资源简介

2.2.3一元二次不等式的解法（含参拔高版）
常考题型目录
题型6 含参一元二次不等式已解集问题 5
题型7含参分式不等式已知解集问题 5
题型8含参绝对值不等式已知解集问题 6
题型9 一元二次方程根的分布 6
题型10 分式不等式含参取值范围问题 7
题型11 整数解问题 7
题型12 恒成立问题 8
题型13 有解问题 9
题型14 与充分，必要条件结合的问题 10
题型15 高次不等式 10
知识梳理：
知识点一　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二　一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点四 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决
注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。
注：　三个“二次”之间的关系
（1）.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
知识点五 解含参数的一元二次不等式的步骤
知识点六 分式不等式的解法
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式
(1) . (2).
(3). (4).
【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
知识点七 绝对值不等式
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x||x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
注意：
1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.
2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
题型分类
题型6 含参一元二次不等式已解集问题
【例题6-1】如果关于x的不等式x2A．－81 B．81 C．－64 D．64
【变式6-1】1．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1A．5 B．－5 C．－25 D．10
【变式6-1】2．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
【变式6-1】3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2【变式6-1】4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
【变式6-1】5．设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型7含参分式不等式已知解集问题
【例题7】若集合，则实数___________.
【变式7-1】1．关于x的不等式的解集是，则的值为____.
【变式7-1】2．若不等式的解集是{x|-1≤x<5}，则a的值为____.
【变式7-1】3．解关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是__________．
【变式7-1】4．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【变式7-1】5．关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是___________.
题型8含参绝对值不等式已知解集问题
【例题8】已知不等式的解集为，则的值是
题型9 一元二次方程根的分布
【例题9-1】已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围．
【变式9-1】1.若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【变式9-1】2.关于x的一元二次方程2ax2﹣2x﹣3a﹣2＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是_________．
【变式9-1】3．关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围
【变式9-1】5.若关于的方程的两根均小于，求实数的取值范围．
【变式9-1】6．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
题型10 分式不等式含参取值范围问题
【例题10】设集合（常数），，若，求实数的取值范围.
【变式10-1】2.已知关于x的不等式的解集为A．
(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围．
【变式10-1】3.已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
题型11 整数解问题
【例题11-1】如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．
【变式11-1】1.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．
【变式11-1】2．（2022·全国·高一单元测试）设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（ ）．
A． B．
C． D．
【变式11-1】3．（2021·天津市第四十七中学高一阶段练习）设关于的不等式，（），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为___________.
【变式11-1】4．（2021·全国·高一期中）的解集中有且仅有3个整数解，则实数的取值范围__________.
【例题11-2】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
【变式12-1】1．（2022·全国·高一专题练习）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【变式12-1】2．（2021·江苏·高一专题练习）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式12-3】1．（2022·全国·高一课时练习）设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.
【变式12-3】2．（2020·全国·高一课时练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
题型12 恒成立问题
【例题12-1】若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2【变式12-1】1．（多选）不等式对任意的R恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】4．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是______.
【变式12-2】5.已知集合，其中．
(1)求集合A；
(2)若，求实数的取值范围．
【变式12-3】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型13 有解问题
【例题13】已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
【变式13-1】1．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】2．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式13-1】3．（2021·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式13-1】4．（2022·全国·高一课时练习）若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．
题型14 与充分，必要条件结合的问题
【例题14-1】已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为______
【变式14-1】已知命题：“，使等式成立”是真命题，
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．
题型15 高次不等式
【例题15】不等式的解集为___________.
【变式15-1】1.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.
【变式15-1】2．解不等式（2x+1）（3x+2）2（4x+3）3（5x+3）≤0.
【变式15-1】3．解不等式.
【变式15-1】4．不等式的解集为___________.
【变式15-1】5．不等式的解集为________
【变式15-1】6．解不等式
【变式15-2】1．解下列分式不等式：
（1）;（2）; （3）; （4）．
【变式15-2】2．解下列不等式：（1）（2）
【变式15-2】3．不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【变式15-2】4．不等式的解集为_________.
【变式15-2】5．不等式的解集为________．
【变式15-2】6．关于的不等式的解集为________.
