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2022-2023学年广东省梅州市梅江区学艺中学九年级第一学期开学数学试卷
一、选择题（每题3分，有10小题共30分）
1．下列交通标志是中心对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
2．若a＞b，则下列式子中正确的是（　　）
A．2a＜2b B．﹣3a＜﹣3b C．3﹣a＞3﹣b D．b﹣a＞0
3．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
4．正五边形每个外角的度数是（　　）
A．36° B．72° C．108° D．144°
5．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．正多边形每个内角都相等
C．对顶角相等
D．矩形的两条对角线相等
6．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（　　）
A．36° B．60° C．72° D．80°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（　　）
A．150° B．90° C．60° D．30°
9．龙华区某校改造过程中，需要整修校门口一段全长2400m的道路．为了保证开学前师生进出不受影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（　　）
A．﹣＝8 B．﹣＝8
C．﹣＝8 D．﹣＝8
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（　　）秒．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题4分，有7小题共28分）
11．9的算术平方根是 　 　．
12．已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根为x＝1，则k＝　 　．
13．分解因式：ax2﹣25a＝　 　．
14．若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为 　 　．
15．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　 　．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为 　 　．
17．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，CE的垂直平分线MN分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：①∠AEM＝∠DCM；②BN＝CN；③∠BCD＝2∠DCM；以上正确的序号为 　 　．
三、解答题
18．解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
19．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
21．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　 　，图①中m的值为 　 　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
22．某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多15元，顾客用200元购买A款保温杯的数量与用275元购买B款保温杯的数量相同．超市A款保温杯的进价为每个30元，B款保温杯的进价为每个40元．
（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A、B两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
23．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
24．已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．
25．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
一、选择题（每题3分，有10小题共30分）
1．下列交通标志是中心对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义即可解答．
解：A、属于轴对称图形，不是中心对称的图形，不合题意；
B、是中心对称的图形，但不是交通标志，不符合题意；
C、属于轴对称图形，属于中心对称的图形，符合题意；
D、不是中心对称的图形，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合．
2．若a＞b，则下列式子中正确的是（　　）
A．2a＜2b B．﹣3a＜﹣3b C．3﹣a＞3﹣b D．b﹣a＞0
【分析】根据不等式的基本性质判断即可．
解：A选项，不等式两边都乘2，不等号的方向不变，故该选项不符合题意；
B选项，不等式两边都乘﹣3，不等号的方向改变，故该选项符合题意；
C选项，∵a＞b，
∴﹣a＜﹣b，
∴3﹣a＜3﹣b，故该选项不符合题意；
D选项，∵a＞b，
∴b＜a，
∴b﹣a＜0，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．
3．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（　　）
A．（2，3） B．（2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．
解：点P（2，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是：（2，3）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
4．正五边形每个外角的度数是（　　）
A．36° B．72° C．108° D．144°
【分析】根据多边形的外角和以及正多边形的性质解决此题．
解：∵任意多边形的外角和为360°，且正五边形的每个外角相等，
∴正五边形的每个外角为360°÷5＝72°．
故选：B．
【点评】本题主要考查多边形的外角和以及正多边形的性质，熟练掌握多边形的外角和以及正多边形的性质．
5．下列命题中，不正确的是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．正多边形每个内角都相等
C．对顶角相等
D．矩形的两条对角线相等
