各式：
2(x + 8) = (2) -3(3x + 4) = (3) -7(7y - 5) =
判一判：
(1)3(x + 8) = 3x + 8
-3(x - 8) = -3x - 24
4(-3 - 2x) = -12 + 8x
(4) -2(6 - x) = -12 + 2x
要点归纳：
1.如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
2.如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
议一议：
讨论比较 +(x - 3) 与 -(x - 3) 的区别？
注意：正确理解去括号的规律，去括号时括号内的每一项的符号都要考虑，做到要变都变，要不变，则都不变；另外，括号内原有几项去掉括号后仍有几项.
例1 化简下列各式：
（1）8a+2b+（5a-b）； （2）a +（5a-3b）-2（a-2b）； （3）(2x2＋x)－[4x2－(3x2－x)]．
【要点归纳】
1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘．
2.当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
针对训练
1.化简：
（1）3(a2－4a＋3)－5(5a2－a＋2)；
（2）3(x2－5xy)－4(x2＋2xy－y2)－5(y2－3xy)；
.
探究点2：去括号化简的应用
例2 两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.
问: (1)2小时后两船相距多远
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米
例3 先化简，再求值：已知x＝－4，y＝，求5xy2－[3xy2－（4xy2－2x2y）]＋2x2y－xy2的值.
【归纳总结】在化简时要注意去括号时是否变号；在代入时若所给的值是负数、分数、有乘方运算的，代入时要添上括号.
二、课堂小结
1.去括号时要将括号前的符号和括号一起去掉；
2.去括号时首先弄清括号前是“+”还是“-”；
3.去括号时当括号前有数字因数应用乘法分配律，切勿漏乘.
当堂检测
下列去括号中，正确的是（ ）
B．
C．
D.
2．不改变式子的值，把式子括号前的“－”号变成“＋”号，结果应是（ ）
A． B． C． D.
3.已知a-b=-3,c+d=2,则（b+c）-(a-d)的值为（ ）
A.1 B.5 C.-5 D.-1
4.化简下列各式：
（1）8m＋2n＋(5m－n)；
(5p－3q)－3( p2-2q )．
5.先化简，再求值：2(a＋8a2＋1－3a3)－3(－a＋7a2－2a3)，其中a＝－2 .
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.（1）原式=4a. （2）原式=-8ab . （3）原式=6x2.
2.a（b+c）=ab+ac
二、新知预习
1.从左往右，从上到下依次填：2 2 8 8 1 1 -13 -13
2. a+(-b+c) =a-b+c；a-(-b+c)与a+b-c.
3.（1）3-x （2） （3）-3+x （4）-2+
【自主归纳】不变 变为原来的相反数
三、自学自测
（1）原式=3b -4ab. （2）原式=2a+3b.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
试一试：
（1）2x + 16 （2）-9x - 12 （3）-49y + 35
判一判：
（1） 错 3x + 3×8 错因：分配律，漏乘 3.
（2） 错 -3x + 24 错因：括号前面是负数，去掉负号和括号后每一项都变号.
（3） 错 -12 - 8x 错因：括号前面是正数，去掉正号和括号后每一项都不变号.
（4） 对
议一议：
+(x - 3) 与 -(x - 3)可以分别看作 1 与 -1 分别乘 (x - 3)
例1 解：（1）原式=8a+2b+5a-b=13a+b.
（2）原式= a+5a-3b-2a+4b = (a+5a-2a) + (-3b+4b)= 4a+b.
原式 =2x2＋x－(4x2－3x2＋x)=2x2＋x－(x2＋x)=2x2＋x－x2－x=x2．
针对训练：
解：(1) 原式 = 3a2－12a＋9－25a2＋5a－10 = －22a2－7a－1.
(2) 原式 = 3x2－15xy－4x2－8xy＋4y2－5y2＋15xy = －x2－8xy－y2.
(3) 原式 = abc－(2ab－3abc＋ab＋4abc) = abc－3ab－abc = －3ab.
探究点2：
例2 解：(1)顺水速度=船速+水速=(50+a)km/h,逆水速度=船速-水速=(50-a)km/h.
2小时后两船相距2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(km).
