资源简介

2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明
考点一、线线平行
例1、如图，在四面体中，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.求证：
例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.求证：G为SB的中点
例3、在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证：
跟踪练习
1、如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于，求证：
2、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证：
3、如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：
4、如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.证明：
5、如图，平面，平面，，求证：
考点二、 线面平行
例1、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD
例2、如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
例3、如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
求证：平面ABC.
跟踪练习
1、如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，证明：平面
2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面
3、如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，分别是，，的中点，证明：平面
4、如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是的中点，是的中点，，求证：平面
5、如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，，，且，，）求证：平面BDE
6、在四棱锥P—ABCD中，ABCD，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上(M，N，E不同于端点)求证：CD平面MNE
7、如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，，点为的中点，求证：平面
8、在四棱锥中，底面为梯形，，，若为的中点，求证：平面
9、如图所示，四面体PABC中，E，F分别为AB，AC的中点，过EF作四面体的截面EFGH交PC于点G，交PB于点H，证明：GH/平面ABC
10、如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
11、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点，求证：平面
12、如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面
考点三、 面面平行
例1、如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面
例2、如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，，，分别是，，的中点，点在上，且，求证：平面平面
例3、如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面
跟踪练习
1、如图，在几何体中，四边形是矩形，，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面
2、如图，四边形ABCD是边长为的菱形，BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∥平面CB1D1
3、如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面
4、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，P，Q是AB，CD的中，点M，N分别是SB，CB的中点，求证∶平面AMN平面SCD
5、如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
考点四 平行中的动点
例1、直三棱柱所有棱长都为2，在边上是否存在一点，使平面，若存在给出证明，若不存在，说明理由
例2、如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值
例3、如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由
跟踪练习
1、在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点，在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由
2、在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由
3、在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由
4、如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1⊥AC，D，D1分别为AC，A1C1的中点且AD=AA1，在棱AA1上找一点M，使得平面，并说明理由
5、如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点，如，在平面内寻找一点使得平面，并说明理由
6、已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，于点，试问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
7、在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由2023年高考数学考点复习——空间几何中的平行证明
考点一、线线平行
例1、如图，在四面体中，，分别为，的中点，过的平面与，分别交于点，.求证：
证明：因为，分别为，的中点，所以，
因为平面，平面
所以平面
又平面平面，平面
所以，所以.
例2、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是菱形，，为等边三角形，G是线段SB上的一点，且SD//平面GAC.求证：G为SB的中点
证明：证明：如图，连接交于点，则为的中点，连接，
∵平面，平面平面，平面，
∴，而为的中点，∴为的中点.
例3、在正四棱锥中，分别是的中点，过直线的平面分别与侧棱交于点，求证：
证明：证明：在中，因为E，F分别是的中点，所以且，
又因为平面，平面，所以平面
因为平面平面，所以，所以．
跟踪练习
1、如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于，求证：
证明：证明：因为，平面，平面，所以平面，
因为平面平面，平面，所以.
2、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形E，F分别为BC，AD的中点，过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，求证：
答案：证明见解析
证明：∵底面ABCD为平行四边形，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EFCD，∴EFAB.
平面PCD，平面PCD，所以平面PCD，
过EF的平面与平面PCD交于M，N两点，∴MNEF，∴ABMN.
3、如图，三棱锥中，△为正三角形，点在棱上，、分别是棱、的中点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，求证：
证明：∵、分别是棱、的中点，∴，
∵平面，平面，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，则；
4、如图，四棱锥的底面是边长为8的正方形，点G.E.F.H分别是棱PB．AB．DC．PC上共面的四点，平面GEFH.证明：
证明：∵平面GEFH，
又∵平面PBC且平面平面，∴.
又∵平面GEFH，
又∵平面ABCD且平面平面，∴，∴.
5、如图，平面，平面，，求证：
证明：依题意，平面，平面，∴平面，
又平面，，∴平面平面，
∴平面平面，平面平面，∴；
考点二、 线面平行
例1、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中D是AC的中点，求证：B1C∥平面A1BD
证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，∵D为AC中点，∴PD∥B1C，
又∵PD 平面A1BD，B1C 平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD
例2、如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，连接交于点为的重心，证明：平面
证明：延长交于，连接，因为为的重心，则为的中点，且，
因为，所以，所以，因此，
又因为平面，平面，所以平面；
例3、如图，四棱锥中，四边形ABED是正方形，若G，F分别是线段EC，BD的中点.
（1）求证：平面ABC.
证明：由四边形ABED为正方形可知，
连接AE必与BD相交于中点F，又G是线段EC的中点，故，
面ABC，面ABC，
面ABC；
跟踪练习
1、如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，证明：平面
证明：直三棱柱中，设与交于点，连接，
四边形是矩形，则为的中点，
因是的中点，所以，又平面，平面，所以平面.
