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函数的值域求法
题型一 分离常数法
解题模板 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
例 1函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将化简为，求出的值域，进而可求得的值域.
【详解】解：依题意，，其中的值域为，故函数的值域为，故选D．
例2函数的值域是__________．
【答案】
【分析】，然后可求出答案.
【详解】，
因为，所以，所以，
所以，
故答案为：
巩固训练
1.求函数的值域
【答案】
【分析】化简函数为，根据，即可求得函数的值域；
【详解】由题意，函数可化为，可得定义域为，所以，可得，所以值域为.
2.函数的值域为________．
【答案】
【分析】求出函数的定义域，并化简函数的解析式，利用反比例函数的值域可求得函数的值域.
【详解】由，可得且，函数的定义域为且，
，
所以且，
所以函数的值域为．
故答案为：．
题型二 换元法
解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
例3求函数的值域______．
【答案】或
【分析】先对根式整体换元(注意求新变量的取值范围)，把原问题转化为一个二次函数在闭区间上求值域的问题即可.
【详解】令，则，所以．又，所以，即函数的值域是．
故答案为：.
例4 函数的值域为________.
【答案】
【分析】由函数，令，结合二次函数的性质，即可求解；
【详解】由函数，令，
则，所以函数值域为.
巩固训练
求下列函数的值域.
． （2）.
【答案】（1）． (2)
【解析】(1)令，则，
则（t≥0），
当时，函数有最小值为.
∴函数的值域为．
(2)【详解】解：由题得且.
因为, 且.
所以原函数的值域为.
故答案为：
题型三 基本不等式法
解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
例5函数的值域（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，将原式整理成，利用对勾函数能得到在上单调递减，且没有最大值，即可得到答案
【详解】解：令，所以，
因为对勾函数在上单调递减，且没有最大值，
所以
所以，
故选：D
例6求函数的值域.
【答案】.
【分析】变形函数式，利用均值不等式求解作答.
【详解】，
因，即，则，
当且仅当，即 时等号成立，于是得，
所以原函数的值域为.
训练巩固
5.函数 的值域为________________．
【答案】
【分析】，分别讨论和时，由基本不等式求得的范围即可求解.
【详解】定义域为，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，所以，
所以函数的值域为，
故答案为：.
题型四 判别式法求函数的值域
解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范 围，即得函数的值域.
例7求函数的值域.
【答案】
【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论、，结合判别式法即可求值域.
【详解】因为，
所以当时，；
当时，原函数化为，
所以，整理得，
解得即或，
∴综上，函数的值域为.
训练巩固
6.求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）
【分析】（1）用表示，根据，解不等式可得答案；
（2）看成关于的二次函数可求得值域；
（3）变形后利用基本不等式可求得结果；
（4）利用函数的单调性可求得结果；
（5）利用一元二次方程的判别式可求得结果；
（6）利用一元二次方程的判别式可求得结果.
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，所以或，
所以函数的值域为.
（2）因为，
所以函数的值域为.
（3）因为，
所以当时，，当且仅当时，等号成立，
当时，，当且仅当时，等号成立，
所以函数的值域为.
（4），当时，函数为递减函数，
所以时，取得最大值，最大值为，
当时，取得最小值，最小值为，
所以函数的值域为.
（5）由得，
当时，方程的根为，
当时，根据关于的一元二次方程有解，得，
即，解得或，
综上可得函数的值域为.
（6）由得，
当时，方程的根为，
当时，根据一元二次方程有解得，
即，解得或，
综上可得函数的值域为.
【点睛】本题考查了求函数值域的几种常用方法，属于基础题.
题型五 值域中参数问题
例8已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数解析式.
【答案】或
【分析】解法一：函数式变形为，，根据，将-1、7代入即可求解. 解法二：由解法一得，由题意可得的解，利用韦达定理即可求解.
【详解】解法一：函数式变形为，.
由已知得，，
即，①
不等式①的解为，则-1、7是方程的两根，
代入两根得解得或
或.
解法二：由解法一得.①
由不等式的解为，可设为的解.
即.
然后与不等式①比较系数而得：
解出或，
所以或
巩固训练
7.已知函数（a、x为实数且、）可取任意实数（即函数的值域为一切实数），求参数a的取值范围.
【答案】.
【分析】运用判别式法，注意且，可得且，将函数转化为，由，得，所以，从而可求出参数a的取值范围
【详解】解：把去分母，整理可得.①
当时，上式为.