【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否为真命题，从而可以解答本题．
解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，但对角线互相垂直的四边形是菱形不一定正确，故选项A符合题意；
正多边形每个内角都相等是真命题，故选项B不符合题意；
对顶角相等是真命题，故选项C不符合题意；
矩形的两条对角线相等是真命题，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假．
6．若分式的值为零，则x的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．0
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
解：由分子x﹣3＝0解得：x＝3，
而当x＝3时，分母x+3＝3+3＝6≠0，
故x＝3．
故选：A．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
7．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°．BD平分∠ABC，则∠BDC是（　　）
A．36° B．60° C．72° D．80°
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理可得∠ABC的度数，再根据角平分线的定义可得∠ABD的度数，然后根据三角形的外角性质解答即可．
解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠ABC＝36°，
∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝72°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（　　）
A．150° B．90° C．60° D．30°
【分析】由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，可求得∠A的度数，又由将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，易得△ACA′是等边三角形，继而求得答案．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A′B′C′，
∴AC＝A′C，
∴△ACA′是等边三角形，
∴α＝∠ACA′＝60°．
故选：C．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ACA′是等边三角形是关键．
9．龙华区某校改造过程中，需要整修校门口一段全长2400m的道路．为了保证开学前师生进出不受影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8天完成任务．若设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程（　　）
A．﹣＝8 B．﹣＝8
C．﹣＝8 D．﹣＝8
【分析】直接利用施工时间提前8天完成任务进而得出等式求出答案．
解：设原计划每天整修道路x米，根据题意可得方程：
﹣＝8．
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
10．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D同时出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，当四边形ABPQ初次为矩形时，点P和点Q运动的时间为（　　）秒．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．
【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得
3x＝20﹣2x．
解得x＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，能根据矩形的性质得出方程是解此题的关键．
二、填空题（每小题4分，有7小题共28分）
11．9的算术平方根是 　3　．
【分析】9的平方根为±3，算术平方根为非负，从而得出结论．
解：∵（±3）2＝9，
∴9的算术平方根是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数的算术平方根，解题的关键是牢记算术平方根为非负．
12．已知关于x的方程x2+kx﹣3＝0的一个根为x＝1，则k＝　2　．
【分析】方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
解：把x＝1代入方程x2+kx﹣3＝0得：12+k﹣3＝0，
解得k＝2．
故答案是：2．
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
13．分解因式：ax2﹣25a＝　a（x+5）（x﹣5）　．
【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．
解：原式＝a（x+5）（x﹣5），
故答案为：a（x+5）（x﹣5）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14．若关于x的分式方程﹣1＝有增根，则m的值为 　﹣6　．
【分析】根据题意可得x＝3，然后把x的值代入整式方程中进行计算，即可解答．
解：﹣1＝，
2x﹣（x﹣3）＝﹣m，
解得：x＝﹣m﹣3，
∵分式方程有增根，
∴x＝3，
把x＝3代入x＝﹣m﹣3中，
3＝﹣m﹣3，
解得：m＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后，代入整式方程中进行计算是解题的关键．
15．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则kx+b＞x+a的解集是　x＜﹣2　．
【分析】不等式组kx+b＞x+a的解是一次函数y2＝x+a的图象在y1＝kx+b下方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答．
解：由图象得：不等式组kx+b＞x+a的解集是x＜﹣2．
故答案为：x＜﹣2．
【点评】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，利用数形结合思想解决问题是本题的关键．
16．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC沿直线BC向右平移得到△DEF，连接AD，若AD＝2，则点C到DF的距离为 　1　．
【分析】根据平移的性质以及含30度角的直角三角形的性质解决此题．
