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导数的几何意义
从近三年高考情况来看，导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容一直是高考中的热点，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数.
一、答题模板
解答已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程，一般考虑如下三步：
第一步：利用导数公式求导数；
第二步：求斜率f ′(x0)；
第三步：写出切线方程y y0=f ′(x0)(x x0).
二、求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
三、典例分析
例1.已知函数，当时，求曲线在点处的切线方程。
自主练习
1. 已知函数．求曲线在点处的切线方程；
例2.曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
自主练习
2. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
例3.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求a；
（2）求a的取值范围．
自主练习
3.若曲线在处的切线与的切线相同，则
A． B．
C． D．
例4. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
自主练习
4.设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．
四、综合练习
1.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（ ）
A． B．或
C． D．
3.已知.若曲线存在两条过点的切线，则取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.设曲线，在曲线上一点处的切线记为，则切线与曲线的公共点个数为（ ）
A． B．
C． D．
5.已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 13
6.已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
导数的几何意义解析
从近三年高考情况来看，导数的概念及其运算法则、导数的几何意义等内容一直是高考中的热点，常以选择题或填空题的形式呈现，有时也会作为解答题中的一问．解题时要掌握函数在某一点处的导数定义、几何意义以及基本初等函数的求导法则，会求简单的复合函数的导数.
一、答题模板
解答已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程，一般考虑如下三步：
第一步：利用导数公式求导数；
第二步：求斜率f ′(x0)；
第三步：写出切线方程y y0=f ′(x0)(x x0).
二、求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x0, y0)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程；
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，通过方程k=f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x0, y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，最后由点斜式或两点式写出方程．
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由k=f ′(x0)求出切点坐标(x0, y0)，最后写出切线方程．
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是否在已知曲线上．
三、典例分析
例1.已知函数，当时，求曲线在点处的切线方程。
【详解】
的定义域为，当时,,所以切点为,所以切线斜率为2
所以曲线在点处的切线方程为
自主练习
1. 已知函数．求曲线在点处的切线方程；
【详解】
解：因，所以，即切点坐标为，
又，∴切线斜率
∴切线方程为：
例2.曲线过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；
【详解】解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；
故答案为：；
自主练习
2. 若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,∵切线有两条，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
例3.已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．
（1）若，求a；
（2）求a的取值范围．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）先由上的切点求出切线方程，设出上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函数值求出即可；
（2）设出上的切点坐标，分别由和及切点表示出切线方程，由切线重合表示出，构造函数，求导求出函数值域，即可求得的取值范围.
【小问1详解】
由题意知，，，，则在点处的切线方程为，
即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得；
【小问2详解】
，则在点处的切线方程为，整理得，
设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得，
则，整理得，
令，则，令，解得或，
令，解得或，则变化时，的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则的值域为，故的取值范围为.
自主练习
3.若曲线在处的切线与的切线相同，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的导数为＝ex，曲线在x＝0处的切线斜率为k＝=1，
则曲线在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x；函数的导数为＝，设切点为（m，n），则＝1，解得m＝1，n＝2，即有2＝ln1+b，解得b＝2．
故选A．
例4. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】解：，
因为分别是函数的极小值点和极大值点，
所以函数在和上递减，在上递增，
所以当时，，当时，，
若时，当时，，则此时，与前面矛盾，
故不符合题意，
若时，则方程的两个根为，
即方程的两个根为，
即函数与函数的图象有两个不同的交点，
∵,∴函数的图象是单调递减的指数函数，
又∵,∴的图象由指数函数向下关于轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的倍得到，如图所示：
设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为，
则切线的斜率为，
故切线方程为，
则有，解得，
则切线的斜率为，
因为函数与函数的图象有两个不同的交点，
所以，解得，
又，所以，
综上所述，的范围为.
【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.
自主练习
4.设函数的图象上任意一点处的切线为，若函数的图象上总存在一点，使得在该点处的切线满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】，即，又，即，，，，，，
本题正确结果为.
【名师点睛】本题考查导数的几何意义，关键是能够通过导函数的解析式得到斜率的取值范围，再利用集合的包含关系构造不等关系求得结果.求解时，根据求得的范围，根据垂直关系可得；通过求得；由题意可知，从而得到不等式组，解不等式组求得结果.
四、综合练习
1.设函数.若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.
故选D.
2.已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则的值为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，当时，切线的斜率，切线方程为，因为它与抛物线相切，所以将其代入，则有唯一解，即有唯一解，故 ，解得，故选C.
3.已知.若曲线存在两条过点的切线，则取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题得，设切点坐标为（），则切线方程为，又切线过点（1，0），可得，整理得，因为曲线存在两条切线，故方程有两个不等实根，即满足，解得a>0或a< 2.
故选D.
4.设曲线，在曲线上一点处的切线记为，则切线与曲线的公共点个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题得，的斜率，的方程为：，即，由得：，即，，，，曲线与的公共点个数为.
本题正确选项为C.
5.已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 13
【答案】B
【详解】设切点为 ，的导数为，
由切线的方程可得切线的斜率为1，令，
则 ，故切点为，代入，得，、为正实数，则，当且仅当，时，取得最小值9，
故选：B
6.已知分别是曲线与曲线上的点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】曲线与曲线互为反函数，其图象关于对称，
求出点到的最小距离，设曲线上斜率为的切线为，，由 得，切点坐标为，即，，的最小值为，无最大值，即
故选：B.

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