且，且.②
当时，是实数，由方程①得，即，③
不等式③对任意实数y都成立，，解之，得.④
于是由②、④可知α的取值范围是.
课后练习
1．函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】判断在区间的单调性求解最值即可
【详解】解：因为函数在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值，
故选：A
2．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】集合A表示函数的定义域，集合B表示函数的值域，求出两集合后再求其交集.
【详解】因为，，
所以，
故选：C
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先解分式不等式求出集合，再求出集合，最后根据交集的定义计算可得；
【详解】解：由，即，即，
等价于，解得，即，
因为，所以，所以，
所以，所以.
故选：B.
4．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义求得集合，然后由交集定义计算．
【详解】由已知，所以．
故选：B．
5．已知，，则是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出集合A，B，再求两集合的交集
【详解】由，得，所以，
由于，所以，
所以，
故选：B
6．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【答案】B
【分析】直接用判别式法求函数的最大值和最小值．
【详解】设，，，
时，，
时，因为，所以，解得，即且，
综上，最大值是，最小值是，和为6．
故选：B．
7．函数的值域是___________.
【答案】
【分析】先求得函数的定义域，然后利用分离常数法来求得值域.
【详解】函数的定义域为，
，
由于，所以，且，
所以且，
所以函数的值域为.
故答案为：
8．函数的值域是___________.
【答案】
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】解：，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求值域的常见方法
单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域.
9．若函数的值域为，则的值为__________.
【答案】
【分析】设，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值.
【详解】设，可得，
由题意可知，关于的方程在上有解，
若，可得，则；
若，则，即，
由题意可知，关于的二次方程的两根为、，
由韦达定理可得，解得.
综上所述，.
故答案为：.
10.求下列函数的值域.
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）采用分离常数法可求得函数值域；
（2）利用换元法将函数变为二次函数，根据二次函数值域求解方法即可求得结果.
【详解】（1）
值域为
（2）设，则
当时， 值域为
【点睛】本题考查分式型、根式型函数值域的求解问题；求解分式型函数值域常采用分离常数法；求解根式型函数值域常采用换元法的方式，将问题转化为二次函数值域的求解；易错点是采用换元法时，忽略新参数的取值范围.
11.已知函数．
(1)解不等式：；
(2)求函数的值域．
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）由分母可将不等式化为，进而求解集.
（2）令，将其转化为关于的一元二次方程，讨论、求的范围，即可知值域.
(1)
由题意，，又
∴，即，
∴或，故解集为.
(2)
令，可得，
当时，有；
当时，有，又为一元二次方程且在内有实数解，
∴，解得：且，
综上，，
∴的值域为．函数的值域求法
题型一 分离常数法
解题模板 第一步 观察函数类型，型如； 第二步 对函数变形成形式； 第三步 求出函数在定义域范围内的值域，进而求函数的值域.
例 1函数的值域（ ）
A． B．
C． D．
例2函数的值域是__________．
巩固训练
1.求函数的值域
2.函数的值域为________．
题型二 换元法
解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，函数变量较多且相互关联； 第二步 另新元代换整体，得一新函数，求出新函数的值域即为原函数的值域.
例3求函数的值域______．
例4 函数的值域为________.
巩固训练
求下列函数的值域.
． （2）.
题型三 基本不等式法
解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，型如或的函数； 第二步 对函数进行配凑成形式，再利用基本不等式求函数的最值，进而得到函数的值域.
例5函数的值域（ ）
A． B． C． D．
例6求函数的值域.
训练巩固
5.函数 的值域为________________．
题型四 判别式法求函数的值域
解题模板 第一步 观察函数解析式的形式，型如的函数； 第二步 将函数式化成关于的方程，且方程有解，用根的判别式求出参数的取值范 围，即得函数的值域.
例7求函数的值域.
训练巩固
6.求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）.
题型五 值域中参数问题
例8已知函数的最大值为7，最小值为-1，求此函数解析式.
巩固训练
7.已知函数（a、x为实数且、）可取任意实数（即函数的值域为一切实数），求参数a的取值范围.
课后练习
1．函数在区间上的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则是（ ）
A．R B． C． D．
6．若函数的最大值为，最小值为，则（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
7．函数的值域是___________.
8．函数的值域是___________.
9．若函数的值域为，则的值为__________.
10.求下列函数的值域.
（1）；
（2）.
11.已知函数．
(1)解不等式：；
(2)求函数的值域．

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