【变式15-2】7．不等式的解集是________．
【变式15-2】8．不等式的解集为________．
【变式15-2】9．已知集合，则__________．2.2.3一元二次不等式的解法（含参拔高版）
常考题型目录
题型6 含参一元二次不等式已解集问题 5
题型7含参分式不等式已知解集问题 7
题型8含参绝对值不等式已知解集问题 9
题型9 一元二次方程根的分布 9
题型10 分式不等式含参取值范围问题 12
题型11 整数解问题 14
题型12 恒成立问题 19
题型13 有解问题 22
题型14 与充分，必要条件结合的问题 24
题型15 高次不等式 25
知识梳理：
知识点一　一元二次不等式的概念
定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数
知识点二　一元二次函数的零点
一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．
知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点四 一元二次不等式的解法
(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．
(2)求出相应的一元二次方程的根．
(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
方程的根→函数草图→观察得解，对于的情况可以化为的情况解决
注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为0时，按照一次不等式来解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意判别式韦达定理的应用。
注：　三个“二次”之间的关系
（1）.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式．
知识点五 解含参数的一元二次不等式的步骤
知识点六 分式不等式的解法
解分式不等式的实质是将分式不等式转化为整式不等式。设A、B均为含x的多项式
(1) . (2).
(3). (4).
【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母。
知识点七 绝对值不等式
1.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值的不等式|x|a的解集
不等式 a>0 a＝0 a<0
|x||x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞) R
(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法
①|ax＋b|≤c －c≤ax＋b≤c；
②|ax＋b|≥c ax＋b≥c或ax＋b≤－c.
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
2.含有绝对值的不等式的性质
(1)如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；
(2)|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|；
(3)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.
注意：
1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.
2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决.
3.可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件.
题型分类
题型6 含参一元二次不等式已解集问题
【例题6-1】如果关于x的不等式x2A．－81 B．81 C．－64 D．64
【答案】　B
【解析】　不等式x2【变式6-1】1．若不等式5x2－bx＋c<0的解集为{x|－1A．5 B．－5 C．－25 D．10
【答案】　B
【解析】　由题意知－1,3为方程5x2－bx＋c＝0的两根，∴－1＋3＝，－3＝，
∴b＝10，c＝－15，∴b＋c＝－5.故选B.解得a＝－6，c＝－1.
【变式6-1】2．关于x的不等式(mx－1)(x－2)>0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是________．
【答案】　{m|m<0}
【解析】　∵不等式(mx－1)(x－2)>0的解集为，∴方程(mx－1)(x－2)＝0的两个实数根为和2，且解得m<0，∴m的取值范围是m<0.
【变式6-1】3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，如果a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为(　　)
A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3}
C．{x|－2【答案】　C
【解析】　由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，
∴不等式ax2＋bx＋c>0可化为ax2－ax－6a>0，又a<0，∴x2－x－6<0，∴(x－3)(x＋2)<0，
∴－2【变式6-1】4．若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－1bx的解集为________．
【答案】　{x|x<0}
【解析】　由题意知，－1,2为ax2＋bx＋c＝0的两根，∴且a<0，∴不等式＋c>bx可化为－2a>－ax，∵a<0，即－2<－x，即<0，∴x<0.
【变式6-1】5．设关于x的一元二次不等式与的解集分别为与，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据条件求出和的解集，进而可得的解集.
【详解】的解集为，则的解集为R.
的解集为，则的解集为，
转化为所以不等式的解集为.故选：B.
题型7含参分式不等式已知解集问题
【例题7】若集合，则实数___________.
【答案】4根据题意，得到的两根为和，从而可求出结果.
【详解】因为关于的不等式的解集为，
所以不等式的解集为
即方程的两根为和，即.故【答案】为：.
【变式7-1】1．关于x的不等式的解集是，则的值为____.
【答案】3
【分析】先化简不等式得到，且，再利用不等式的解集为，得，解得.
【详解】由题知，，整理得，所以，且，
因为不等式，且，的解集为，
所以，.故【答案】为：.
【变式7-1】2．若不等式的解集是{x|-1≤x<5}，则a的值为____.
【答案】5
【分析】将分式不等式转化为整式不等式，然后利用不等式的解集求得参数的结果.
【详解】原不等式等价于(x+1)(x-a)≤0且.因为不等式的解集为{x|-1≤x<5}，
所以( x-5) (x+1)≤0，且x≠5，故a=5.故【答案】为：5.