2、《九章算术》是我国古代的数学著作，是“算经十书”中最重要的一部，它对几何学的研究比西方要早1000多年.在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.如图，在堑堵中，，，M，N分别是，BC的中点，点P在线段上，若P为的中点，求证：平面
证明：证明：取的中点H，连接PH，HC.
在堑堵中，四边形为平行四边形，
所以且.
在中，P，H分别为，的中点，
所以且.
因为N为BC的中点，所以，
从而且，
所以四边形PHCN为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
3、如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，分别是，，的中点，证明：平面
证明：连接，
分别为中点，；
由直四棱柱特点知：，，又为中点，，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面；
4、如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，是的中点，是的中点，，求证：平面
证明：如图①，取的中点，连接，，
因为是的中点，所以且.
因为四边形是菱形，是的中点，所以且，
从而且，
所以四边形是平行四边形，从而.
又平面，平面，所以平面.
5、如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，，，且，，）求证：平面BDE
答案：证明见解析
证明：证明：过G作于N，交BE于M，连接DM，如图所示：
因为，且，
所以N为CE中点，
所以，，，
所以，，
所以四边形ADMG为平行四边形，
所以，又平面BDE，平面BDE，所以平面BDE.
6、在四棱锥P—ABCD中，ABCD，过CD的平面分别交线段PA，PB于M，N，E在线段DP上(M，N，E不同于端点)求证：CD平面MNE
证明：证明：∵，平面，平面∴平面
又∵平面，平面平面∴
又∵平面，平面∴平面
7、如图，在多面体中，矩形所在平面与正方形所在平面垂直，，点为的中点，求证：平面
证明：连接交于点.连接.
因为四边形是正方形，所以为的中点，由于为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
易知，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面平面.又因为平面，所以平面；
8、在四棱锥中，底面为梯形，，，若为的中点，求证：平面
证明：∵在梯形中，，，为的中点，
所以且，∴四边形为平行四边形，所以，
∵平面，平面，所以平面．
9、如图所示，四面体PABC中，E，F分别为AB，AC的中点，过EF作四面体的截面EFGH交PC于点G，交PB于点H，证明：GH/平面ABC
证明：∵E，F分别为AB，AC的中点,∴EF∥BC,
又∵EF 平面PBC,BC 平面PBC,∴EF∥平面PBC,
∵EF 平面EFGH,平面EFGH∩平面PBC=GH,∴EF∥GH,
又∵GH 平面ABC,EF 平面ABC,∴GH∥平面ABC;
10、如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
证明：证明：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
11、如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为正三角形，且侧面底面，为的中点，求证：平面
答案：证明见解析
证明：证明：连接，与交于，在中，
分别为的中点，
,
平面平面，
平面；
12、如图，在三棱柱中，侧面是菱形，是棱的中点，，在线段上，且，证明：平面
答案：证明见解析
证明：连接交于点，连接，
因为四边形为菱形，则且，
为的中点，则且，故，
所以，，，
平面，平面，因此，平面；
考点三、 面面平行
例1、如图所示，四棱柱的侧棱与底面垂直，交于点，且分别为的中点，，求证：平面平面
证明：如图，连接，设，则为的中点，而为AC的中点，连接，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，又因为侧棱与底面垂直，所以，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.
例2、如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，，，分别是，，的中点，点在上，且，求证：平面平面
证明：连结，因为是正三角形，是的重心，为的中点，
所以与共线，且，
因为为的中点，，所以是的中点，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，平面，
所以平面平面；
例3、如图，在多面体中，是正方形，，M为棱的中点，求证：平面平面
证明：如图，连接，交于点N，
∴N为的中点，
连接，由M为棱的中点，则．
∵面，面，∴平面．
∵，∴四边形为平行四边形，
∴．又平面，平面，
∴平面，又，
∴平面平面．
跟踪练习
1、如图，在几何体中，四边形是矩形，，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面
证明：如图，因为中点为，连接，
又是的中点，可知，
又平面，平面，
所以平面．
在矩形中，由，分别是，的中点得．
又平面，平面，所以平面．
又因为，平面，平面，
所以平面平面
2、如图，四边形ABCD是边长为的菱形，BB1＝DD1＝2，E，F分别是AD1，AB1的中点，证明：平面BDEF∥平面CB1D1
证明：证明：连接，交于点，连接，则为的中点，
∵是的中点，
平面,平面,所以平面
又是的中点
平面,平面,所以平面
又平面,, 所以平面平面．
3、如图，已知矩形所在的平面垂直于直角梯形所在的平面，且，，，，，，分别是，的中点，求证：平面平面
证明：∵，分别是，的中点，
∴，且平面，则平面，
，且，
∴四边形是矩形，则，且平面，则平面
又，故平面平面
4、如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，ADBC，P，Q是AB，CD的中，点M，N分别是SB，CB的中点，求证∶平面AMN平面SCD
答案：证明见解析
证明：因为、分别是，的中点，所以，面，面，所以面，又且，所以为平行四边形，所以，面，面，所以面，又，面，所以面面；
5、如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，分别是的中点，点在上，且，求证：平面平面
证明：证明：连结，由题意可得与共线，且，
∵是的中点，，∴是的中点，
∴，∴，平面；平面；∴平面，
∵是的中点，∴，平面，平面；∴平面，
∵，平面，平面，∴平面平面；
考点四 平行中的动点
例1、直三棱柱所有棱长都为2，在边上是否存在一点，使平面，若存在给出证明，若不存在，说明理由
证明：存在，是的中点，
直三棱柱中，连接交于点，如图：
则为中点，连接，而为的中点，则，又平面，平面，所以平面；
例2、如图，在三棱柱中，平面，，，，是棱的中点，在棱上，且，在棱上是否存在点，满足平面，若存在，求出的值
答案：存在，
证明：因为面，故三棱柱为直三棱柱.
