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2023届圆锥曲线微专题——焦点三角形
一、焦点三角形定义
1.椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则；
2.双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．
二、典例分析
题型一：焦点三角形的周长
椭圆焦点三角形周长：2a+2c，双曲线的周长利用进行计算
例1若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
例2.已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
自主练习
1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A． B． C． D．
题型二：焦点三角形的面积
椭圆中焦点三角形面积公式
双曲线中焦点三角形面积公式
例1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________．
例2.已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为
例3.双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 .
自主练习
1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为16，则__________．
2.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( )
A. B.3 C. D.2
3.已知、为双曲线:的左、右焦点，点在上,=，则到轴的距离为 ( )
A. B. C. D.
4.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
题型三：焦点三角形与离心率
椭圆中的离心率
双曲线中的离心率
例1.设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,
,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
例2.已知双曲线的焦点为，，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例3.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
自主练习
1.已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
2.已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
3.已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：焦点三角形与其他知识的综合运用
例1.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
自主练习
1.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若则的面积为 ( 　 　)
A. B. C. D.
三、综合练习
1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
2．若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
3.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则 ( )
A. B. C. D.
4.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
5.椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（ ）
A．1 B．
C． D．2
6.已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7.设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左 右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
10.设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
2023届圆锥曲线微专题——焦点三角形解析
一、焦点三角形定义
1.椭圆焦点为，，P为椭圆上的点，，则；
2.双曲线焦点为F1、F2，为双曲线上的点，，则．
二、典例分析
题型一：焦点三角形的周长
椭圆焦点三角形周长：2a+2c，双曲线的周长利用进行计算
例1若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：．故选D．
例2.已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
设双曲线的左焦点为，则．由题可知，，∴，，，∴，的周长为．∵当，，三点共线时，最小，最小值为，∴的周长的最小值为．故选：A
自主练习
1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解析：|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8，∴ |AF2|＋|BF2|－(|AF1|＋|BF1|)＝16，∴ |AF2|＋|BF2|＝16＋5＝21，∴ △ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 故选：A.
题型二：焦点三角形的面积
椭圆中焦点三角形面积公式
双曲线中焦点三角形面积公式
例1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则__________．
【答案】3
【解析】
例2.已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，，则的面积为
【答案】
【解析】
例3.双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，则点到轴的距离为 .
【解析】由等面积得：。
自主练习
1.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为16，则__________．
【答案】4
【解析】
2.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( )
A. B.3 C. D.2
【解析】由，得，选B。
3.已知、为双曲线:的左、右焦点，点在上,=，则到轴的距离为 ( )
A. B. C. D.
【解析】由等面积得：，选B。
4.已知、为双曲线C：的左、右焦点，点P在C上，∠P=，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】由双曲线的定义得①,又,由余弦定理②，由①2-②得，故选B．
题型三：焦点三角形与离心率
椭圆中的离心率
双曲线中的离心率
例1.设椭圆的左、右焦点分别为,是上的点,
,,则的离心率为 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，选D。
例2.已知双曲线的焦点为，，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
， ，解得 ，
， 故选D.
例3.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由椭圆上存在点，使可得以原点为圆心，以c为半径的圆与椭圆有公共点，∴，
∴，∴∴．由，
∴，即椭圆离心率的取值范围为．选B．
自主练习
1.已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
2.已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为　　
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
3.已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，
（当且仅当时取等号），，
由椭圆定义知：，又，
，，，又，离心率的取值范围为.故选：.
题型四：焦点三角形与其他知识的综合运用
例1.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设，，，则由余弦定理得.
又，则，解得，
所以.
因为，所以，，，
所以，所以的取值范围是.故选：B.
自主练习
1.设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若则的面积为 ( 　 　)
A. B. C. D.
【解析】设，则，由双曲线的定义得：，，，,
所以由勾股定理得为焦点直角三角形，所以，选B。
三、综合练习
1.已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等于（ ）
A．20 B．16 C．18 D．14
【答案】C
【解析】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.
2．若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆（其中a＞b＞0）的两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，可得2a+2c=16，椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，可得，解得a=5，c=3，则b=4，所以椭圆C的方程为：.
3.设分别是双曲线的左、右焦点,若点在双曲线上,且,则 ( )
A. B. C. D.
【解析】由向量中线定理得：=，选B。
4.已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【解析】△AF1B的周长公式4a=16,第三边等于16-10=6
5.椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（ ）
A．1 B．
C． D．2
【答案】C
【解析】设，，则，
又（1），（2），
式平方减去（2）式得：，得：.故选：C.
6.已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
所以，所以，解得.
故选：C
7.设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当是椭圆的上下顶点时，最大，
∴，∴，∴，
，，∴，
则椭圆的离心率的最小值为.
故选：C.
8．已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，做出示意图如下图所示，由椭圆与双曲线的定义得，所以得，
又因为，由余弦定理得 ，所以得 所以得即，
所以，
因为，所以，，，
所以，所以，所以，所以，
故选：D.
9.已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左 右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）
A．15 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【解析】依题意，.
在三角形中， ，由正弦定理得，
即，由于为锐角，所以.
10.设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
.故选：D

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