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2023届函数微专题——单调性与奇偶性综合
函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，几乎是每年必考的内容，奇偶性和单调性结合，提高了综合性和创造性．
典例精讲
类型一：比较大小
例1.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则的大小关系 。
例2.已知定义在上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
自主练习
1.已知定义在上的奇函数满足，关于对称且在区间，上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
2．若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则的大小关系 。
类型二：解抽象不等式
例1.已知偶函数在上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例2.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例3.偶函数在上单调递增，且，，则满足的取值范围是 。
例4.若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例5.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
自主练习
1.若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是 。
3.已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为 。
5.函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
类型三：零点问题
例1.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
自主练习
1.已知函数，若方程有且仅有两个不同的解，则实数m的值为（ ）
A．2e B．4e C．6e D．8e
综合练习
1.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．若函数是奇函数，且在上是减函数，又，则解集（ ）
A． B． C． D．
5.已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围 。
7．已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是 。
8．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 。
9．设是R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________.
10.是偶函数，且在上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是__.
11．已知偶函数在上是减函数，且，则满足不等式的取值范围为 。
12．已知函数，若，则实数的取值范围是 。
13.已知函数，若，则实数的取值范围是　 　．
14．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
15．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．
16.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的大小关系 。
2023届函数微专题——单调性与奇偶性综合解析
函数的单调性、奇偶性是函数的重要性质，几乎是每年必考的内容，奇偶性和单调性结合，提高了综合性和创造性．
典例精讲
类型一：比较大小
例1.若是偶函数，且对任意∈且，都有，则的大小关系 。
【解析】∵对任意的x1，x2∈（0，+∞），都有，
∴函数在（0，+∞）上单调递减，又∵，∴，
又∵是偶函数，∴f（﹣）＝f（）．∴．
例2.已知定义在上的函数的图象关于点对称，，且函数在上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
【解答】因为函数的图象关于点对称，
故函数的图象关于点对称，所以函数为上的奇函数，
由，可得，故函数的周期为2，
因为函数在上单调递增，则在上也是单调递增函数，
因为，且，则．
故选：．
自主练习
1.已知定义在上的奇函数满足，关于对称且在区间，上单调递增，则　　
A． B．
C． D．
【解答】因为满足，所以的周期为8，
则，，（3），又因为为上的奇函数，且关于对称，所以（3）（1），又在区间，上单调递增，
则在，上也是单调递增，所以在，上单调递增，
故（1），所以．
故选：．
2．若函数是偶函数，且在[0,2]上是增函数，在上是减函数，则的大小关系 。
【解析】∵f（x）是偶函数，且函数f（x）在[2，+∞）上是减函数，
∴f（4）＜f（3）＜f（2），即.
类型二：解抽象不等式
例1.已知偶函数在上单调递增，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
因为是偶函数，则由可得，
又在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，解得，
故选：D
例2.已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
当时，，，
同理，当时，，且，可知函数为奇函数；
，在上单调递增，在上单调递增，
由奇函数性质知：在上单调递增，
由得：，即，
，，解得：，即，
，即实数的取值范围为.
故选：.
例3.偶函数在上单调递增，且，，则满足的取值范围是 。
【解析】由于函数是偶函数，且，，则，且，由，得，则，由于函数在区间上单调递增，则，即，，解得，因此，满足的取值范围是.
例4.若定义在上的奇函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
依题意是上的奇函数，且在递增，且，所以在递增，且.的图象是由的图象向右平移个单位得到，
画出的大致图象如下图所示，由图可知，满足的的取值范围为.
故选：C.
例5.已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】，
令，则，可得是奇函数，
又，
又利用基本不等式知当且仅当，即时等号成立；
当且仅当，即时等号成立；
故，可得是单调增函数，
由得，
即，即对恒成立.
当时显然成立；当时，需，得，
综上可得，
故选：D.
自主练习
1.若函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
的定义域为,因为，
所以是奇函数， 所以不等式可化为，
因为在上均为增函数，
所以在上为增函数，所以，解得，
故选：A.
2.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是 。
【解析】为奇函数，.
，.故由，得.
又在单调递减，，.
3.已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
设，可得函数为奇函数，
，所以函数在上单调递增，
，所以．
故选：A.
4．若函数为奇函数且在上为减函数，又，则不等式的解集为 。
【解析】由题意，函数为奇函数且在上为减函数，且，
可得为奇函数且在上为减函数，又，
当时，则满足，即，即，解得，
当时，则满足，即，即，解得，
综上可得不等式的解集为．
5.函数，若满足恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
∵，且，
∴函数为单调递增的奇函数．于是，可以变为，即，∴，而，可知实数，故实数的取值范围为．
故选：C.