故面，而面，故，
因为，故且，
因为是棱的中点，故，因为，
∴直线平面，而平面， ∴，
又，，∴平面，
而平面，∴，
在矩形中，，，
故，故，故即，故.
过作，交于，取的中点为，连接，
则，而，故，
所以，即，所以.
在矩形中，因为，故，
而，所以，所以，
而平面，平面，所以平面.
在上取点，使，连，
因为，故，故.
在矩形中，因为为所在棱的中点，故
而故，故四边形为平行四边形，
故，故，
而平面，平面，所以平面.
因为，故平面以平面，
因为平面，故平面.
例3、如图，已知平面，平面，，设是直线上的点，当点在何位置时，直线平面？请说明理由
证明：当点是的中点时，平面.
理由如下：如下图，取的中点，连接、、，则且，
因为平面，平面，所以.
又，所以且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面；
跟踪练习
1、在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为的中点，在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置并给出证明，若不存在，说明理由
证明：存在点为上的靠近的四等分点即，平面，
证明如下：取的中点，连接，，
则，
因为平面，平面，所以平面，
因为，，
所以，又平面，平面，
所以平面，
又，平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面．
2、在如图所示的五面体ABCDEF中，△ADF是正三角形，四边形ABCD为菱形，，EF平面ABCD，AB=2EF=2，点M为BC中点，在直线CD上是否存在一点G，使得平面EMG平面BDF，请说明理由
证明：连接AC交BD于点O，连接OM，OF，取CD的中点G，连接GM，GE
因为EF平面ABCD，EF平面ABEF，平面ABEF∩平面ABCD=AB，所以EFAB
因为OMABEF，，所以四边形OMEF是平行四边形，所以OFEM
因为EM平面BDF，OF平面BDF，所以EM平面BDF
因为点G与点M分别为CD与BC的中点，所以GMBD
因为GM平面BDF，BD平面BDF，所以GM平面BDF
而GM∩EM=M，平面EMG平面BDF
3、在长方体中，已知，为的中点，）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由
证明：存在，当点为线段的中点时，平面平面.
证明：在长方体中，，.
又因为平面，平面，
所以平面.
又为的中点，为的中点，
所以，且.
故四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面.
4、如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1⊥AC，D，D1分别为AC，A1C1的中点且AD=AA1，在棱AA1上找一点M，使得平面，并说明理由
答案：M与A重合时，面，理由见解析
证明：当M与A重合时，D1M∥面DBC1，理由如下：∵D1C1∥AD，且D1C1=AD，
∴四边形D1C1DA为平行四边形，∴D1A∥C1D，因为C1D 面BDC1，∴D1M∥面DBC1.
5、如图，在三棱锥中，底面，是正三角形，是棱的中点，如，在平面内寻找一点使得平面，并说明理由
答案：答案见解析.
证明：延长至点，使得，延长至点，使得，连接，在直线上任取一点，则点满足平面.
理由如下：
是线段的中点，是线段的中点，是的中位线，，平面.
同理平面，
又，平面平面，
平面，平面.
(注：若此题点直接取或，理由充分，给分)
6、已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，且，平面，，于点，试问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由；
证明：当为线段的中点时，平面.
下面给出证明：
取的中点，连接，，则，且，
所以四边形为平行四边形，所以.
因为，，所以为的中点，
又为的中点，，，所以，且，
所以四边形为平行四边形，所以，且，又，，
所以，且，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
又平面，平面，所以平面，
7、在正三棱柱中，已知，M，N分别为，的中点，P为线段上一点．平面与平面的交线为l，是否存在点P使得平面？若存在，请指出点P的位置并证明；若不存在，请说明理由
证明：当时，平面
证明如下：连接交于点G，连接，
因为，所以
又∵平面，平面
∴平面

展开更多......

收起↑