(2) 2小时后甲船比乙船多航行:2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(km).
例3 解：原式=5xy2－(－xy2＋2x2y)＋2x2y－xy2=5xy2.
当堂检测
1.C 2.D 3.B
4. 解：（1）原式 =13m+n. （2）原式=－3p2+5p+3q.
解：原式=－5a2＋5a＋2. 当a＝－2时，原式=－28.第二章 整式的加减
2.2 整式的加减
第2课时 整式的加减
学习目标：1.熟练进行整式的加减运算.
2.能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系.
重点：熟练进行整式的加减运算.
难点：能根据题意列出式子，表示问题中的数量关系.
自主学习
一、知识链接
1.同类项：必须同时具备的两个条件（缺一不可）：
①所含的 相同；②相同 也相同.
合并同类项，就是把多项式中的同类项合并成一项.
方法：把同类项的 相加，而 不变.
2.去括号法则：
①如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 ；
②如果括号外的因数是 ，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号 .
去括号法则的依据实际是 .
二、新知预习
做一做：小亮和小莹到希望小学去看望小同学，小亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物；小莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物品.钢笔的售价为每支a元，字典的售价为每本b元，文具盒的售价为每个c元.
请你计算：（1）小亮花了________元； 小莹花了__________元；小亮和小莹共花___________________元.
小亮比小莹多花_______________元.
想一想：如何进行整式的加减运算？
【自主归纳】整式加减运算的基础是__________、_____________，运算结果仍是____________．
自学自测
求单项式，,,的和.
求与的差.
课堂探究
要点探究
探究点1：整式的加减
合作探究：如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为 .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是 .
将这两个数相加可得： + = .
结论：这些和都是_________的整数倍.
做一做：任意写一个三位数交换它的百位数字与个位数字，又得到一个数，两个数相减.
你又发现什么规律了吗？
例如：原三位数728，百位与个位交换后的数为827,由728 －827= －99.你能看出什么规律并验证它吗？
任意一个三位数可以表示成100a+10b+c
设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a，它们的差为：
(100a+10b+c)－( 100c+10b+a)
= 100a+10b+c－100c－10b－a
=99a－99c
=99(a－c).
议一议：在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
例1 计算： (1)(2a-3b)+(5a+4b)；(2)(8a-7b)-(4a-5b)
例2 求多项式 与多项式 的和与差.
练一练：求上述两多项式的差.
总结归纳：1. 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
2. 整式加减实际上就是：去括号、合并同类项.
3. 对于运算结果，常将多项式按某个字母（如 x ）的降幂（升幂）排列.
探究点2：整式的加减的应用
例3 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元.小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
例4 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下（单位：cm）:
长 宽 高
小纸盒 a b c
大纸盒 1.5a 2b 2c
　
（1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
（2）做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
总结归纳： 整式加减解决实际问题的一般步骤：
（1）根据题意列代数式；
（2）去括号、合并同类项；
（3）得出最后结果.
例5 求的值,其中.
【能力提升】
有这样一道题“当a＝2，b＝－2时，求多项式3a3b3－a2b＋b－（4a3b3－a2b－b2）＋（a3b3＋a2b）－2b2＋3的值”，马小虎做题时把a＝2错抄成a＝－2，王小真没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由.
二、课堂小结
当堂检测
1.已知一个多项式与的和等于，则这个多项式是（ ）
A． B． C． D．
2.长方形的一边长等于3a+2b,相邻边比它大a-b,那么这个长方形的周长是（ ）
A.14a+6b B.7a+3b　　 C.10a+10b　 D.12a+8b
3.若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B－A一定是（　 ）
A.二次多项式 B.三次多项式　 　C.五次三项式 D. 五次多项式
4.多项式与多项式的和不含二次项，则m为（ ）
A.2 B.-2 C.4 D.-4
5.已知 ，，则=_______________________.
6.若mn=m+3,则2mn+3m-5mn+10=__________.
