资源简介

二次函数与一元二次方程、不等式
【学习目标】
1．从函数观点看一元二次方程，了解函数的零点与方程根的关系.；
2．能借助二次函数的图象求解一元二次不等式，能用集合表示一元二次不等式的解集；
3．借助二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应二次函数、一元二次方程的联系．
【巩固初中知识】
一、一元二次方程
1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解法
（1）配方法：将方程整理成(x＋p)2＝q，方程的根是① ．
注：x2系数是1和不是1时配方注意事项；x2系数是负数时配方注意事项．
（2）公式法：② (Δ＝b2―4ac)．
（3）因式分解、十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝0③ ．
2．一元二次方程根的判别(Δ＝b2―4ac)
（1）Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0，方程有一个实数根或者两个相等的实数根；
（3）Δ＜0，方程没有实数根，方程无解．
3．韦达定理（根与系数关系）x1
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1和x2，则x1＋x2＝④ ；x1x2＝⑤ ．
二、二次函数
1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
当a＞0时，抛物线开口向⑥ ，当a＜0时，抛物线开口向⑦ ；对称轴为⑧ ，顶点坐标为⑨ ．
3．二次函数解析式求法
（1）一般式：⑩ （a，b，c是常数，a≠0），需要三个坐标点；
（2）顶点式：y＝a(x―h)2＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标和其他任一点的坐标；
（3）零点式： （a为常数，且a≠0），二次函数的零点为，．
【知识梳理】
1．相关定义
（1）一元二次不等式的定义：只含有 未知数并且未知数的最高次数是 的不等式叫作一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是：ax2＋bx＋c＞0（或＜0，或≥0，或≤0），其中a，b，c均为常数，a≠0．
(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使 的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
(3)一元二次不等式的解法步骤：
第1步：将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式：
ax2＋bx＋c＞0或 ax2＋bx＋c＜0(a＞0)
第2步：求出相应的一元二次方程的根．
第3步：利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
2．三个“二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
注意：一元二次方程的两根，对应着相应二次函数图象与x轴交点的横坐标，对应着相应一元二次不等式解集中的 .
3．当a＞0时，借助上表，如果Δ＞0，设方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的两根为：，，且
＜，可用大于取 ，小于取 来解决.
即ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集为： ；ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集为： ．
若a＜0，先利用不等式的性质，把二次项系数化为 ，再利用上述结论解决．
【思考辨析】
判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)mx2－5x＜0是一元二次不等式．(　　)
(2)若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解．(　　)
(3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2(x1＜x2)，则一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　
【考点分类精讲】
考点1 解简单的一元二次不等式
【例题1】解下列不等式
（1）3x2－x－4＞0 （2）－2x2＋x－6＜0
（3）－x2＋6x－9≥0 （4）x2－2x－3＞0
（5）2x2－4x＋3＜0 （6）x2＋x－4＜0
【巩固练习1】
解下列不等式：
(1)－x2＋5x＞6 (2)3x2＋5x－2≥0
(3)x2－4x＋5＞0 (4)－x2＋6x－10＞0
解　(1)不等式可化为x2－5x＋6＜0.
因为Δ＝(－5)2－4×1×6＝1＞0，所以方程x2－5x＋6＝0有两个实数根：x1＝2，x2＝3.
由二次函数y＝x2－5x＋6的图象(如图①)，得原不等式的解集为{x|2＜x＜3}．
(2)因为Δ＝25－4×3×(－2)＝49＞0，
所以方程3x2＋5x－2＝0的两实根为x1＝－2，x2＝.
由二次函数y＝3x2＋5x－2的图象(图②)，得原不等式的解集为{x|x≤－2或x≥}.
(3)方程x2－4x＋5＝0无实数解，函数y＝x2－4x＋5的图象是开口向上的抛物线，与x轴无交点(如图③)．观察图象可得，不等式的解集为R.
(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，
∵Δ＝36－40＝－4＜0，
∴方程x2－6x＋10＝0无实根，
考点2　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
【例题2】已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
[解]　法一：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知＝－5，＝6.
由a＜0知c＜0，＝－，故不等式cx2＋bx＋a＜0，
即x2＋x＋＞0，即x2－x＋＞0，解得x＜或x＞，
所以不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜或x＞}.
法二：由不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}可知a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a＜0，即6ax2－5ax＋a＜0 6a(x―)(x―)＜0，故原不等式的解集为{x|x＜或x＞}
【巩固练习2】
1．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集．
解：由根与系数的关系知＝－5，＝6且a＜0.
∴c＜0，＝－，故不等式cx2－bx＋a＞0，即x2－x＋＜0，即x2＋x＋＜0.
解得－＜x＜－，故原不等式的解集为{x|―＜x＜―}.
2．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－≤x≤2}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－≤x≤2}知a＜0.又－×2＝＜0，则c＞0.
又－，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∴－＝，∴＝－.
又＝－，∴b＝－a，c＝－a， ∴不等式变为(－a)x2＋(－a)x＋a＜0，
即2ax2＋5ax－3a＞0. 又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，
故所求不等式的解集为{x|－3＜x＜}.
法二：由已知得a＜0 且(－)＋2＝－，(－)×2＝知c＞0，
设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，
其中＝＝－，－＝＝＝－，
∴x1＝＝－3，x2＝.
∴不等式cx2＋bx＋a＜0(c＞0)的解集为{x|－3＜x＜}.

展开更多......

收起↑