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解三角形微专题——范围与最值问题
一、基础知识
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
2、余弦定理：
变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
3、三角形面积公式：
（1） （为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）（其中为外接圆半径）
4、三角形内角和：，从而可得到：
（1）正余弦关系式：
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的
二、解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
（2）利用均值不等式求得最值
例三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面积S的取值范围．
【答案】(1)，得，∵，∴．又，∴，∴，解得．
(2)(方法一)∵，∴，化简得．
又，∴，即，当且仅当时，等号成立．∴△ABC的面积，当且仅当时，等号成立，故，即△ABC的面积S的取值范围为．
(方法二)∵，∴由正弦定理得：，
∴，∴△ABC的面积．又∵，∴，∴，即△ABC的面积S的取值范围为．
小结：正弦定理化角比余弦定理加均值计算量较大，若题目没有角度限制优先采用余弦定理加均值.
三、典例分析
面积或周长最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
例1.在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围。
自主练习
1.如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求△的面积的最小值.
对角度有要求的题目，选择利用正弦函数进行范围讨论
转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
例2在①是和的等差中项；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件 （填写所选条件的序号）．
(1)求角；
(2)若，求锐角的周长的取值范围．
自主练习
1.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，关注角度范围是否受限.
例3.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例4.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
自主练习
1.设函数 .
(1)求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
(2)已知中，角的对边分别为，若， ，求的最小值.
2.在中，分别是角所对的边，满足．
(1)求角B大小；
(2)求的取值范围．
复杂范围问题，消到单元后，求导计算.
例5.已知在锐角三角形ABC中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为_________
自主练习
1.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______．
2.已知在锐角的面积为，且，其内角，，所对边分别为，，，则边的
最小值为_____________．
四、综合练习
1.在中，，则面积的最大值是____________
2.已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的面积的最大值为_______________．
3.已知的外心为，，，分别为内角，，的对边，，则的最小值为_______．
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为___________．
5．已知的三个角所对的边为．若，为边上一点，且，则的最小值为_________．
6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.
7.在①，②向量与，且， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角所对的边分别为，已知______.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为，求周长的取值范围.
8.在中，角，，所对应的边分别为，，，.
(1)求证：；
(2)若，为锐角，求的取值范围.
9.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.
（1）求的面积；
（2）若，求的最大值.
解三角形微专题——范围与最值问题解析
一、基础知识
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
2、余弦定理：
变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
3、三角形面积公式：
（1） （为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）（其中为外接圆半径）
4、三角形内角和：，从而可得到：
（1）正余弦关系式：
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的
二、解三角形中处理不等关系的几种方法
（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
（2）利用均值不等式求得最值
例三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求C；
(2)求的面积S的取值范围．
【答案】(1)，得，∵，∴．又，∴，∴，解得．
(2)(方法一)∵，∴，化简得．
又，∴，即，当且仅当时，等号成立．∴△ABC的面积，当且仅当时，等号成立，故，即△ABC的面积S的取值范围为．
(方法二)∵，∴由正弦定理得：，
∴，∴△ABC的面积．又∵，∴，∴，即△ABC的面积S的取值范围为．
小结：正弦定理化角比余弦定理加均值计算量较大，若题目没有角度限制优先采用余弦定理加均值.
三、典例分析
面积或周长最值，一般符合“齐次对称结构”，可以直接用余弦定理加均值不等式。
例1.在中，角的对边分别为，其中，且.
(1)求角的大小；
(2)求周长的取值范围。
【答案】(1)解：因为，即，所以，即，所以，又，，所以，所以，因为，所以；
(2)解：因为、，由余弦定理，即，即当且仅当时取等号，所以，所以，所以，所以，所以，即三角形的周长的取值范围为
自主练习
1.如图，在△中，D为BC边上的点，连接AD，且满足.
(1)求证：；
(2)若，，求△的面积的最小值.
【答案】(1)在△中，利用正弦定理可知，即，同理，在△中，利用正弦定理可知，即，
由已知条件，可得，
即 。，∴；
(2)设，, ,
∴，，，又∵，∴，∴，又∵，∴，∴，（当且仅当时等号成立）
∴，即的最小值为.
对角度有要求的题目，选择利用正弦函数进行范围讨论
转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域
例2在①是和的等差中项；②；③．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件 （填写所选条件的序号）．
(1)求角；
(2)若，求锐角的周长的取值范围．
【答案】(1)解：选①，由已知可得，
所以，，
、，则，，可得，，故；
选②，因为，由正弦定理可得，
所以，，
因为，则，可得，，故.
选③，，则，即，由正弦定理可得，由余弦定理可得，，故；
(2)解：因为为锐角三角形，则，可得，
由正弦定理可得，则，，所以，，
因为，则，则，故.
自主练习
1.的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．由，可得，故．因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．由正弦定理得．由于△ABC为锐角三角形，故0°“非齐次或者不对称结构”，用正弦定理消角化一，关注角度范围是否受限.
