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复合函数求零点
技巧提示：
求解复合函数零点问题的：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
例：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。
（1）中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；
（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；
（3）中可得，进而有1个对应的 ，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；
（4）中可得：，进而有2个对应的 ，有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有2个
答案：B
典例分析
例1.设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
自主练习
1.已知函数，则函数的零点个数为　　是自然对数的底数）．
A．6 B．5 C．4 D．3
2.已知函数，函数零点的个数为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
例2.已知函数是定义域为的奇函数．当时，若关于的方程，有且仅有2个不同实数根，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，
自主练习
1.已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是　　
A． B．
C．， D．，
2.设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
例3.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.
自主练习
1.设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______
综合练习
1.已知函数，方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
2.已知函数，函数，则关于的方程的实根最多有　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3.（多选）已知函数，则　　
A．对任意的，函数都有零点
B．当时，对，都有成立
C．当时，方程有4个不同的实数根
D．当时，方程有2个不同的实数根
4.已知函数是定义域为的偶函数．当时，，则（1）　　，若关于的方程，，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是　 　．
5.已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　．
复合函数求零点解析
技巧提示：
求解复合函数零点问题的：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
例：已知函数和在的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程有且只有6个根（2）方程有且只有3个根
（3）方程有且只有5个根（4）方程有且只有4个根
则正确命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数。
（1）中可得，进而有2个对应的 ，有3个，有2个，总计7个，（1）错误；
（2）中可得，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；
（3）中可得，进而有1个对应的 ，有3个，有1个，总计5个，（3）正确；
（4）中可得：，进而有2个对应的 ，有2个，共计4个，（4）正确则综上所述，正确的命题共有2个
答案：B
典例分析
例1.设函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】
函数的图象如图所示，
由，得，令，则，当时，，得，当时，，则，所以当时，，由图象可知方程有两个实根，当 时，，由图象可知，方程有1个实根，
综上，方程有3个实根，所以函数的零点个数为3，
故选：C
自主练习
1.已知函数，则函数的零点个数为　　是自然对数的底数）．
A．6 B．5 C．4 D．3
【解析】不妨设，，
易知，在，上恒成立，且在，单调递增；
，设，由当时，，（1），且函数在上单增，
故函数存在唯一零点，使得，即，则，故当时，，，单减；当，时，，，单增，故，故；令，，
当时，，解得，此时易知有一个解；
当时，，即，作函数与函数如下图所示，
由图可知，函数与函数有两个交点，设这两个交点为，，且，，而由图观察易知，，均有两个交点，故此时共有四个解；
综上，函数的零点个数为5．
故选：．
2.已知函数，函数零点的个数为　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】令，令，则，当时，则，所以，，．当时，，则，
当时，；当时，．
此时，函数在处取得极大值，且极大值为．
所以，当时，，则方程在时无解．
再考虑方程的根的个数，
作出函数的图象如下图所示，
由于，所以，直线与函数的图象只有一个交点，
因此，函数只有一个零点，
故选：．
例2.已知函数是定义域为的奇函数．当时，若关于的方程，有且仅有2个不同实数根，则实数的取值范围是　　
A．，， B．，，
C．，， D．，
【解析】作出函数的图象如图所示，令，则由图象可得：
当 或 时，方程 有1解；当 或时，方程 有2解；当或时，方程 无解；
因为，所以 或，
因为关于的方程有且仅有2个不同实数根，
又 有2 解，所以 无解或方程的解也是方程的解，
故或或，
故选：．
自主练习
1.已知函数，关于的方程有四个相异的实数根，则的取值范围是　　
A． B．
C．， D．，
【解析】当时，，函数的导数，当时，，当时，，则当时 函数取得极小值（1），当时，，函数的导数，此时恒成立，此时函数为增函数，作出函数的图象如图：设，则时，有3个根，当时，有2个根当时，有1个根，当时，有0个根，则有四个相异的实数根，等价为有2个相异的实数根，其中，，设，
则，即，即，
即，即实数的取值范围是，，
故选：．
2.设函数若函数有三个零点，则实数a的范围为________．
【解析】
函数的零点即为方程的解，令，则原方程的解变为方程组的解，作出函数的图象，
由图象可知，当时，有唯一的x与之对应；当时，有两个不同的x与之对应．由方程组有三个不同的x知，需要方程②有两个不同的t，且一个，一个，结合图象可知，当时，满足一个，一个，符合要求，综上，实数a的取值范围为．
故答案为：.
例3.已知函数，（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程恰有三个不等实根，且，则的最大值为___________.
【解析】
由题意设，根据方程恰有三个不等实根，
即必有两个不相等的实根，不妨设
，则，方程或有三个不等实根，且，
作出图象如图所示：
那么，可得，，
所以，构造新函数，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以,
所以的最大值为.
故答案为：.
自主练习
1.设定义域为的函数 ，若关于的方程由3个不同的解，则______
【解析】先作出的图像如图：观察可发现对于任意的，满足的的个数分别为2个（）和3个（），已知有3个解，从而可得必为 的根，而另一根为或者是负数。所以，可解得：，所以
答案：5
综合练习
1.已知函数，方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是　　
A． B．， C．， D．
【解答】解：当时，，则，
由得，当时，，当时，，
即当时，函数取得极大值，此时，且当时，，当时，，设，则当时，方程有两个根，
当或时，方程有1个根，
当时，方程有3个根，当时，方程有0个根，
则方程等价为，即或，
当时，方程有1个根，
若方程有四个不相等的实数根，
则等价为有3个根，即，得，
故选：．
2.已知函数，函数，则关于的方程的实根最多有　　
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解析】作出函数和的图象如图：
由得，
设，则，，由的图象知，
①当时，方程有两个根，或，
由的图象知，当时，有0个根，
当时，有0个根，此时方程有0个根，
②当时，方程有两个根，或
由的图象知，当时，有0个根，
当时，有3个根，此时方程有3个根，
③当时，方程有两个根，或，
由的图象知，当时，有3个根，
当时，有3个根，此时方程有个根，
④当时，方程有两个根，或，
由的图象知，当时，有3个根，
当时，有3个根，此时方程有个根
⑤当时，方程有1个根，
由的图象知，当时，有3或2个或1个根，
此时方程有3或2个或1个根，
综上方程的实根最多有6个根，
故选：．
3.（多选）已知函数，则　　
A．对任意的，函数都有零点
B．当时，对，都有成立
C．当时，方程有4个不同的实数根
D．当时，方程有2个不同的实数根
【解答】解：对于：作出函数和的图象如图所示：
当时，函数只有1个零点，当时，函数有2个零点，
当时，函数只有1个零点，故正确；对于：当时，函数单调递增，若当时，对，都有成立，则单调递减，故错误；对于时，得，，
当时，方程有两个解，当时，方程有两个解，
所以方程有4个不同的实数根，故正确；
对于：当时，方程的根为的根，
令，
作出，的图象：
可得函数与有三个交点，其中包括，即方程有三个根，
故选：．
4.已知函数是定义域为的偶函数．当时，，则（1）　　，若关于的方程，，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是　 　．
【解析】（1），
作函数的图象如右图，
设方程的两个根为，；
①若，，故，，
故，；
②若，，
故，
故，；
故答案为：，，，．
5.已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是 　　．
【解析】化简得，
当时，，，
若时，，若时，，所以当时，函数有极大值（1），
当时，，为减函数，
作出函数的图象如图所示，
由方程得，，
所以或，
由图象知方程有1个解，
要使关于的方程恰好有4个不相等的实数根，
则要有三个解，由函数图象知，
所以．
故答案为：

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