解：如图，过点C作CM⊥DF于M．
由平移的性质，得△ABC≌△DEF，AD＝CF＝2．
∴∠DEF＝∠BAC＝90°，DE＝AB＝2，∠ACB＝∠F＝30°．
∵CM⊥DF于M，
∴CM＝＝1．
∴点C到DF的距离为1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平移、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握平移的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解决本题的关键．
17．如图，平行四边形ABCD中，AD＝2AB，CE⊥AB于点E，CE的垂直平分线MN分别交AD、BC于M、N，交CE于O，连接CM、EM，下列结论：①∠AEM＝∠DCM；②BN＝CN；③∠BCD＝2∠DCM；以上正确的序号为 　①②③　．
【分析】①由平行四边形性质可得AB∥CD，由线段垂直平分线性质可得ME＝MC，再根据等角的余角相等可得①正确；②构造△AME≌△DMG（ASA），即可证明②正确；③利用平行四边形性质、线段垂直平分线性质和AD＝2AB可得四边形CDMN是菱形，依据菱形性质即可证明③正确．
解：延长EM交CD的延长线于G，如图，∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠AEM＝∠G，
∵CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∵MN垂直平分CE，
∴ME＝MC，
∴∠MEC＝∠MCE，
∵∠MEC+∠G＝90°，∠MCE+∠DCM＝90°，
∴∠DCM＝∠G，
∴∠AEM＝∠DCM，
故①正确；
∵∠DCM＝∠G，
∴MC＝MG，
∴ME＝MG，
∵∠AME＝∠DMG，
∴△AME≌△DMG（ASA），
∴AM＝DM，
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵CE⊥AB，MN⊥CE，
∴AB∥MN∥CD，
∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形，
∴AM＝BN，DM＝CN，
∴BN＝CN，
故②正确；
∵ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC，
∵CE⊥AB，MN⊥CE，
∴AB∥MN∥CD，
∴四边形ABNM、四边形CDMN均为平行四边形，
∴MN＝AB，
∵AM＝MD＝AD，AD＝2AB，
∴MD＝CD＝MN＝NC，
∴四边形CDMN是菱形，
∴∠BCD＝2∠DCM，
故③正确；
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
三、解答题
18．解一元二次方程：x2﹣4x﹣5＝0．
【分析】方程利用因式分解法求出解即可．
解：方程x2﹣4x﹣5＝0，
分解因式得：（x﹣5）（x+1）＝0，
所以x﹣5＝0或x+1＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的解法是解本题的关键．
19．解不等式组，并在数轴上表示出它的解集．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：，
由①得：x≥﹣2，
由②得：x＜3，
在数轴上表示：
故不等式组的解集为：﹣2≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x＝﹣1．
【分析】根据分式的乘法法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
解：
＝
＝，
把x＝﹣1代入．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．为了推动阳光体育运动的广泛开展，引导学生走向操场，走进大自然，走到阳光下，积极参加体育锻炼，学校准备购买一批运动鞋供学生借用，现从各年级随机抽取了部分学生的鞋号，绘制了统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为 　40　，图①中m的值为 　15　；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数和中位数；
（Ⅲ）根据样本数据，若学校计划购买200双运动鞋，建议购买35号运动鞋多少双？
【分析】（Ⅰ）根据条形统计图求出总人数即可；由扇形统计图以及单位1，求出m的值即可；
（Ⅱ）找出出现次数最多的即为众数，将数据按照从小到大顺序排列，求出中位数即可；
（Ⅲ）根据题意列出算式，计算即可得到结果．
解：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为6+12+10+8+4＝40，图①中m的值为100﹣30﹣25﹣20﹣10＝15；
故答案为：40；15；
（Ⅱ）∵在这组样本数据中，35出现了12次，出现次数最多，
∴这组样本数据的众数为35；
∵将这组样本数据从小到大得顺序排列，其中处于中间的两个数都为36，
∴中位数为＝36；
（Ⅲ）∵在40名学生中，鞋号为35的学生人数比例为30%，
∴由样本数据，估计学校各年级中学生鞋号为35的人数比例约为30%，
则计划购买200双运动鞋，有200×30%＝60双为35号．
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题意是解本题的关键．
22．某超市销售A、B两款保温杯，已知B款保温杯的销售单价比A款保温杯多15元，顾客用200元购买A款保温杯的数量与用275元购买B款保温杯的数量相同．超市A款保温杯的进价为每个30元，B款保温杯的进价为每个40元．
（1）A、B两款保温杯的销售单价各是多少元？
（2）该超市计划购进这两款保温杯共120个，且A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍．若A、B两款保温杯的销售单价不变，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得A、B两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验；
（2）根据题意可以得到利润与购买A款保温杯数量的函数关系，然后根据A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，可以求得A款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元．
解：（1）设A款保温杯的单价是a元，则B款保温杯的单价是（a+15）元，
根据题意得：＝，
解得，a＝40，
经检验，a＝40是原分式方程的解，
∴a+15＝55，
答：A款保温杯的销售单价是40元、B两款保温杯的销售单价是55元；
