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浙教版八上数学
第二章 特殊三角形章末复习课
熟悉化、简单化-----------让辅助线来的自然
构造
全等三角形
等腰三角形
直角三角形
二线合一
勾股定理逆定理
平移+旋转+对称
三线八角
平行线
A
B
C
D
E
1.如图已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，
BC=3，CD=2，求AB2的值。
解：延长AD、BC交于E
∵ ∠A=60°，∠B=∠D=90°
∴∠E=30°
AE=2AB
∴CE=2CD=2×2=4，
BE=BC+CE=3+4=7，
∵AB2+BE2=AE2
∴AB2+72=(2AB)2
300、600、900的直角三角形叫做黄金直角三角形
600角所对的直角边是300角所对的直角边的 倍
。
300角所对的直角边是600角所对的直角边的 倍
。
.
。
配套数字： 1： ：2
.
AB2=
.
A
B
C
D
1.如图已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，
BC=3，CD=2，求AB2的值。
解：延长AB、DC交于E
∵ ∠A=60°，∠B=∠D=90°
∴∠E=30°
E
DE=CD+CE=2+6=8，AD=
.
AE=2AD=
.
∴CE=2BC=2×3=6，BE=3
.
AB=
四边形(陌生+复杂)
割
补
三角形（熟悉+简单）
AB2=
.
A
B
C
D
1.如图已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，
BC=3，CD=2，求AB2的值。
解：过点D作DF∥AB交BC的延长线于F,
∵ ∠B=90°，∴∠F=∠E=∠BAE=90°
∵∠BAD=60°,
BF=BC+CF=3+1=4=AE，DE=
.
∴CF= CD=1，DF=
.
AB=DE+DF=
不规则四边形(陌生+复杂)
割
补
长方形（熟悉+简单）
E
F
过点A作AE∥DF交FD的延长线于E,
∴∠DAE=300,∠ADE=600
∵∠D=90°
∴∠CDF=300
平行处理
长方形
构造
AB2=
.
2.如图，AB=AE,∠ABC=∠AED,BC=ED,点F是CD的中点，求证：AF⊥CD．
F
E
C
D
B
A
证明：连接AC,AD
∴在△ABC和△AED 中，
∴△ABC≌△AED (SAS).
∴AC=AD
∵点F是CD的中点，
∴AF⊥CD
五边形（陌生+复杂）
三角形（熟悉+简单）
割
B
C
D
A
E
3.如图，已知AB=BC，∠B=120°，DE是AB的垂直平分线.求证：CD=2 AD
300
300
证明：连接BD,∵AB=BC，∠B=120°，
∴∠A=∠C==300
.
∵DE是AB的垂直平分线
∴AD=AB
∴∠ABD=∠A=300
∴∠DBC=∠ABC －∠ABD=120°-300=90°
∴CD=2BD=2AD
1.线段垂直平分线，常向两端把线连。
2.△ABC分解-------等腰△ABD+黄金直角△DBC
3.顶角为120°的等腰三角形的配套数字-------1：1：
.
4.△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。求证：BE=CF
垂直平分线上点向两端连线段
A
B
C
D
E
F
M
证明：连接BD,CD
∵DM为BC的垂直平分线，
点D为BC的垂直平分线上的点
∴BD=CD
∵AD为∠A的平分线，
点D为∠A的平分线上的点
DE ⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∴ RtΔ DEB ≌ RtΔ DFC（HL）
在Rt△DEB和Rt△DFC中
∴BE=CF
构造等腰三角形
二线合一
5.如图，已知∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BE⊥AE ，求证：BE=CE。
A
B
C
E
F
证明:延长BE、AC相交于点F,
∵AE平分∠BAC，BE⊥AE ，
∴∠1=∠2, ∠AEF=∠AEB=90°
1
2
⌒
⌒
∵AE=AE
∴Δ AEF ≌ Δ AEB(SAS)
∴BE=EF
∵∠ACB=∠FCB=90°
∴CE=BE
点E的双重性
等腰三角形底边的中点
直角三角形斜边的中点
二线合一------等腰三角形-----三线合一
遇见中点
三连等
6．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.
思路：如图，延长AD交BC于点F.
(相当于将AB边向下翻折，与BC边重合，
A点落在F点处，折痕为BE)
F
3
二线合一----------等腰三角形----------∠2＝∠3
捕捉到∠3是△ACF的外角-----
∠3＝∠1＋∠C.
∠2＝∠1＋∠C.
7.在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，垂足是点D，求证：BD=CD+AC
A
B
C
D
E
证明：在DB上截取DE=DC，连接AE
∵AD⊥BC
∴∠ADE=∠ADC=Rt∠
∴在△ADC和△ADE 中，
∴△ADC ≌ △ADE (SAS)
∴AC=AE
∠C=∠AEC
∵ ∠C=2∠B,
∴∠AEC=2∠B
∵∠AEC=∠B+∠BAE
∴∠BAE=∠B
∴BE=AE
∴BE=AC
∴BD=BE+ED=CD+AC
垂直
构造
翻折
等腰三角形
垂直：蕴含翻折后直线上的点仍落在直线上
7.在△ABC中，∠C=2∠B，AD⊥BC，垂足是点D，求证：BD=CD+AC
证明：延长BD至E,使DE=BD，连接AE
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=Rt∠
∴在△ADB和△ADE 中，
∴△ABD ≌ △ADE (SAS)
∴AB=AE
∠B=∠AEC
∵ ∠ACB=2∠B,
∴∠ACB=2∠AEC
∵∠ACB=∠E+∠CAE
∴∠CAE=∠E
∴AC=CE
∴BD=DE=CE+CD=CD+AC
垂直
构造
翻折
等腰三角形
垂直：蕴含翻折后直线上的点仍落在直线上
A
B
C
D
E
线段与角求相等，先找全等试试看。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段计算和与差，巧用截长补短法。
总结：
无中生有话构造
证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”和“补短法”．
“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一短线段，
然后证明剩下的线段等于另一短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，
使延长部分等于另一短线段，再证明延长后的线段等于长线段．熟悉化、简单化-----------让辅助线来的自然
1.如图已知四边形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°， BC=3，CD=2，求AB2的值。
5.如图，已知∠ACB=90°，AE平分∠BAC，BE⊥AE ，求证：BE=CE。
6．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C.

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