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专题四 平面向量
一、核心知识点
平面向量：平面内，既有大小又有方向的量。向量不能比较大小
几何表示：以A为起点，B为终点的有向线段记作．表示A点到B点的距离和方向。
向量的大小用长度来表示，也称为模。
零向量： 长度为零的向量称为零向量，记作0，0的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个向量称为单位向量．
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
向量的数乘：若有实数λ，使b＝λa，（a≠0）则a与b为共线向量．
λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa＝0.
两个向量和差的坐标运算．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2).
数乘向量的坐标运算．
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). 数乘结果是一个向量
向量的坐标表示．
若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝|a||b|cos θ =x1x2＋y1y2. 数量积结果是一个数
|a|＝＝
a⊥b a·b＝0
夹角公式 cos θ＝＝
二、模拟题演练
1.（2022泰安二模）14. 已知在边长为4的等边中，，则________；
【答案】
【解析】
【分析】将转化为，进而结合题意及平面向量数量积数量积的运算求得答案.
【详解】由题意，
.
故答案为：10.
2.（2022临沂二模）3. 已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据可知，求出y，从而可求的坐标，根据向量模的坐标计算公式即可求解．
【详解】，
则，
∴．
故选：D．
3.（2022滨州二模）5. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【5题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设，，当时， 可得，从而有；当时，有，根据、、三点共线，可得，进而可得，从而即可求解.
【详解】解：由题意，设，，
当时，，所以，
所以，从而有；
当时，因为（，），
所以，即，
因为、、三点共线，所以，即.
综上，的取值范围是.
故选：C.
4.（2022青岛二模）14. 若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
【答案】##-1.5
【解析】
【分析】已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，则，，又，然后结合平面向量数量积的运算求解即可．
【详解】解：已知是边长为2的等边三角形，为边上的中线，为的中点，
则，，
又，
则，
故答案为：．
5.（2022烟台二模）15. 已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合平面向量数量积不等式进行求解即可,
【详解】，
因为均为单位向量，且夹角为，
所以有，
，
即，而，
所以有，
因此的最大值为，
故答案为：
6.（2022济南二模）7. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题可得为的中点，建立坐标系利用坐标法即得.
【详解】∵D在线段BC上，且，
∴，又为线段AD上一点，若与的面积相等，
∴，为的中点，
如图建立平面直角坐标系，则，
∴，
∴.
故选：D.
7.（2022日照二模）9. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A，由根据向量的平行可判断；对于B、C根据向量的垂直可判断；对于D，根据向量的模可判断.
【详解】由，，，
对于A，若，由，故A错误；
对于B，若，则，符合题意，故B正确；
对于C，若，由，故C错误；
对于D，，，故D正确.
故选：BD.
8.（2022泰安三模）15. 如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝________，的最小值为________．
【答案】 ①. ##0.25 ②.
【解析】
【分析】用表示出与，利用两个向量共线可求出m,求出后利用基本不等式可求出最值.
【详解】因为,所以
而
因为与为非零共线向量,故存在实数使得
故 所以
的面积为，
所以
当且仅当时等号成立,故的最小值为;
故答案为：；.
9.（2022聊城三模）11. 平面四边形中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据所给的条件，判断出四边形内部的几何关系即可.
【详解】因为，，可得，
所以为等边三角形，则 ，故A正确；
因为，所以，又，所以 ，
得，
所以，则，故B正确；
根据以上分析作图如下：
由于与不平行，故C错误；
建立如上图所示的平面直角坐标系，
则，，，
，，
所以，故D正确；
故选：ABD.
10.（2022济宁三模）15. 在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得，求出，所以，即，求解即可.
【详解】因为，所以，又，
即，因为点在线段上，
所以，，三点共线，由平面向量三点共线定理得，，即，
所以，又是边长为等边三角形，
所以
，故.
故答案为：.
（2022临沂三模）3.C
（2022临沂三模）13. 1
13.（2022济南三模）3. 已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将两边平方再根据向量数量积的运算法则即可求解．
【详解】∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，∴．
故选：A．
14.（2022德州三模）7. 已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设，由得，将转化为和圆上点之间的距离，即可求出最大值.
【详解】
设，则，，
整理得，则点在以为圆心，为半径的圆上，则表示和圆上点之间的距离，
又在圆上，故的最大值是.
故选：B.
15.（2022烟台三模）7. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】
作BC的平行线与圆相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
设，则，
∵BC//EF，∴设，则
∴，
∴
∴
故选：A.
16.（2022青岛三模）11．在平面直角坐标系中，A（t，），B（8﹣m，8﹣m），C（7﹣m，0），O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为2
B．若t＝1，m＝4，则△ABC的面积等于4
C．若t＝1，m＝4，则+的最小值为5
D．若t＝sinθ，θ∈（0，π），且与的夹角α∈[0，），则m∈（﹣∞，5）
解：||2＝t2+≥2＝4，当且仅当t2＝，即t＝时，取“＝”，∴||的最小值是2，∴A对；
当t＝1，m＝4时，A（1，2），B（4，2），C（3，0），可知AB∥x轴且AB＝3，点C到AB的距离为2，∴△ABC的面积为×3×2＝3，∴B错；
点A关于x轴的对称点A1坐标为（1，﹣2），则+的最小值为A1B＝＝5，∴C对；
∵θ∈（0，π），∴t＝sinθ∈（0，1]，∵与的夹角α∈[0，），∴ ＝t﹣7+m+＞0，
得：m＜＝＝（3﹣t）++1．
2≤3﹣t＜3，令3﹣t＝s∈[2，3），则（3﹣t）++1＝s++1≥2+1＝5，当且仅当s＝，即s＝2时取“＝”，∴m＜5，∴D对．
故选：ACD．
17.（2022潍坊三模）4. 已知，是平面内两个不共线的向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量共线的充要条件有且，即可得答案.
