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函数的定义域
题型一 具体函数的定义域
例 1求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
巩固训练
1.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)；
(2)；
(3).
题型二 抽象函数的定义域求解
例2 求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
例3已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数，若“，使”为真命题，求m的取值范围；
（3）已知函数的定义域是R，求实数m的取值范围.
巩固训练
2.（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
2.已知函数的定义域为，求函数的定义域．
7．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3).
8．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域.
9．设函数的定义域为．
(1)求函数的定义域；
(2)设，求函数的定义域．
10．若函数的定义域为，求的定义域．函数的定义域
题型一 具体函数的定义域
例 1求下列函数的定义域
(1)；
(2)；
(3)（）.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，解不等式组可得答案，
（2）由题意得，解不等式组可得答案，
（3）由解析式得，解不等式组可得答案，
（1）
因为
所以，解得或
所以函数的定义域为；
（2）
因为，
所以，解得：或
所以函数的定义域为；
（3）
因为（）
所以解得：
所以函数（）的定义域为；
巩固训练
1.求下列函数的定义域(用区间表示).
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分式型定义域求法，分母不为零；
（2）偶数次根号下大于等于零；
（3）分式中分母不为零，二次根号下大于等于零.
(1)
的定义域为，，
定义域为；
(2)
，由得，
定义域为；
(3)
，由得，
定义域为.
题型二 抽象函数的定义域求解
例2 求下列函数的定义域：
(1)已知函数的定义域为[1，2]，求函数的定义域；
(2)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域；
(3)已知函数的定义域[1，2]，求函数的定义域.
【答案】(1)[0，]
(2)[3，5]
(3)[2，3]
【分析】(1)由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域；(2)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域；(3)由的定义域可得，求出2x+1的取值集合即可得出的定义域，进而得出2x-1的取值集合，再求出x的取值集合即可；
(1)
设，由于函数定义域为[1，2]，
故，即，解得，
所以函数的定义域为[0，]；
(2)
设，因为，
所以，即，函数的定义域为[3，5]，
由此得函数的定义域为[3，5]；
(3)
因为函数的定义域为[1，2]，即，
所以，所以函数的定义域为[3，5]，
由，得，
所以函数的定义域为[2，3].
例3已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数，若“，使”为真命题，求m的取值范围；
（3）已知函数的定义域是R，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）根据题意求出的定义域，求出的解集，即可得解；
（2）有解，只需即可；
（3）只需无解即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
在中，
所以在中，
由，或，
所以函数的定义域：.
（2）函数，若“，使”为真命题，
即有解，只需，，
.
（3）函数的定义域是R，无解即可，
当时，符合题意；
当时，，
综上所述：
巩固训练
2.（1）已知的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知的定义域为，求的定义域；
（3）已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】利用抽象函数的定义域求解.
【详解】（1）∵中的的范围与中的x的取值范围相同．
∴，
∴，
即的定义域为．
（2）由题意知中的，
∴.
又中的取值范围与中的x的取值范围相同，
∴的定义域为．
（3）∵函数的定义域为，
由，得，
∴的定义域为．
又，即，
∴函数的定义域为.
2.已知函数的定义域为，求函数的定义域．
【答案】
【分析】由条件可得，，即可得到函数的定义域，然后可建立不等式组求解.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，，
所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
课后练习
1.函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数定义域的求法求得的定义域.
【详解】依题意，解得.
故选：D
2．函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求定义域问题，要保证式子有意义，分母不等于0，开偶次方被开方数不小于0.
【详解】因为，所以要使式子有意义，则
，解得，即.
所以函数的定义域是.故A，C，D错误.
故选：B.
3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出的定义域，再根据分母不为零和前者可求题设中函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，故，
所以的定义域为，
故函数中的需满足：，
故，故函数的定义域为.
故选：C
4.若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考虑与时，结合根的判别式与图象进行求解.
【详解】若的定义域为，则当时，满足题意；
当时，，解得：；
当时，无法满足定义域为，
综上所述：实数的取值范围是．
故选：D
5．已知函数的定义域为，值域为R，则（ ）
A．函数的定义域为R
B．函数的值域为R
C．函数的定义域和值域都是R
D．函数的定义域和值域都是R
【答案】B
【分析】对于A选项：根据抽象函数的定义域令，推出的定义域判断正误；
对于B选项：因为的值域为R，所以的值域为R，进而推导出的值域，判断正误；
对于C选项：令，求出函数的定义域，即可判断正误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，即可判断正误；
【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误；
对于B选项：因为的值域为R，，所以的值域为R，可得函数的值域为R，故B选项正确；
对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误；
对于D选项：若函数的值域为R，则，此时无法判断其定义域是否为R，故D选项错误.
故选：B
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的定义求解．
【详解】的定义域为，，
的定义域为
则的定义域为，且
故选：D．
7．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1){x∈R|x≠1且x≠2}
(2){-1，1}
(3)（-∞，-1）∪（1，+∞）
【分析】结合分式和二次根式的性质依次求解即可得出结果.
(1)
，
要使函数有意义，即分式有意义，则x-1≠0且x-2≠0，
即且，故函数的定义域为{x∈R|x≠1且x≠2}．
(2)
要使函数有意义，则，所以x2＝1，
故函数的定义域为{x|x＝±1}＝{1，－1}．
(3)
要使函数有意义，则，得或.
故函数的定义域为{x|或}．
8．（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域；
（2）已知函数的定义域为，求函数的定义域.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据定义域的定义得到不等式，计算得到答案.
（2）先计算，得到不等式，计算得到答案.
【详解】（1）因为函数的定义域为，即，
函数中的范围与函数中x的范围相同，
所以，解得，所以函数的定义域为.
（2）的定义域为，∴，∴，令，∴.
∴的定义域为，即的定义域为.要使有意义，
需使，∴或.
∴函数的定义域为.
【点睛】本题考查了函数的定义域，抓住抽象函数的定义域解析方法是解题的关键.
9．设函数的定义域为．
(1)求函数的定义域；
(2)设，求函数的定义域．
【答案】(1)
(2)当时，定义域为空集；当时，定义域是；当，定义域是．
【分析】（1）根据题意可得，从而可得出答案；
（2）根据题意可得，分，，三种情况讨论即可得出答案.
(1)
解：因为函数的定义域为，
所以，解得，
所以函数的定义域为；
(2)
解：因为函数的定义域为，
所以，即，
当或，即时，不等式组无解，即函数的定义域为空集，
当时，定义域是，
当，定义域是．
10．若函数的定义域为，求的定义域．
【答案】分类讨论，答案见解析.
【分析】根据复合函数的定义域的求法，建立不等式组即可得到结论．
【详解】解：∴的定义域为，∴中的自变量应满足
即
当，即 时， ；当 ，即 时， ，如图：
当，即时，，如图
综上所述，当时，的定义域为；
当时，的定义域为；当时，函数不存在．
【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，根据复合函数的定义域之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．

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