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2023届函数微专题——奇函数+M
理论依据
若，其中为奇函数，为常数，则
典例分析
例1.已知函数，若，则（ ）
B． C．1 D．2
自主练习
1.已知函数，，则　　
A． B．2 C． D．3
2.已知函数，若，则　　
A．0 B． C． D．
例2.已知函数的最大值为M，最小值为m，则
自主练习
1.设函数的最大值为，最小值为，则　　．
2.若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为　　
A．2021 B．2021 C．4032 D．4034
例3.已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则　　
A． B． C． D．
自主练习
1.已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为　 　．
2.设函数，则使得成立的的取值范围是 .
例4.已知函数，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
自主练习
1.已知函数，则（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
2.已知函数，其中为函数的导数，则
综合练习
1.已知，且，则______.
2.设函数的最大值为，最小值为，则　2　．
3.定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则　 　．
4.已知函数在，上的最大值为，最小值为，则M+m= .
5.设函数的最大值为5，则的最小值为
6.已知函数，其导函数为，则的值为 .
2023届函数微专题——奇函数+M解析
理论依据
若，其中为奇函数，为常数，则
典例分析
例1.已知函数，若，则（ ）
B． C．1 D．2
【解析】因为是奇函数，∴.故选：C.
自主练习
1.已知函数，，则　　
A． B．2 C． D．3
【解答】（a），（a），即，则
故选：．
2.已知函数，若，则　　
A．0 B． C． D．
【解答】解：由题意知，（a），
故
，
故选：．
例2.已知函数的最大值为M，最小值为m，则
【答案】4
【解析】速解：f(x)max+f(X)min=4
常规法：设，因为，所以为奇函数，则的最大值为，最小值为，
由奇函数对称性知，两者相加为0，即，∴.
自主练习
1.设函数的最大值为，最小值为，则　　．
【解答】，
令，函数的定义域为，且，则函数为奇函数，设其最大值为，则其最小值为，，，．
故答案为：2．
2.若定义在上的函数满足：对任意，有，且时，，记在，上的最大值和最小值为，，则的值为　　
A．2021 B．2021 C．4032 D．4034
【解答】解：令得，，
令得，
，令，则，，
，是奇函数，
，即，．
故选：．
例3.已知，且，函数，设函数的最大值为，最小值为，则　　
A． B． C． D．
【解答】，
令，，，
由，
可知，故函数的图象关于原点对称，
设的最大值是，则的最小值是，
由，令，时，在，递减，
的最小值是，的最大值是（1），
故（1），的最大值与最小值的和是，
时，在，递增，的最大值是，的最小值是（1），故（1），故函数的最大值与最小值之和为8，
综上：函数的最大值与最小值之和为8，
故选：．
自主练习
1.已知，设函数的最大值为，最小值为，则的值为　 　．
【解答】函数
令，由于是单调递增，是单调递增，可得．，，（a），，则，故答案为：4039．
2.设函数，则使得成立的的取值范围是 .
【解析】，所以，为上的偶函数，
又，当时，，故在上为增函数.因，由 得到，故，或
例4.已知函数，则
（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【答案】C
【解析】因为，所以
.
故选：C
自主练习
1.已知函数，则（ ）
A．2019 B．2020 C．4038 D．4040
【解析】，
令，则，所以为奇函数，
所以关于坐标原点对称，则关于成中心对称，则有，所以.
故选：C．
2.已知函数，其中为函数的导数，则
【解析】
令，则有
因为的定义域是R，
所以是奇函数，所以是偶函数
所以，
所以
故选：A
综合练习
1.已知，且，则______.
【解析】，故，
所以
2.设函数的最大值为，最小值为，则　2　．
【解答】函数，
则为奇函数，则，即，
则，
故答案为：2．
3.定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则　 　．
【解答】函数为奇函数，，
又的最大值为，最小值为，
又，即为奇函数，
且的最大最小值分别为，，
由奇函数的性质可得，解得．
故答案为：2．
4.已知函数在，上的最大值为，最小值为，则M+m= .
【解析】由
令，，上，可得，；
那么转化为由于是奇函数
可得，，的最大值与最小值之和为0，那么的最大值与最小值之和为2．
5.设函数的最大值为5，则的最小值为
【解析】速解：f(x)max+f(X)min=6,则f(x)的最小值为1
常规法：由题可知，，
设，其定义域为，
又，
即，
由于
，
即，所以是奇函数，
而，由题可知，函数的最大值为5，
则函数的最大值为：5-3=2，
由于是奇函数，得的最小值为-2，所以的最小值为：-2+3=1..
6.已知函数，其导函数为，则的值为 .
【解析】函数，
，，
.

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