7.计算：
8.某公司计划砌一个形状如下图（1）的喷水池，后有人建议改为如下图（2）的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多（即比较两个图形的周长）？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
思路点拨：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，分别表示两个图形的周长，再结合r1+r2+r3=R，化简式子比较大小.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.字母 字母的指数 系数 字母的指数
2.正数 相同 负数 相反 分配律
二、新知预习
做一做： （1）（10a+5b） （6a+4b+2c） （16a+9b+2c） （2）（4a+b-2c）
想一想：有括号先去括号，然后再合并同类项.
【自主归纳】去括号 合并同类项 整式
三、自学自测
1.和为x y. 2.差为-x -7xy+8.
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
合作探究：10a+b 10b+a 10a+b 10b+a 11a+11b= 11(a + b)
结论：这些和都是 11 的倍数.
议一议：
整式的加减运算，去括号、合并同类项
例1 解： (1)原式=7a+b. （2）原式=4a-2b.
例2 解：4-5x2+3x +（-2x+7x2-3）=4-5x2+3x-2x+7x2-3
=（-5x2+7x2）+（3x-2x）+（4-3）=2x2+x+1.
练一练：-5x2+3x -（-2x+7x2-3）=4-5x2+3x+2x-7x2+3
=（-5x2-7x2）+（3x+2x）+（4+3）= -12x2+5x+7.
探究点2：
例3 解：小红买笔记本和圆珠笔共花费 (3x + 2y) 元，小明买笔记本和圆珠笔共花费 (4x + 3y) 元.小红和小明一共花费(单位：元)
(3x + 2y)+ (4x + 3y) = 7x+5y，则小红与小明一共花费（7x+5y）元．
另解：小红和小明买笔记本共花费 (3x + 4x) 元，买圆珠笔共花费 (2y + 3y) 元.
小红和小明一共花费(单位：元)
(3x + 4x) + (2y + 3y) = 7x + 5y.
例4 解：小纸盒的表面积是 ( 2ab+2bc+2ac ) cm ；大纸盒的表面积是( 6ab+ 8bc+ 6ca ) cm
（1）做这两个纸盒共用料（单位：cm2）（2ab+2bc+2ac）+（6ab+ 8bc+ 6ca ）=8ab+10bc+8ac.
（2）做大纸盒比做小纸盒多用料（单位：cm2）（6ab+8bc+6ca）-（2ab+2bc+2ca）=4ab+6bc+4ac.
例5 解：原式=-3x+y ，当x=-2，y=时，原式=6.
【能力提升】
解：将原多项式化简后，得－b2＋b＋3. 因为这个式子的值与a的取值无关，所以即使把a抄错，最后的结果都会一样.
当堂检测
1.A 2.A 3.D 4.C
5. -9a2+5a-4 6. 1
7.(1)原式=-ab +a b-5a b. （2）原式=5m -3mn-3n .
（3）原式=-7.5x-7.8y. （4）原式=a -.
8. 设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3，则图（1）的周长为4πR，图（2）的周长为2πR+2πr1+2πr2+2π r3=2πR+2π（r1+ r2+ r3），因为2 r1+2 r2+2 r3=2R，所以r1+ r2+ r3=R，因此图（2）的周长为2πR+2πR=4πR．
这两种方案，用材料一样多.将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．第二章小结与复习
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
INCLUDEPICTURE"学习目标.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\天成文化 内容\\教案\\7年级\\学习目标.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．进一步理解单项式、多项式、整式及其有关概念，掌握整式的加减运算．
2．通过回顾与思考，梳理本章内容，提高分析、归纳、语言表达能力
3．培养严谨的学习态度和积极思考的学习习惯，通过列式表示数量关系．
INCLUDEPICTURE"学习重点.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\天成文化 内容\\教案\\7年级\\学习重点.TIF" \* MERGEFORMATINET
整式的加减运算．
INCLUDEPICTURE"学习难点.TIF" INCLUDEPICTURE "D:\\天成文化 内容\\教案\\7年级\\学习难点.TIF" \* MERGEFORMATINET
列式表达数量关系．
【导学流程】
一、情景导入、感受新知
本章知识结构图：
二、自学互研、生成新知
【自主探究】
阅读教材P74－76，完成下列问题．
①__表示数或字母的积的式子__叫做单项式，__单项式中的数字因数__叫做单项式系数，__一个单项式中，所有字母的指数的和__叫做单项式次数．
②__几个单项式的和__叫做多项式，__每个单项式__叫做多项式的项，__次数最高项的次数__叫做多项式的次数，__不含字母的项__叫做常数项．
③__所含字母相同，而且相同字母的指数也相同的项__叫做同类项，__把多项式中的同类项合并成一项__叫做合并同类项，合并同类项的法则是__合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变__．
④去括号的法则是__如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同，如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反__．
⑤整式加减计算的一般步骤是__如果有括号的先去括号，再合并同类项__．
⑥求整式的值的一般步骤是：先__将式子化简__，再__代入数值进行计算__．
⑦相互交流一下学习本章知识的过程中应注意哪些问题？易错易混易漏点有哪些？
三、典例剖析、运用新知
【合作探究】
例1：试用字母表示数．
(1)今天的平均气温为20℃，明天的平均气温下降x℃，则明天的平均气温是__(20－x)__℃.
