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点差法在解析几何中的运用
圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
理论依据
若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？
答题模版
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得
典例分析
题型一：点差法求离心率
例1.已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
例2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
自主练习
1.椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
题型二：求中点弦直线斜率
例3.设椭圆过点，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点且以M点为中点的弦的方程．
自主练习
2.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．
题型三：求曲线的标准方程
例4已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
自主练习
3.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在 上，求抛物线的方程.
题型四：隐藏的中点弦问题
例5．在中，是、的等差中项，且，．
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围．
自主练习
5．已知椭圆过点，，且与椭圆有相同的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围．
综合练习
1．双曲线的一个焦点为，中心为原点，过的直线与C交于，两点，若的中点为，则此双曲线的渐近线方程为________．
2．双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
3.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．
4.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．
点差法在解析几何中的运用解析
圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。
理论依据
若，是椭圆上不重合的两点，点为的中点，的值为定值么？
答题模版
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得
典例分析
题型一：点差法求离心率
例1.已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为___________.
【答案】
【详解】
设，，，则，两式相减得，所以.因为，，所以.
因为，，所以，，故.
故答案为：．
例2.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，为椭圆的一条弦（不经过原点），直线经过弦的中点，与椭圆交于、两点，设直线的斜率为.
（1）若点的坐标为，求椭圆的方程；
（2）求证：为定值；
【答案】（1）；（2）证明见解析；
【详解】
由已知条件得，解得，因此，椭圆的方程为；
（2）设点、，则线段的中点坐标为，
，.
由题意可得，，，
由于点、都在椭圆上，则，两式作差得，（定值）；
自主练习
1.椭圆方程为椭圆内有一点，以这一点为中点的弦所在的直线方程为，则椭圆的离心率为______．
【答案】
【详解】
设直线与椭圆交于，则.
因为AB中点,则.又，相减得：.所以
所以所以，所以，即离心率.
故答案为：.
题型二：求中点弦直线斜率
例3.设椭圆过点，离心率为
（1）求C的方程；
（2）求过点且以M点为中点的弦的方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）将代入C的方程得，∴=4，又 得，
即，∴，∴C的方程为．
（2）设直线与C的交点为A，B，代入椭圆方程得
，作差化简可得，即，又，则，
以M点为中点的弦的方程: ,即：.
自主练习
2.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程．
【解答】解：设直线与椭圆的交点为，、，
为的中点，，
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得，于是
，即，
故所求直线的方程为，即．
题型三：求曲线的标准方程
例4已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程．
【解答】解：椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，
可得纵坐标为，可得中点．
设椭圆标准方程为：．
设直线与椭圆相交于点，，，．
则，，相减可得：，
又，，，，又，联立解得，．椭圆的标准方程为：．
自主练习
3.抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，它和直线相交，所得的弦的中点在 上，求抛物线的方程.
解：设抛物线的方程为，直线与抛物线的两个交点为M、N，弦MN的中点P的坐标为.由得：，
又点在圆上，解之得：或
由得：直线与抛物线有两个不同的交点，
＞0.m＜，或m＞0.故所求的抛物线方程为
题型四：隐藏的中点弦问题
例5．在中，是、的等差中项，且，．
（1）求顶点的轨迹的方程；
（2）若上存在两点关于直线对称，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，，
顶点的轨迹是以，为焦点的椭圆（除去，，共线），且，，
，顶点的轨迹的方程；
（2）解：设关于直线对称的点为，，则的方程为，
与椭圆方程联立，消去整理得：．
即．由△，得．
设，，，，则，，
再设的中点为，，则，又在上，得，
在上，得，即．则，得．
自主练习
5．已知椭圆过点，，且与椭圆有相同的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若椭圆上存在、两点关于直线对称，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由椭圆，可得，可得焦点．
设椭圆的标准方程为，则，解得，．
椭圆的标准方程为．
（2）设直线的方程为：，，，，，线段的中点，．
联立，化为：．
△，化为：．，．
，．，解得，代入．可得．实数的取值范围是．
综合练习
1．双曲线的一个焦点为，中心为原点，过的直线与C交于，两点，若的中点为，则此双曲线的渐近线方程为________．
【答案】
【详解】
由题意，可设双曲线方程为，，，
因为过的直线与C交于，两点，的中点为，所以，，，，又，两式作差可得，即，则，即，又，所以，因此，则，所以此双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
2．双曲线的右焦点分别为F，圆M的方程为.若直线l与圆M相切于点，与双曲线C交于A，B两点，点P恰好为AB的中点，则双曲线C的方程为________.
【答案】
【详解】
设直线l的斜率为k，则，所以，因为点在圆上，
，即，设点，，则，.
两式相减，得
则，即，所以双曲线C的方程为.
故答案为：
3.已知双曲线，经过点能否作一条直线，使直线与双曲线交于、，且是线段的中点，若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．
【解答】解：设过点的直线方程为或
（1）当存在时有得 （1）
当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有
△，
又方程（1）的两个不同的根是两交点、的横坐标
又为线段的中点即
，使但使△，因此当时，方程（1）无实数解
故过点与双曲线交于两点、且为线段中点的直线不存在．
（2）当时，直线经过点但不满足条件，
综上，符合条件的直线不存在
4.已知椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
（1）求椭圆的方程；
（2）经过点作直线，交椭圆于、两点．如果恰好是线段的中点，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
【详解】
（1）根据题意，椭圆的长轴长为，且短轴长是长轴长的一半．
即，则，，则，因此，椭圆的方程为；
（2）由（1）得椭圆的方程为，设点、，
由于点为线段的中点，则，得.
由于点、在椭圆上，则，两个等式相减得，
即，即，
所以，直线的斜率为.
因此，直线的方程为，即.

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