【变式7-1】3．解关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是__________．
【答案】
【分析】结合已知条件求出与之间的关系以及的符号，然后将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解.
【详解】由关于x的不等式的解集是可知，，
对求解得，，从而，
由，故，解得或，
从而关于x的不等式的解集是.
故【答案】为：.
【变式7-1】4．若不等式的解集为，则不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】根据题意，可知，是方程的两根，由韦达定理可求出，则可化为，最后根据分式不等式的解法求出不等式的解集.
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，是方程的两根，∴ 由韦达定理得：，解得：，∴ 可化为，则，所以，
解得：，∴不等式的解集为，故【答案】为：.
【变式7-1】5．关于的不等式，若此不等式的解集为，则的取值范围是___________.
【答案】m<0
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法可得，即可得解.
【详解】由，得，故不等式的解集为，所以，所以，所以m的取值范围是.故【答案】为：.
题型8含参绝对值不等式已知解集问题
【例题8】已知不等式的解集为，则的值是
【答案】13
题型9 一元二次方程根的分布
【例题9-1】已知方程2(k+1)+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围．
【解析】要原方程有两个负实根，必须
∴实数k的取值范围是{k|-2【变式9-1】1.若关于x的方程的一根大于－1，另一根小于－1，则实数k的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，根据二次函数的图象与性质，定点，即可求解.
【详解】由题意，关于的方程的一根大于-1，另一根小于-1，
设，根据二次函数的性质，可得，解得，
所以实数的取值范围为.故【答案】为：.
【变式9-1】2.关于x的一元二次方程2ax2﹣2x﹣3a﹣2＝0的一根大于1，另一根小于1，则实数a的取值范围是_________．
【答案】或
【分析】由题意，函数2ax2﹣2x﹣3a﹣2与轴的交点一个在的左侧，一个在右侧，若，则；若，则，求解即可
【详解】设2ax2﹣2x﹣3a﹣2，
由题意可得：函数与轴的交点一个在的左侧，一个在的右侧，
若，保证即可则，又，
若，则即可则，又，
综上，或故【答案】为：或
【变式9-1】3．关于x的方程恰有一根属于，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把方程的根转化为二次函数的零点问题，从恰有一个零点属于，分为三种情况，即可得解.
【详解】方程对应的二次函数设为：
因为方程恰有一根属于，则需要满足：
①，，解得：；
②函数刚好经过点或者，另一个零点属于，
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，不合题意，舍去
把点代入，解得：，
此时方程为，两根为，，而，故符合题意；
③函数与x轴只有一个交点，横坐标属于，
，解得，
当时，方程的根为，不合题意；
若，方程的根为，符合题意
综上：实数m的取值范围为故选：B
【变式9-1】4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0
(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围
(2)若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围
【解析】(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得
∴
(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组
　　
∴ (这里0<－m<1是因为对称轴x=－m应在区间(0，1)内通过)
【变式9-1】5.若关于的方程的两根均小于，求实数的取值范围．
【答案】见【解析】
【解析】，．
【变式9-1】6．方程的两根均大于1，则实数的取值范围是_______
【答案】
【解析】根据的图像可得两个根都大于时关于的不等式组，解出的范围即可.
【详解】解：的两个根都大于，解得
可求得实数的取值范围为故【答案】为：(方法同上)
题型10 分式不等式含参取值范围问题
【例题10】设集合（常数），，若，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】，将不等式化简得到
，将不等式化简得到
由条件得到集合不为空集，
当时，不等式等价于，符合题意；
当 得到 当时，
解得 综上的范围是：.
【变式10-1】1.设全集为，已知，．
(1)若，求(；
(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)解分式不等式可得集合A，并求出，由得集合B，再利用交集的定义直接计算作答.
(2)由可得，再借助集合的包含关系列式计算作答.
(1)解不等式：，即，解得：或，则或，
因全集为，于是得，当时，，所以.
(2)由(1)知，，因，因此有：，于是得，解得，
所以实数a的取值范围是：.
【变式10-1】2.已知关于x的不等式的解集为A．
(1)若，求实数a的取值范围；(2)若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)因为，所以x=2使得成立，即，即，解得：或，故实数a的取值范围为
(2)因为，所以x=3使得成立或，
当，即，解得：，当，求得：
故求实数a的取值范围为
【变式10-1】3.已知全集，集合，.