例3.在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答.问题：在中，内角的对边分别为，且__________.
(1)求角；
(2)若是锐角三角形，且，求的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)选择①：条件即，由正弦定理可知，，
在中，，所以，
所以，且，即，所以；选择②：条件即，即，在中，，所以，则，所以，所以.
选择③：条件即，
所以，在中，，所以.
(2)由（1）知，，所以，由正弦定理可知，，由是锐角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范围为.
例4.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.
问题：已知内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，____________，求的最大值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】若选①，∵A＋B＋C＝π，∴由已知条件得，
由，得，由，得，∵，∴，，
由正弦定理，有，∴，，
∴，(其中，)
∵，∴存在A，使得，此时取得最大值为.
若选②：，∵A＋B＋C＝π，
∴，，化简得，由，得，∵，∴.
下同①；若选③：，，由正弦定理得，∴由余弦定理得，∵，∴.下同①.
自主练习
1.设函数 .
(1)求的最大值，并写出使取最大值时的集合；
(2)已知中，角的对边分别为，若， ，求的最小值.
【答案】(1)依题意，，因，则当，即，时，所以的最大值为2，此时的集合为.
(2)依题意，，则，而，即有，因此，，解得，在中， ， ，由余弦定理得：
，当且仅当时取“=”，
所以的最小值为.
2.在中，分别是角所对的边，满足．
(1)求角B大小；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)，由正弦定理知：．
即：
，又；
(2)，且．
，
故的取值范围是.
复杂范围问题，消到单元后，求导计算.
例5.已知在锐角三角形ABC中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为_________
【答案】
【分析】由已知结合正弦定理可得，然后结合余弦定理，
，令，代换后结合余弦的性质即可求解．
【解析】∵，∴，
由余弦定理可得：，
令，则，因此，∴，
∵为锐角，，∴，∴，故答案为：．
自主练习
1.已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】∵，
∴
，
∵，∴，∴，∴，∴，令，则，∴，∴在上恒成立，∴在上单调递减，∴，即，∴的取值范围为．
2.已知在锐角的面积为，且，其内角，，所对边分别为，，，则边的
最小值为_____________．
【答案】2
【解析】由，得，
即，结合正弦定理得，
再由余弦定理可得，整理．
又由余弦定理可得，代入上式得，
又锐角的面积，∴时，∴，
设函数，求导可得，由，得，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴．于是，即，当且仅当时，等号成立．
故答案为：2
四、综合练习
1.在中，，则面积的最大值是____________
【答案】
【解析】
，
当时等号成立．此时，即时，满足题意．
故答案为：．
2.已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足，，则的面积的最大值为_______________．
【答案】
【解析】由余弦定理可得，化简得，则，则的面积．
3.已知的外心为，，，分别为内角，，的对边，，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】记的中点为，的中点为，则，同理：，
∵，∴，∴，
∴（当且仅当时等号成立），答案为．
4.在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为___________．
【答案】
【解析】，且，，
，
，
化简得：，，
，即，
又，由余弦定理：，
，又，，
又，，设内切圆半径为，则，，
即，．
5．已知的三个角所对的边为．若，为边上一点，且，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】设，()则，
，，即，
化简得，即，故，，
又，∴，即，即，
，(当且仅当时取等号)，故答案为：．
6.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
(1)求角C；
(2)若的外接圆半径为2，求面积的最大值.
【答案】(1)
因为，所以，由正弦定理得：，因为，所以，故，，因为，所以
(2)根据正弦定理得：，解得：，
根据余弦定理得：，由基本不等式得：，即，解得：，当且仅当时等号成立，此时，所以面积的最大值为
7.在①，②向量与，且， ③，三个条件中选一个填在下面试题的横线上，并加以解析. 在中，内角所对的边分别为，已知______.
(1)求角的大小;
(2)若的面积为，求周长的取值范围.
【答案】(1)
若选条件①，根据正弦定理得, ，整理得，，即
，也即，由于是三角形内角，只可能是，即，；
若选条件②，则有，整理得，由余弦定理得，又，则；
若选条件③，由正弦定理，，即，又，则.
(2)，故，由三角形三边关系，，故周长，另一方面，根据余弦定理，，即，由基本不等式可得，
，故，即，当且仅当
取得等号，故周长，综上可得，周长的取值范围是：.
8.在中，角，，所对应的边分别为，，，.
(1)求证：；
(2)若，为锐角，求的取值范围.
【答案】(1)由得： ,即 ,
所以 ,所以 ，故
(2)由余弦定理得： ，
由可知： ，因为为锐角，所以 ，
所以 ，而函数 在上单调递减，
故 ，故的取值范围是 .
9.已知中，角，，所对的边分别为，，，，且满足.
（1）求的面积；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）在中，，∴∵
∴∵，∴∴
（2）∵∴∴
∴∴当时，取最大值.

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