【详解】由，，三点共线充要条件是且，
所以，故.
故选：C
18.（2022潍坊三模）12. 定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A. 对任意的，有
B. 存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C. 若与垂直，则与共线
D. 若与共线，则与的模相等
【答案】AD
【解析】
【分析】由表示出和，即可判断A；假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即方程组
，对任意恒成立，解方程可判断B；若与垂直，则，设，分别表示出与即可判断C；若与共线，则，设，分别表示出与即可判断D.
【详解】设向量，，对于A，对任意的，有
，故A正确；
对于B，假设存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立，即恒成立，即方程组
，对任意恒成立，而此方程组无解，故B不正确；
对于C，若与垂直，则，设，则，
，其中，故C不正确；
对于D，若与共线，则，设，
，
，所以与的模相等，故D正确.
故选：AD.
19.（2022淄博三模）5. 如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法求出平面向量的数量积；
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，，
又，，，
则，
即，即，
则，
则，，
则；
故选：C．
20.（2022日照三模）3. 已知向量，则在方向上的投影是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，再利用向量的投影公式计算求解.
【详解】由题得，
在方向上的投影是.
故选：C
21.（2022威海三模）6. 已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】根据投影向量公式，即可求解.
【详解】，因为，所以，
所以在方向上的投影向量为.
故选：A专题四 平面向量
一、核心知识点
平面向量：平面内，既有大小又有方向的量。向量不能比较大小
几何表示：以A为起点，B为终点的有向线段记作．表示A点到B点的距离和方向。
向量的大小用长度来表示，也称为模。
零向量： 长度为零的向量称为零向量，记作0，0的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个向量称为单位向量．
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
向量的数乘：若有实数λ，使b＝λa，（a≠0）则a与b为共线向量．
λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa＝0.
两个向量和差的坐标运算．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2).
数乘向量的坐标运算．
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). 数乘结果是一个向量
向量的坐标表示．
若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝|a||b|cos θ =x1x2＋y1y2. 数量积结果是一个数
|a|＝＝
a⊥b a·b＝0
夹角公式 cos θ＝＝
二、模拟题演练
1.（2022泰安二模）14. 已知在边长为4的等边中，，则________；
2.（2022临沂二模）3. 已知平面向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.（2022滨州二模）5. 在中，M为BC边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若（，），则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.（2022青岛二模）14. 若是边长为2的等边三角形，AD为BC边上的中线，M为AD的中点，则的值为___________.
5.（2022烟台二模）15. 已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为_________．
6.（2022济南二模）7. 如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若与的面积相等，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7.（2022日照二模）9. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
8.（2022泰安三模）15. 如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝________，的最小值为________．
9.（2022聊城三模）11. 在平面四边形中，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10.（2022济宁三模）15. 在边长为的等边中，已知，点在线段上，且，则________.
11.（2022临沂三模）3．向量a=（1，1），b=（ 1，0），则a与b的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12.（2022临沂三模）13．边长为1的正六边形ABCDEF，点M满足，若点P是其内部一点（包含边界），则的最大值是________．
13.（2022济南三模）3. 已知单位向量、、，满足，则向量和的夹角为( )
A. B. C. D.
14.（2022德州三模）7. 已知平面向量，，且非零向量满足，则的最大值是（ ）
A. 1 B. C. D. 2
15.（2022烟台三模）7. 如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆，为圆上任一点，若，则的最大值为（ ）
A. B. 2 C. D. 1
16.（2022青岛三模）11．在平面直角坐标系中，A（t，），B（8﹣m，8﹣m），C（7﹣m，0），O为坐标原点，P为x轴上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．的最小值为2
B．若t＝1，m＝4，则△ABC的面积等于4
C．若t＝1，m＝4，则+的最小值为5
D．若t＝sinθ，θ∈（0，π），且与的夹角α∈[0，），则m∈（﹣∞，5）
17.（2022潍坊三模）4. 已知，是平面内两个不共线向量，，，，，则，，三点共线的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
18.（2022潍坊三模）12. 定义平面向量的一种运算“”如下：对任意的两个向量，，令，下面说法一定正确的是（ ）
A. 对任意的，有
B. 存在唯一确定的向量使得对于任意向量，都有成立
C. 若与垂直，则与共线
D. 若与共线，则与的模相等
19.（2022淄博三模）5. 如图在中，，为中点，，，，则（ ）
A. B. C. D.
20.（2022日照三模）3. 已知向量，则在方向上的投影是（ ）
A. B. C. D.
21.（2022威海三模）6. 已知单位向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.

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