(1)当时，求；
(2)命题p：，命题q：，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)∵时，，，
全集，∴或．∴．
(2)∵命题：，命题：，是的必要条件，∴．
∵，∴，∵，，
∴，解得或，故实数的取值范围
题型11 整数解问题
【例题11-1】如果关于x的不等式组的整数解仅有1，2，试求整数a，b的所有可能的值．
【答案】a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5.
【分析】求得不等式组的解，根据整数解确定不等关系得范围，从而得可能的整数值．
【详解】原不等式组的解集可利用a，b表示为.根据不等式组的整数解仅有1，2，可确定a，b的范围为0＜≤1，2≤＜3，即0＜a≤3，4≤b＜6.因为a，b均为整数．所以a的值可能为1或2或3，b的值可能为4或5【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，掌握解不等式组是解题基础．
【变式11-1】1.关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是______．
【答案】【分析】根据二次函数的对称性可得出不等式的解集中的整数，可得出关于实数a的不等式组，即可求解.
【详解】因为的对称轴为，开口向上，所以若关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则分别为3,4,5，则，解得.所以a的取值范围是.故【答案】为：.
【变式11-1】2．（2022·全国·高一单元测试）设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围，
【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，
则，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
【变式11-1】3．（2021·天津市第四十七中学高一阶段练习）设关于的不等式，（），只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为___________.
【答案】
【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出【答案】.
【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.设，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以，
又，所以或，若，则不等式为，解得，
因为为整数，所以；若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；所以全部不等式的整数解的和为.
故【答案】为：
【变式11-1】4．（2021·全国·高一期中）的解集中有且仅有3个整数解，则实数的取值范围__________.
【答案】
【分析】由不等式的解集中只有三个整数得，的解为和，在时，不合题意，只有有，然后由三个整数得出的范围，从而得的范围．
【详解】时，不等式为，，不合题意；因此，所以，否则有无数个整数解． ，由得或，则，否则不等式的解集中无整数解．
所以的解为，解集中有三个整数，则，解得，不等式解集为有三个整数：．故【答案】为：．
【例题11-2】若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．
【答案】(5,7)
【解析】由|3x－b|＜4得－4＜3x－b＜4，即＜x＜，∵不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则 ∴5＜b＜7.
【变式12-1】1．（2022·全国·高一专题练习）不等式|x－1|＋|x－2|≤3的最小整数解是（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】首先对的范围进行讨论，去掉绝对值符号，转化三个不等式组，求得结果.
【详解】原不等式可化为或或，解得0≤x≤3，所以最小整数解是0，故选：A.
【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有分类讨论去绝对值符号解绝对值不等式，属于简单题目.
【变式12-1】2．（2021·江苏·高一专题练习）若关于的不等式恰好有个整数解，则实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意可得，0＜k＜1，结合函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由 x，即可得k.
【详解】解：依题意可得，0＜k＜1，函数 y＝k|x|与 y＝﹣|x﹣2|的图象如下，
由0＜k＜1，可得xA＞1，∴关于x的不等式k|x|﹣|x﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5，由 xB，故k；
故选：C
【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．
【变式12-3】1．（2022·全国·高一课时练习）设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是___________，全部不等式的整数解的和为___________.
【答案】 -2或-1##-1或-2 -10
【分析】先确定，再利用0为其中的一个解，，可求出的值，从而可求出原不等式的解，由此确定不等式的整数解，从而可得出【答案】.
【详解】若，则原不等式为，即，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故.
设，其图象为抛物线，
对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解，所以，即，所以，
又，所以或，若，则不等式为，解得，因为为整数，所以；
若，则不等式为，解得，因为为整数，所以.所以全部不等式的整数解的和为.故【答案】为：-2或-1；-10.
【变式12-3】2．（2020·全国·高一课时练习）对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝ (其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1.
（1）求a，b的值；
（2）若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围．
【答案】（1）；（2）－2≤p＜－.
