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导后二次型含参单调性讨论
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
二、方法梳理
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
三、典例分析
例1.已知函数，讨论的单调性.
例2.已知函数求的单调区间.
自主练习
1.已知函数.讨论的单调性.
2.已知函数．讨论的单调性.
例3．已知函数，．求函数的单调区间；
自主练习
1.已知函数.求函数的单调区间.
例4.讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
自主练习
1.设函数，求的单调区间；
例5.已知函数，其中.求的单调区间．
自主练习
1.已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x，讨论的单调性.
四、综合练习
1.已知函数，求的单调区间
2.已知函数，讨论的单调性.
3.已知函数，讨论的单调性.
4.已知，讨论的单调性.
5.设函数，．求函数的单调增区间；
6.已知函数．讨论的单调性.
7.已知函数f(x)＝·ex(k∈R)．求函数f(x)的单调区间；
导后二次型含参单调性讨论解析
一、知识梳理
1.函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)上单调递增
f′(x)＜0 f(x)在(a，b)上单调递减
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导函数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性.
二、方法梳理
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.
三、典例分析
例1.已知函数，讨论的单调性.
【解析】(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
例2.已知函数求的单调区间.
【解析】
当且仅当时取“=”号，单调递增。
当变化时，、的变化如下表：
—1
+ 0 — 0 +
极大值 极小值
自主练习
1.已知函数.讨论的单调性.
【解析】对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
2.已知函数．讨论的单调性.
【解析】由题，，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，得，令，得，
令，得或，所以在上单调递减，在
，上单调递增.
例3．已知函数，．求函数的单调区间；
【解析】函数的定义域为．由题意得，
当时， ，则在区间内单调递增；
当时，由，得或（舍去），
当时，，单调递增，
当时，，单调递减．
所以当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时， 的单调递增区间为，单调递减区间为．
自主练习
1.已知函数.求函数的单调区间.
【解析】：
令，即，
（参数角色：① 的大小，② 是否在定义域内，以①为目标分类）
① 即 （此时一定在定义域中，故不再分类）
不等式的解集为或 的单调区间为：
↗ ↘ ↗
② 在单调递增
③ ，要根据是否在进行进一步分类
当时， 不等式的解集为或
的单调区间为：
↗ ↘ ↗
当时，则，不等式的解集为 ，的单调区间为：
↘ ↗
例4.讨论函数f(x)＝－x＋aln x的单调性.
【解析】：f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－－1＋＝－.
设y＝x2－ax＋1，其图象过定点(0，1)，开口向上，对称轴为x＝，
①当≤0，即a≤0时，f′(x)≤0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
②当＞0，即a＞0时，
令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，
(ⅰ)当Δ≤0，即0＜a≤2时，f′(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
故a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数.
(ⅱ)当Δ＞0，即a＞2时，令f′(x)＝0，得
x＝或x＝.
当x∈∪时，f′(x)<0；
当x∈时，f′(x)>0.
所以f(x)在，上单调递减，
在上单调递增.
自主练习
1.设函数，求的单调区间；
【解析】：，令即
当 则恒成立 在上单调递增
当或
① 当时，解得 ，单调区间为：
② 当时，解得：或
单调区间为：
例5.已知函数，其中.求的单调区间．
【解析】：，
令，即解不等式：
① 当时，解得：，故的单调区间为：
② 当时 ，所以解得：
故的单调区间为：
③ ，则，常值函数不具备单调性
④ 时，解得：或 故的单调区间为：
自主练习
1.已知函数ae2x+(a﹣2) ex﹣x，讨论的单调性.
【解析】：（1）的定义域为，，
（ⅰ）若，则，所以在单调递减.
（ⅱ）若，则由得.
当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.
四、综合练习
1.已知函数，求的单调区间
【解析】：定义域
令，即解不等式
（1）当时，可得，则不等式的解为
的单调区间为：
（2）当时，
① 时，即，解得或
的单调区间为：
② ，代入到恒成立 为增函数
③ ，解得：或
的单调区间为：
2.已知函数，讨论的单调性.
【解析】的定义域为，.
（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.
（ii）若，令得，或.
当时，；
当时，.所以在单调递减，在单调递增.
3.已知函数，讨论的单调性.
【解析】： 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
4.已知，讨论的单调性.
【解析】：的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.
5.设函数，．求函数的单调增区间；
【解析】：. 因为，
所以（），
①当时，由，解得；
②当时，由，解得；
③当时，由，解得；
④当时，由，解得；
⑤当时，由，解得.
综上所述，当时，的增区间为；
当时，的增区间为；时，的增区间为.
6.已知函数．讨论的单调性.
【解析】：
（i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少.
7.已知函数f(x)＝·ex(k∈R)．求函数f(x)的单调区间；
【解析】：函数f(x)的定义域为{x|x≠k}，f′(x)＝.①当k＞0时，由＞k，可得－＜k＜.由f′(x)＜0，得x＜－或x＞；由f′(x)＞0，得－＜x＜k或k＜x＜.所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)，(，＋∞)，单调递增区间为(－，k)，(k，)．②当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．当k＝－2时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)，(－2，＋∞)．当－2＜k＜0时，2k＋k2＜0，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，k)，(k，＋∞)．所以当－2≤k≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，k)，(k，＋∞)．③当k＜－2时，－＞k.由f′(x)＜0，得x＜k或k＜x＜－或x＞，由f′(x)＞0，得－＜x＜，所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，k)，(k，－)，(，＋∞)，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．

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