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利用定义法求轨迹方程
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一、椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：
(1)若a>c,则集合P为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P为线段；
(3)若a例1.已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
练习1.已知A，B，C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆Q切直线l于点A，又过B，C作圆Q的异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
二、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在．
例2.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_______________．
练习2.已知，以为圆心的圆，半径为，点是一个定点，是线段的垂直平分线和直线相交于，在下列条件下，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
（1）时，点在圆上运动；（2）时，点在圆上运动.
三、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
例3.已知动点到定点的距离比到轴的距离大.求动点的轨迹的方程.
练习3.已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.求的方程.
四、综合练习
1.已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切．求动圆圆心的轨迹方程.
2.已知，，求满足的动点的轨迹方程．
3.已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.求点的轨迹的方程；
4.设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程．
提升练习
已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为 　 　．
利用定义法求轨迹方程解析
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
一、椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a},|F1F2|＝2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数：
(1)若a>c,则集合P为椭圆；
(2)若a＝c,则集合P为线段；
(3)若a例1.已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
解：如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系.
由题意，构成等差数列，（两定点的距离等于定长—椭圆），
即，又，的轨迹为椭圆的左半部分.
在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.
练习1.已知A，B，C是直线l上的三点，且|AB|＝|BC|＝6，圆Q切直线l于点A，又过B，C作圆Q的异于l的两切线，设这两切线交于点P，求点P的轨迹方程．
解：如图，由切线性质，得|PB|＋|PC|＝|BA|＋|CA|＝18>|BC|＝6.可知P点轨迹是以B，C为焦点的椭圆(但除去与BC的交点)．以BC为x轴，BC中点为原点建立平面直角坐标系得P点轨迹方程为＋＝1(y≠0)．
【答案】　＋＝1(y≠0)
二、双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0.
(1)当2a<|F1F2|时,P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时,P点的轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时,P点不存在．
例2.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_______________．
解：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
练习2.已知，以为圆心的圆，半径为，点是一个定点，是线段的垂直平分线和直线相交于，在下列条件下，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
（1）时，点在圆上运动；（2）时，点在圆上运动.
【答案】（1）；（2）
三、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线．
注意：
(1)定直线l不经过定点F.
(2)定义中包含三个定值,分别为一个定点,一条定直线及一个确定的比值.
例3.已知动点到定点的距离比到轴的距离大.求动点的轨迹的方程.
解析：由题意得轨迹方程为焦点在轴上，准线为的抛物线
则，即，故轨迹的方程为.
练习3.已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.求的方程.
【答案】
四、综合练习
1.已知定圆，圆，动圆与定圆外切，与定圆内切．求动圆圆心的轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，由图可知，圆内含于圆，圆的半径为，圆的半径为.
动圆与定圆外切，则，动圆与定圆内切，则，
由题意知：，根据椭圆定义，圆心的轨迹是以原点为中心，、为焦点，长半轴长，半焦距的椭圆，，的方程为；
2.已知，，求满足的动点的轨迹方程．
解：根据双曲线的定义可得，长轴长,半焦距,由,解得,故点的轨迹方程为.
3.已知圆的圆心为,点是圆上的动点,点是抛物线的焦点,点在线段上,且满足.求点的轨迹的方程；
【解析】
易知点是抛物线的焦点,,依题意,
所以点轨迹是一个椭圆,其焦点分别为,长轴长为4,设该椭圆的方程为,
则,,故点的轨迹的方程为.
4.设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，求圆心的轨迹的方程．
【解答】解：两圆的半径都为2，两圆心为，、，，
由题意得：或，
，
可知圆心的轨迹是以原点为中心，焦点在轴上，且实轴为4，焦距为的双曲线，
因此，，则，
所以轨迹的方程为．
提升练习
已知点，动点满足且，则点的轨迹方程为　　．
【解答】由，，则，，
所以，
而在三角形中，
所以可得，而，
所以可得，所以为定值且大于，
所以可得的轨迹为椭圆，且长轴长，焦距，焦点在轴上，中心在原点的椭圆，即，，所以，
所以的轨迹方程为：，
故答案为：．

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