（2）设购买A款保温杯x个，则购买B款保温杯（120﹣x）个，利润为w元，
w＝（40﹣30）x+（55﹣40）（120﹣x）＝﹣5x+1800，
∵A款保温杯的数量不少于B款保温杯数量的两倍，
∴x≥2（120﹣x），
解得，x≥80，
∴当x＝80时，w取得最大值，此时w＝1400，
120﹣x＝40，
答：当购买A款保温杯80个，B款保温杯40个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是1400元．
【点评】本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
23．如图，在平行四边形ABCD中，线段AC的垂直平分线交AC于O，分别交BC，AD于E，F，连接AE，CF．
（1）证明：四边形AECF是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果AC⊥AB，∠B＝30°，AE＝2，求四边形AECF的面积．
【分析】（1）证△AOF≌△COE（ASA），得出AF＝CE，则四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，得出四边形AECF是菱形；
（2）由菱形的性质得出CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，证EF∥AB，由平行线的性质得出∠OEC＝∠B＝30°，由直角三角形的性质得出OC＝CE＝1，OE＝OC＝，则AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，由菱形面积公式即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴OA＝OC，EF⊥AC，
在△AOF和△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：由（1）得：四边形AECF是菱形，EF⊥AC，
∴CE＝AE＝2，OA＝OC，OB＝OD，
∵AC⊥AB，
∴EF∥AB，
∴∠OEC＝∠B＝30°，
∴OC＝CE＝1，OE＝OC＝，
∴AC＝2OC＝2，EF＝2OE＝2，
∴四边形AECF的面积＝AC×EF＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
24．已知：直线经过点A（﹣8，0）和点B（0，6），点C在线段AO上，将△ABO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处．
（1）求直线AB的表达式．
（2）求AC的长．
（3）点P为平面内一动点，且满足以A，B，C，P为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出符合要求的所有P点的坐标．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）由对称性可知CO＝CD，BO＝BD，可求AD＝4，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出CD的长，即可求AC的长；
（3）设P（x，y），分三种情况讨论：①当AB为平行四边形的对角线时；②当AC为平行四边形的对角线时；③当AP为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角互相平分，利用中点坐标公式求解即可．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+6；
（2）∵D点与C点关于BC对称，
∴CO＝CD，BO＝BD，
∵BO＝6，
∴BD＝6，
∵OA＝8，BO＝6，
∴AB＝10，
∴AD＝4，
在Rt△ACD中，CD2+16＝（8﹣CD）2，
解得CD＝3，
∴CO＝3，
∴AC＝5；
（3）由（2）可得C（﹣3，0），
设P（x，y），
①当AB为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣5，6）；
②当AC为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（﹣11，﹣6）；
③当AP为平行四边形的对角线时，
，
解得，
∴P（5，6）；
综上所述：P点坐标为（﹣5，6）或（﹣11，﹣6）或（5，6）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，轴对称的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．
25．已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长；
（3）如图2，在AB上取一点H，且BH＝CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；
（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD＝BF＝；然后由CF＝BF﹣BC＝即可求得；
（3）分三种情况分别讨论即可求得．
【解答】（1）证明：如图1，
在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）证明：如图1，
∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°（全等三角形的对应角相等）；
∴∠BGD＝90°（三角形内角和定理），
∴∠BGF＝90°；
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（ASA），
∴BD＝BF，DG＝FG（全等三角形的对应边相等），
∵BD＝＝，
∴BF＝，
∴CF＝BF﹣BC＝﹣1；
（3）解：如图2，∵CF＝﹣1，BH＝CF
∴BH＝﹣1，
①当BH＝BP时，则BP＝﹣1，
∵∠PBC＝45°，
设P（x，x），
∴2x2＝（﹣1）2，
解得x＝1﹣或﹣1+，
∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；
②当BH＝HP时，则HP＝PB＝﹣1，
∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（﹣1，﹣1）；
③当PH＝PB时，∵∠ABD＝45°，
∴△PBH是等腰直角三角形，
∴P（，），
综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）或（﹣1，﹣1）或（，）．
【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．

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