(2)一个长方形菜地长为x米，宽为y米，现在要制作一个铁网围住菜地，需要购买__(2x＋2y)__米的铁丝网．
例2：先化简，再求值：3(xy2－x2y)－2(xy＋xy2)＋3x2y，并求当x＝1，y＝－2时的值．
　解：原式＝3xy2－3x2y－2xy－2xy2＋3x2y＝xy2－2xy.
当x＝1，y＝－2时，
原式＝1×(－2)2－2×1×(－2)
＝4＋4＝8.　
例3：某市居民使用自来水按如下标准收费：若每户月用水不超过12m3，按a元/m3，；若超过12m3，但不超过20m3，则超过部分按1.5a元/m3收费；若超过20m3，超过部分按2a元/m3收费，根据表中户月用水量n的取值，把相应的收费金额填入下表中：.
户月用水量/m3 10 18 26 n(n＞20)
收费金额/元 10a 21a 36a 2an－16a
分析：充分理解题意，按要求列出相应代数式，然后再化简．
师生活动：
①明了学情：教师深入课堂了解学生的学习进度，遇到的困难和出现的问题(去括号、合并同类项、求值格式、列式等方面)
②差异指导：根据学情进行相应指导．
③生助生：小组内相互纠错，改正答案．
四、课堂小结、回顾新知
1．谈谈自己在本节课学习中的成果和不足．
2．教师对本节课学习中学生的积极表现及存在的问题进行归纳．
五、检测反馈、落实新知
1．下列各组中，不是同类项的是(A)
A．0.5a2b与3ab2 B．2x2y与－2x2y
C．5与 D．－2xm与－3xm
2．多项式(xyz2＋4yx－1)＋(－3xy＋z2yx－3)－(2xyz2＋xy)的值是(A)
A．与x，y，z的大小无关
B．与x，y的大小有关，而与z的大小无关
C．与x的大小有关与y，z的大小无关
D．与x，y，z的大小都有关
3．先化简，再求值．
(1)5a3－2a2＋a－2(a3－3a2)－1其中a＝－1；
　解：原式＝5a3－2a2＋a－2a3＋6a2－1＝3a3＋4a2＋a－1.
当a＝－1时，
原式＝3×(－1)3＋4x(－1)2－1－1
＝－3＋4－2＝－1；　
(2)4a2b－[3ab2－2(3a2b－1)]其中a＝－0.1，b＝1.
　解：原式＝4a2b－[3ab2－6a2b＋2]
＝4a2b－3ab2＋6a2b－2
＝10a2b－3ab2－2.
当a＝－0.1，b＝1时，
原式＝10×(－0.1)2×1－3×(－0.1)×12－2
＝0.1＋0.3－2＝－1.6.　
4．当x＝－2，y＝时，求kx－2(x－y2)＋(－x＋y2)的值，小明同学在做题时，错把x＝－2看成x＝2，但结果也正确，且计算过程无误，求k的值．
　解：原式＝kx－2x＋y2－x＋y2
＝(k－)x＋y2.
∵由题意可知多项式的值与x的值无关，
∴k－＝0，x＝.　
六、课后作业、巩固新知
(见学生用书)

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