类型三：零点问题
例1.已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解析】
设，则是偶函数，由已知＝0有4个解，所以时，有2个解．
时，，，显然不是方程的解，因此有两个正实根．设，则，当且时，时，，在和上单调递减，在上单调递增，
时，，是极小值，所以时， ，而且时，，时，，所以有两个正实根时，．只有CD满足．故选：CD．
自主练习
1.已知函数，若方程有且仅有两个不同的解，则实数m的值为（ ）
A．2e B．4e C．6e D．8e
【解析】
设，可得，即有为偶函数，
由题意考虑时，有个零点，当时，，，
即有时，，
由，可得，由，相切，设切点为，
的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，由切线经过点，可得，解得或舍去，即切线的斜率为2e，
故选：A
综合练习
1.已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
，故为偶函数
且，当时，
恒成立，所以恒成立，当时，单调递增，
而，，由可得：，即
令，，所以单调递减，而
所以的解集为
故选：D
2．设是奇函数，且在上是增函数，又，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
函数为奇函数，，函数在上是增函数，
函数在上是增函数，对于，需，解得，
或，解得，的范围是．故选：C．
3．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由题意，函数，根据二次函数的性质，作出函数的图象，如图所示，结合图象，可知函数的图象关于轴对称，即函数为偶函数，
所以，即，
当时，不等式，即为，解得；
当时，不等式，即为，解得，
综上可得，实数的取值范围是.故选：C.
4．若函数是奇函数，且在上是减函数，又，则解集（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
在上是减函数且，
当时，，当时，．又是奇函数，
由函数图象的对称性知：当时，，当时，．
不等式，等价于或，
或，即不等式的解集为．故选：C．
5.已知定义在上的可导函数，对任意的实数x，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】
由，得，
记，则有，即为偶函数，
又当时，恒成立，所以在上单调递增，
所以由，得，
即，所以，即，解得，
故选：D.
6．已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围 。
【解析】偶函数在区间上单调递增则在区间上单调递减，若满足则
化简可得解不等式可得,即
7．已知函数,则使得不等式成立的实数的取值范围是 。
【解析】函数,变形后可得所以的图像关于对称，由函数单调性可知,当时,函数单调递增
因为所以满足
变形可得,展开可知因式分解可得，解不等式可得即实数的取值范围为
8．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为 。
【解析】由f(x)为奇函数可知，＝<0.而f(1)＝0，则f(－1)＝－f(1)＝0.
当x>0时，f(x)<0＝f(1)；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，∴奇函数f(x)在(－∞，0)上为增函数．
所以09．设是R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是________.
【解析】当，所以.
当时，，此时函数单调递增，
是定义在R上的奇函数，函数在R上单调递增.
若对任意，不等式恒成立，所以恒成立，即恒成立.因为，所以，，解得.即实数a的取值范围是.故答案为：
10.是偶函数，且在上是增函数，如果在上恒成立，则实数的取值范围是__.
【解析】由题意可知：是偶函数，且在上是增函数，
∴在上是减函数，∴由在上恒成立，
可知：在上恒成立，所以，，∴在上恒成立，
即，，，在上递增，最大值为；在上递减，最小值为，∴.故答案为：.
11．已知偶函数在上是减函数，且，则满足不等式的取值范围为 。
【解析】由于函数是上的偶函数，则，
，由，则，即.
函数在上是减函数，，即，解得.因此，满足不等式的取值范围为.
12．已知函数，若，则实数的取值范围是 。
【解析】构造函数，则，由于，则为奇函数，在上恒小于0，则在为减函数；由于，则，即，由于为奇函数，则等价于，由于在为减函数，则等价于，解得：，实数的取值范围是；
13.已知函数，若，则实数的取值范围是　 　．
【解答】因为，设，定义域，
，所以为奇函数，，所以单调递增，不等式，即为，
即，所以，即，解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
14．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是
【解析】为奇函数，，又，，
则可化为：，
在单调递增，，解得：，的取值范围为.
故答案为：．
15．已知是定义在R上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集为__________．
【解析】，∴在上是增函数，且为偶函数，由，
∴，解得，∴解集为
16.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则的大小关系 。
【解析】根据题意，函数是定义在上的偶函数，则，，有，
又由在上单调递增，则有.

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