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21.2 解一元二次方程（提升卷）-人教版九年级上册
一．选择题
．已知等腰三角形ABC的边长分别是m，n，4，且m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，则a的值为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．7或8
．基本不等式的性质：一般地，对于a＞0，b＞0，我们有a+b≥2，当且仅当a＝b时等号成立．例如：若a＞0，则a+＝6，当且仅当a＝3时取等号，a+的最小值等于6．根据上述性质和运算过程，若x＞1，则4x+的最小值是（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（　　）
A．4或5 B．3 C． D．3或
．已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　）
A． B． C． D．
．若x1，x2是x2+bx﹣3b＝0的两个根，且x12+x22＝7，则b的值是（　　）
A．﹣7 B．1 C．1或7 D．7或﹣1
．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（　　）
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
．无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（　　）
A．非负数 B．0 C．正数 D．负数
．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2．其中正确的（　　）
A．①② B．①②④ C．①②③④ D．①②③
．将一元二次方程x2﹣6x+7＝0化成（x+a）2＝b的形式，下列变形正确的是（　　）
A．（x+3）2＝7 B．（x﹣3）2＝9 C．（x﹣6）2＝2 D．（x﹣3）2＝2
．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的一元二次方程y2﹣2y+a﹣6＝0有两个不相等的实数根，则所有的满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．4 B．9 C．11 D．12
二．填空题
．已知实数a、b满足（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝　 　．
．若实数a，b，c满足12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，则a+b+c＝　 　．
．已知α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，则（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）＝　 　．
．已知等腰三角形的腰长是方程x2﹣7x+12＝0的一个根，其底边长为6，则底边上的高长为 　 　．
．若一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
三．解答题
．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣2x﹣2＝0；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2．
．先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是方程x2﹣2x＝0的解．
．我们要学会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界．例如生活经验：（1）往一杯糖水中再加入一点糖，糖水就变甜了．这一生活经验可以转译成数学问题：a克糖放入水中，得到b克糖水，此时糖水的含糖量我们可以记为（b＞a＞0），再往杯中加入m（m＞0）克糖，此时糖水的含糖量变大了，①用数学关系式可以表示为 　 　；
A．
B．
C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．
（2）再如：矩形的面积为S（S为定值），设矩形的长为x，则宽为，周长为2，当矩形为正方形时，周长为4，“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，①用数学关系式可以表示为 　 　；
A．
B．
C．
②请证明你选择的数学关系式是正确的．（友情提示：，）
．【阅读材料】“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．
如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2+6a+8有最小值？最小值是多少？
解：a2+6a+8＝a2+6a+32﹣32+8＝（a+3）2﹣1
因为（a+3）2≥0，所以a2+6a+8≥﹣1，
因此，当a＝﹣3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是﹣1．
【问题解决】利用配方法解决下列问题：
（1）当x取何值时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值？最小值是多少？
（2）当x＝　 　时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值为 　 　．
．阅读材料：若m2﹣2mn+2n2+6n+9＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2+6n+9＝0，
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2+6n+9）＝0，
∴（m﹣n）2+（n+3）2＝0，
∴（m﹣n）2＝0，（n+3）2＝0，
∴m＝﹣3，n＝﹣3．
根据你的观察，探究下列问题：
（1）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，且满足a2+b2﹣10a﹣24b+169＝0，求Rt△ABC的斜边上的高h的值；
（2）已知x﹣y＝6，z2﹣4z+xy（xy﹣14）+53＝0，求x+y+z的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：①当m＝n时，
∵m，n是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的两根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4（a+1）＝0，
解得，a＝8，
∴关于x的方程为x2﹣6x+9＝0，
解得：m＝n＝3，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
②m＝4或n＝4时，
∴4是关于x的方程x2﹣6x+a+1＝0的根，
∴42﹣6×4+a+1＝0，
解得：a＝7，
∴关于x的方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：m＝2，n＝4，
∵m+n＞4，
∴m，n，4为边能组成三角形；
综上所述：a的值为7或8．
故选：D．
．【解答】解：4x+
＝4x﹣4++4
＝4（x﹣1）++4，
∵x＞1，
∴x﹣1＞0，
∴4x+＝4（x﹣1）++4≥2+4＝8，
∴4x+的最小值是8．
故选：B．
．【解答】解：解方程x2﹣9x+20＝0得：x＝4或5，
分为两种情况：
①当直角边为4和5时，第三边（斜边）的长为＝；
②当4为直角边，5为斜边时，第三边（为直角边）的长为＝3，
所以第三边长为3或，
故选：D．
．【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，
∴β≠0，
