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31.复合函数单调性的确定
基础知识
注意：确定符合函数的单调性时，首先要确定函数的定义域
1.复合函数与单调性:
结论1：若与在上是增函数，则 函数也是增函数。
结论2：若与在上是减函数，则函数也是减函数。
结论3：若在上是增函数， 在上是减函数，则函数也是增函数
结论4：若在上是减函数， 在上是增函数，则函数也是减函数
2.复合函数单调性判断法
若函数在内单调，在内单调，且集合{︳，}
（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数。（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数。
归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）
例题讲解
例1.下列函数在上是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
例2.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
例3.函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
例4.函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
例5.已知函数，则对任意实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例6.函数是（ ）
A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减
C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减
例7.若函数，则的单调递减区间是
A． B． C． D．
例8.已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数
例9.已知函数在R上是减函数,则的单调减区间是
A． B． C． D．
例10.若是上的增函数，令，则是上的
A．增函数 B．减函数 C．先减后增 D．先增后减
例11.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性(不必证明)；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
31.复合函数单调性的确定
基础知识
注意：确定符合函数的单调性时，首先要确定函数的定义域
1.复合函数与单调性:
结论1：若与在上是增函数，则 函数也是增函数。
结论2：若与在上是减函数，则函数也是减函数。
结论3：若在上是增函数， 在上是减函数，则函数也是增函数
结论4：若在上是减函数， 在上是增函数，则函数也是减函数
2.复合函数单调性判断法
若函数在内单调，在内单调，且集合{︳，}
（1）若是增函数，是增（减）函数，则是增（减）函数。（2）若是减函数，是增（减）函数，则是减（增）函数。
归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）
例题讲解
例1.下列函数在上是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
解析：根据熟知函数的图象与性质判断函数的单调性.
解：对于选项A，在上无意义，不符合题意； 对于选项B，在上是增函数，不符合题意； 对于选项C，的大致图象如图所示中，由图可知在上是减函数，符合题意； 对于选项D，在上是增函数，不符合题意. 故选：C.
例2.函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
解析：先求出函数的定义域，再分别求出函数和对数函数的单调性，最后利用复合函数单调性，可求出函数的单调递减区间.
解：解不等式，解得：或， 所以函数的定义域为. 设函数，可知为二次函数，且开口向上， 则函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 而对数函数在上为减函数， 由复合函数单调性“同增异减”可知， 函数的单调递减区间为. 故选：D.
例3.函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
解析：先求出函数的定义域以及真数的单调增减区间，根据复合函数的单调性再写出函数的单调减区间即可.
解：的定义域为：，解得：. 令，对称轴为，单调增区间为，减区间为 为单调递增函数，所以的单调递减区间为.故选：D
例4.函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
解析：由二次函数、指数函数的单调性结合复合函数的单调性运算即可得解.
解：令可得或， 所以函数的定义域为或， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又函数在R上单调递减， 所以函数的单调递增区间为.故选：A.
例5.已知函数，则对任意实数，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：判断函数的奇偶性和单调性，结合函数的性质判断与的关系即可.
解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 函数为奇函数， 又， 当时，函数单调递增，单调递减， 所以函数在上单调递增，又函数为奇函数， 所以函数在上单调递增， 由可得，所以，故， 由可得，所以，所以， 所以“”是“”的充要条件，故选：C.
例6.函数是（ ）
A．奇函数，在区间上单调递增 B．奇函数，在区间上单调递减
C．偶函数，在区间上单调递增 D．偶函数，在区间上单调递减
解析：本题首先可以令，然后根据得出函数是奇函数，再然后根据函数是增函数以及函数是减函数即可得出结果。
解：令函数， 因为，， 所以，函数是奇函数， 因为函数是增函数，函数是减函数，增函数减去减函数是增函数， 所以函数在区间上单调递增， 故选：A.
例7.若函数，则的单调递减区间是
A． B． C． D．
解析：将复合函数拆成两个简单函数,利用两个简单函数的单调性以及”同增异减”原则可确定复合函数的单调区间.
解：将原函数看成复合函数 因为是关于u的减函数，u在为增函数，在为减函数, 由复合函数的性质知，的单调递减区间是. 故选B.
例8.已知函数在上是增函数，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．为实数）在上是增函数
解析：在上是减函数，故选项正确；举例说明选项错误，即得解.
解：选项，函数在上是增函数，在上是减函数，故选项正确； 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但在上不一定是减函数， 如在上是增函数，但在上不是减函数，故排除选项． 选项，函数在上是增函数，但为实数）在上不一定是增函数， 例如在上是增函数，但在上不是增函数，故排除选项.故选：A
例9.已知函数在R上是减函数,则的单调减区间是
A． B． C． D．
解析：令，求出其单调增区间后利用“同增异减”可得的单调减区间
解：设，则当时，函数单调递增， 当时，函数单调递减， ∵在R上是减函数， ∴根据复合函数单调性之间的关系可知的单调减区间是.故选：B.
例10.若是上的增函数，令，则是上的
A．增函数 B．减函数 C．先减后增 D．先增后减
解析：利用复合函数的单调性得到答案.
解：易知是在上的增函数，是上的增函数 则是上的增函数 故是上的增函数故答案选A
例11.已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）判断函数的单调性(不必证明)；
（3）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
解析：（1）利用奇偶性的定义可判断函数的奇偶性； （2）利用复合函数的单调性可判断函数的单调性； （3）根据函数的定义域、单调性与奇偶性将不等式转化为不等式组求解即可.
解：（1）由，得定义域为， ，都有，且， ∴为奇函数； （2）令，由在上是减函数，又是增函数，可得函数在上是减函数； （3）由恒成立，得恒成立， 则，解得，所以的取值范围是.

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