【分析】（1）根据新定义运算列方程组可解得；
（2）利用新定义运算把新不等式组转化为一元一次不等式组，然后解之，再利用不等式组的解恰好有3个整数可得的不等关系，从而得出结论．
【详解】（1）由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得即
解得
（2）由（1），得T(x，y)＝，则不等式组可化为
解得－≤m＜.因为不等式组恰好有3个整数解，所以2＜≤3，解得－2≤p＜－.
【点睛】本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义，利用新定义把问题转化为我们熟知的一元一次不等式组求解．
题型12 恒成立问题
【例题12-1】若关于x的二次不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．{m|m≤－2或m≥2} B．{m|－2≤m≤2} C．{m|m<－2或m>2} D．{m|－2【答案】　B
【解析】　∵x2＋mx＋1≥0的解集为R，∴Δ＝m2－4≤0，∴－2≤m≤2，故选B.
【变式12-1】1．（多选）不等式对任意的R恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】化为标准的一元二次不等式，由其恒成立得，再结合不等式的性质变形后判断各选项．
【详解】可整理为，
则，故A正确．当，时，满足，即原不等式成立．B错误；由，得，所以．C正确；．D正确．故选：ACD．
【变式12-1】2.不等式的解集为，则的取值范围是_________.
【答案】[0,1)##0≤k＜1
【解析】分k＝0和k≠0两种情况进行讨论.k≠0时，可看为函数恒成立，结合二次函数的图像性质即可求解.
【详解】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意；
②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得；
综上可得，实数的取值范围是.故【答案】为：.
【例题12-2】(1)若对 x∈R不等式x2＋mx>4x＋m－4恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若x2>4x＋m－4在R上恒成立，求m的取值范围．
【解析】：(1)原不等式可化为x2＋(m－4)x＋4－m>0，∴Δ＝(m－4)2－4(4－m)＝m2－4m<0，
∴0(2)原不等式可化为x2－4x＋4＝(x－2)2>m恒成立，∴m<0，∴m的取值范围为{m|m<0}．
注意：一元二次不等式恒成立的情况：ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立
ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立
【变式12-2】1.已知不等式x2－2x＋5≥a2－3a对 x∈R恒成立，则a的取值范围为________．
【答案】　{a|－1≤a≤4}
【解析】　x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥a2－3a恒成立，∴a2－3a≤4，即a2－3a－4≤0，
∴(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4.
【变式12-2】2．在R上定义运算：＝ad－bc.若不等式≥1对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为________．
【答案】　
【解析】　原不等式等价于x(x－1)－(a－2)(a＋1)≥1，即x2－x－1≥(a＋1)(a－2)对任意x恒成立，因为x2－x－1＝2－≥－，所以－≥a2－a－2，解得－≤a≤.
【变式12-2】3．已知不等式ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立，解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.
【解析】∵ax2＋2ax＋1≥0对任意x∈R恒成立．
当a＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a≠0时，则解得0综上，0≤a≤1.由x2－x－a2＋a<0，得(x－a)[x－(1－a)]<0.∵0≤a≤1，
∴①当1－a>a，即0≤a<时，a综上，当0≤a<时，原不等式的解集为{x|a【变式12-2】4．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是______.
【答案】【分析】等价转换为的图象在轴上方，计算，可得结果．
【详解】由题意知，问题等价转换为的图象在轴上方，
所以，解得，∴实数的取值范围是.故【答案】为：．
【变式12-2】5.已知集合，其中．
(1)求集合A；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或(2)
【解析】(1)解：，即，解得或，所以或；
(2)解：，即，
当，即时，不等式无解，则，故，符合题意；当，即时，此时，则，
此时，与题意矛盾，故舍去；当，即时，，
因为，所以或，解得或，综上所述，.
【变式12-3】已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则不等式的解集是的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解.
【详解】解：由得，因为使不等式成立的任意一个，都满足不等式则不等式的解集是的子集，又由得，当，，符合；
当，，则，，当，，符合，故实数的取值范围为.故选：C.
题型13 有解问题
【例题13】已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为(　　)
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
【答案】　A
【解析】　由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，
∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4，故选A.
【变式13-1】1．（2022·四川·遂宁中学高一期末（理））若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】设，由题意可得，从而可求出实数a的取值范围
【详解】设，开口向上，对称轴为直线，
所以要使不等式在区间(2，5)内有解，只要即可，
即，得，所以实数a的取值范围为，故选：D
【变式13-1】2．（2022·全国·高一课时练习）已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分离参数，将问题转换为在上有解，设函数，，求出函数的最大值，即可求得【答案】.