方程两边同时除以﹣β2，可得2（）2+5×﹣2＝0，
又2α2+5α﹣2＝0，
∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，
∴α+＝﹣，α ＝﹣1，
∴
＝﹣×+1+α ﹣α
＝﹣（α+）+α +1
＝﹣×（﹣）+（﹣1）+1
＝．
方法2：
＝（+α）﹣α
＝﹣×﹣α
＝﹣×（+α）
＝﹣×（﹣）
＝．
故选：A．
．【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣3b．
又∵x12+x22＝7，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝b2+6b＝7，
解得b＝﹣7或1，
当b＝﹣7时，Δ＝49﹣84＜0，方程无实数根，应舍去，取b＝1．
故选：B．
．【解答】解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的实数根，
∴m2+m﹣2022＝0，
∴m2+m＝2022，
∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝2022+m+n，
∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，
∴m+n＝﹣1，
∴m2+2m+n＝2022﹣1＝2021．
故选：C．
．【解答】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1
＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
．【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；
②方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，
故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0，
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，
故③不正确；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
则由求根公式可得：x0＝，
∴2ax0+b＝±，
∴b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，
故④正确．
故正确的有①②④，
故选：B．
．【解答】解：x2﹣6x+7＝0，
x2﹣6x＝﹣7，
配方得：x2﹣6x+9＝﹣7+9，
即（x﹣3）2＝2，
故选：D．
．【解答】解：，
解不等式①，得x，
解不等式②，得x≤，
∵关于x的一元一次不等式组的解集为，
∴≥，
解得：a≥5，
∵关于y的一元二次方程y2﹣2y+a﹣6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（a﹣6）＞0，
解得：a＜7，
∴5≤a＜7，
整数a为5和6，和为5+6＝11，
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，
设a2+b2＝x，则原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x＝2或﹣1，
当x＝2时，a2+b2＝2，
当x＝﹣1时，a2+b2＝﹣1，
∵不论a、b为何值，a2+b2都不能为负数，
∴此时不符合题意，舍去，
即a2+b2＝2，
故答案为：2．
．【解答】解：∵12a2+7b2+5c2≤12a|b|﹣4b|c|﹣16c﹣16，
∴12a2+7b2+5c2﹣12a|b|+4b|c|+16c+16≤0．
∴3（4a2﹣4a|b|+b2）+（4b2+4b|c|+c2）+4（c2+4c+4）≤0．
∴3（2a﹣|b|）2+（2b+|c|）2+4（c+2）2≤0．
∵3（2a﹣|b|）2≥0，（2b+|c|）2≥0，4（c+2）2≥0，
∴．
解得：．
∴a+b+c＝﹣1﹣2＝﹣．
故答案为：﹣．
．【解答】解：∵α，β是方程x2+2021x+1＝0的两个根，
∴α2+2021α+1＝0，β2+2021β+1＝0，αβ＝1，
∴（α2+2022α+1）（β2+2022β+1）
＝（α2+2021α+1+α）（β2+2021β+1+β）
＝（0+α）（0+β）
＝αβ
＝1．
故答案是：1．
．【解答】解：∵x2﹣7x+12＝0，
∴（x﹣3）（x﹣4）＝0，
则x﹣3＝0或x﹣4＝0，
解得x1＝3，x2＝4，
若腰长为3，此时三边长度为3、3、6，不符合三角形三边关系；
若腰长为4，此时三边长度为4、4、6，符合三角形三边关系；
底边长的高的长度为＝，
故答案为：．
．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+k+2＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（k+2）＝8﹣4k＞0，
解得：k＜2，
故答案为：k＜2．
三．解答题
．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣2＝0，
x2﹣2x＝2，
配方得：x2﹣2x+1＝2+1，
（x﹣1）2＝3，
开方得：x﹣1＝，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣2）2＝4（x+3）2，
两边开方得：x﹣2＝±2（x+3），
解得：x1＝﹣8，x2＝﹣．
．【解答】解：（﹣a+1）÷
＝[﹣（a﹣1）]÷
＝
＝
＝
＝
＝﹣，
解方程x2﹣2x＝0得：x1＝0，x2＝2，
要使分式（﹣a+1）÷有意义，a+1≠0且a﹣2≠0，
所以a不能为﹣1和2，
∵a是方程x2﹣2x＝0的解，
∴a只能为0，
当a＝0时，原式＝﹣＝1．
．【解答】解：（1）①A；
②证明：
＝
＝
＝，
∵m＞0，b＞a＞0，
∴b﹣a＞0，
∴＞0，
∴；
（2）①A；
②证明：＝
＝
＝
＝，
∵≥0，
∴≥，
∴．
．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1
＝x2﹣2x+1﹣1﹣1
＝（x﹣1）2﹣2，
因为（x﹣1）2≥0，所以x2﹣2x﹣1≥﹣2，
因此，当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣1有最小值，最小值是﹣2；
（2）2x2+8x+12
＝2（x2+4x）+12
＝2（x2+4x+4﹣4）+12
＝2[（x+2）2﹣4]+12
＝2（x+2）2﹣8+12
＝2（x+2）2+4，
因为（x+2）2≥0，所以2x2+8x+12≥4，
因此，当x＝﹣2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；
故答案为：﹣2；4．
．【解答】解：（1）∵a2+b2﹣10a﹣24b+169＝0，
∴a2﹣10a+25+b2﹣24b+144＝0，
（a﹣5）2+（b﹣12）2＝0，
a﹣5＝0，b﹣12＝0，
解得a＝5，b＝12，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，
∴c＝＝＝169，
∴h＝×5×12÷÷13＝．
故Rt△ABC的斜边上的高h的值为；
（2）∵z2﹣4z+xy（xy﹣14）+53＝0，
∴z2﹣4z+4+（xy）2﹣14xy+49＝0，
（z﹣2）2+（xy﹣7）2＝0，
z﹣2＝0，xy﹣7＝0，
解得z＝2，xy＝7，
∵x﹣y＝6，
∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝36+28＝64，
∴x+y＝±8，
当x+y＝﹣8时，x+y+z＝﹣8+2＝﹣6；
当x+y＝8时，x+y+z＝8+2＝10．
故x+y+z的值是﹣6或10．

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