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2023届解三角形微专题——图形问题
一、基础知识
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
3、三角形面积公式：
（1） （为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）（其中为外接圆半径）
4、三角形内角和：，从而可得到：
（1）正余弦关系式：
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的
5、三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）
证明：在中
①
②
为中点
①②可得：
（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于
为的角平分线
为等腰三角形
而由可得：
二、基本规律
1.可以利用向量法:
2.利用公共边或公共角，结合余弦定理解题.
3.中线可借助补角.
4.中线可延长，补成对称图形.
三、典例分析
例1在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）若D为AC边上一点，，，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
自主练习
1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
（1）求；
（2）点D在边AB上，，，求a．
例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为2，D为边BC的中点，求AD的长度．
自主练习
1.在中，，且边上的中线长为，
(1)求角的大小；
(2)求的面积.
例3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
自主练习
1.在中，内角 所对的边分别为 ，若角 成等差数列，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
四、综合练习
1.在中，，，为边上一点，且满足，此时，则边长等于（ ）
A． B． C．4 D．
2．已知中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且．
(1)求角B的大小；
(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长．
3.已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若角的平分线与交于点，且，求的值.
4.在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积
5.已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
2023届解三角形微专题——图形问题解析
一、基础知识
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值
3、三角形面积公式：
（1） （为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3）（其中为外接圆半径）
4、三角形内角和：，从而可得到：
（1）正余弦关系式：
（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的
5、三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）
证明：在中
①
②
为中点
①②可得：
（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于
为的角平分线
为等腰三角形
而由可得：
二、基本规律
1.可以利用向量法:
2.利用公共边或公共角，结合余弦定理解题.
3.中线可借助补角.
4.中线可延长，补成对称图形.
三、典例分析
例1在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，______．
（1）求角A的大小；
（2）若D为AC边上一点，，，，求的面积．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1） （2）
【解析】
【小问1详解】
方案一：选条件①．
，，
即，
所以，故或，
得或（舍去）．又，所以．
方案二：选条件②，，
由正弦定理得，
所以．因为所以，
即．因为，所以，即．
因为，所以．
方案三：选条件③．
因为，由正弦定理得，得，所以，因为，所以，
所以．
因为，所以，因为，所以．
【小问2详解】
，，，
在中，，，
由余弦定理，得．
在中，，，
，
的面积．
自主练习
1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为．
（1）求；
（2）点D在边AB上，，，求a．
【答案】（1） （2）
【小问1详解】
由三角形面积公式及已知可得，即．
由余弦定理可得：，又，所以．故；
【小问2详解】
由可知，．由可得：，
所以，．又，
所以，．所以
在△ACD中，由正弦定理可得．
在△BCD中，由余弦定理可得
例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为2，D为边BC的中点，求AD的长度．
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)∵，由正弦定理可得，即．
由余弦定理可得，∵，∴；
(2)∵，△ABC的面积为，∴．
由余弦定理得，∴，
∴， ∴，
∴AD的长度为．
自主练习
1.在中，，且边上的中线长为，
(1)求角的大小；
(2)求的面积.
【答案】(1)由正弦定理边角互换可得，
所以.因为，
所以，即，
即，整理得.因为，所以，所以，即，所以.
因为，所以，即．
(2)设的中点为，根据向量的平行四边形法则可知
所以，即，
因为，，所以，解得（负值舍去）.所以．
例3. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求角A的大小；
（2）若，AD＝2，且AD平分∠BAC，求△ABC的面积．
注：三角形内角平分线定理：在△PQR中，点M在边QR上，且PM为∠QPR的内角平分线，有．
【答案】（1） （2）
【小问1详解】
因为，故，
所以即，而为三角形内角，故.
【小问2详解】
因为，所以，
因为为角平分线，故且即，
由余弦定理可得，
且
所以，解得，
故，所以三角形的面积为.
自主练习
1.在中，内角 所对的边分别为 ，若角 成等差数列，角的角平分线交于点，且，，则的值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】
由等差数列得，然后在和中分别应用余弦定理，联立后可解得．
【解析】
∵是平分线，∴，，，
角 成等差数列，∴，而，∴，
在中．，即，
中中，，即，
由，解得．
故选C．
四、综合练习
1.在中，，，为边上一点，且满足，此时，则边长等于（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【解析】
如图，结合题意绘出图像，
∵，，∴，，∵，∴，
在中，，
即，解得或（舍去），，
在中，，
即，解得，
故选D．
2．已知中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，角B为钝角，且．
(1)求角B的大小；
(2)若点D在AC边上，满足，且，，求BC边的长．
【答案】(1)；(2).
【解析】
(1)由已知：，则．
由正弦定理，．
∵，故．∴．
∴，即．∵，则．
∴，即．
(2)由题意，得．∵，
∴．
∴．
∵，，，∴．
∴，，则，∴．
3.已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若角的平分线与交于点，且，求的值.
【答案】解析：（1）方法一：由及余弦定理得，
整理得，所以.
方法二：由及正弦定理得，
又，所以.
（2）由（1）可知，且，所以，同理可得，设的面积分别为，则，，，由得，所以.
4.在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积
【详解】（1）由，得.利用正弦定理得：，即，化简得.，，.又，.
（2）由正弦定理得.设为边上的中点，则，利用向量加法法则得：
两边平方得：，即
由余弦定理，即，
两式相减得，即.由三角形面积公式得：.
5.已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)在中，分别是角的对边，，若为上一点，且满足____________，求的面积.
请从①；②为的中线，且；③为的角平分线，且.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
【答案】(1)，
由，得，，
∴函数的单调递增区间为，；
(2)由，得，
又中，，可知；
若选①：由，可知，可化为，
又，则，又中，故，所以，
则，故；
若选②：为的中线，且在中，，，则有，在中，，在中，，又，
则
则，又知，故；故；
若选③：为的角平分线，且.由题意知，，
即，整理得
又在中，，，则有，
故解之得，，故.

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