【详解】由题意得，，，即 ，
故问题转化为在上有解，设，则，，对于 ，当且仅当时取等号，则，
故 ，故选：A
【变式13-1】3．（2021·全国·高一专题练习）不等式组有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根据给定条件化简不等式组，再列式即可求解作答.
【详解】依题意，，而不等式组有解，则不等式成立，因此，，即，解得，所以实数a的取值范围是：.故选：A
【变式13-1】4．（2022·全国·高一课时练习）若，且关于x的不等式在R上有解，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据二次不等式的解法即得；或参变分离，求函数的最值即得.
【详解】方法一（判别式法）关于x的不等式可变形为,由题可得，解得,
又，所以实数a的取值范围为；
方法二（分离变量法）因为，所以关于x的不等式可变形为，因为，所以，解得，
又，所以实数a的取值范围为．
题型14 与充分，必要条件结合的问题
【例题14-1】已知：，：，若是的充分条件，则实数的取值范围为______
【答案】
【分析】解出一元二次不等式，利用是的充分条件，得到两个集合的包含关系，从而利用端点值的大小，求出m的取值范围
【详解】，解得：∵∴
∴的解集为：
∵是的充分条件∴∴
解得：故【答案】为：
【变式14-1】已知命题：“，使等式成立”是真命题，
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的必要条件，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)或.
【解析】(1)由可得，因为，所以时，，当时，，所以，
(2)若是的必要条件，则，方程的两根分别为，，①当即时，，由可得，解得：，
②当即时，，由可得，解得：，
③当即时，，此时不符合题意，综上可得：或.
题型15 高次不等式
【例题15】不等式的解集为___________.
【答案】
【分析】结合高次不等式“穿针引线法”即可求解.
【详解】不等式，由数轴标根法画出图线，可得不等式的解集为.故【答案】为：.
【变式15-1】1.解不等式（x+2）（x-1）9（x+1）12（x-3）≥0.
【答案】.【分析】利用穿针引线法解得不等式.
【详解】根据不等式标根
所以原不等式的解为.故【答案】为：.
【变式15-1】2．解不等式（2x+1）（3x+2）2（4x+3）3（5x+3）≤0.
【答案】.【分析】利用穿针引线法解得不等式.
【详解】根据不等式标根
所以原不等式的解为.
【变式15-1】3．解不等式.
【答案】【分析】将原不等式变形为，利用穿针引线法可得解集.【详解】将原不等式变形为，如下图所示：
所以原不等式的解为.
【变式15-1】4．不等式的解集为___________.
【答案】【分析】结合高次不等式“穿针引线法”即可求解.
【详解】不等式，由数轴标根法画出图线，可得不等式的解集为.
故【答案】为：.
【变式15-1】5．不等式的解集为________
【答案】【解析】根据题意作出数轴，将各个因式等于零的值标记在数轴上，然后采用“穿针引线法”求解出不等式的解集.
【详解】如下图所示：
根据图象可知：当或或时，，
所以不等式的解集为：，故【答案】为：.
【点睛】本题考查高次不等式的解法，难度一般.利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.
【变式15-1】6．解不等式
【答案】
【详解】原不等式
所以，即，
所以或，解得或，
从而原不等式解为
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【变式15-2】1．解下列分式不等式：
（1）;（2）; （3）; （4）．
【详解】解：（1），所以，所以，即，解得，故原不等式的解集为；
（2），所以等价于，解得或或，故原不等式的解集为
（3），所以，等价于，解得或，故原不等式的解集为；
（4），所以，即，即,因为恒成立，所以原不等式等价于，即，解得或，故原不等式的解集为
【点睛】分式不等式的解法：（1）进行同解变形：；
分式不等式转化为整式不等式来解．；
（2）有些分式不等式可转化为高次不等式运用“数轴标根法”即穿根法求解，但必须注意分母不为零．
【变式15-2】2．解下列不等式：（1）（2）
【答案】（1）或；（2）或..
【解析】（1）将不等式两边同时平方，注意偶次根号下被开方数大于等于零，由此求解出不等式解集；
（2）先将分式不等式化为整式不等式，注意分母不为零，然后采用数轴穿根法求解出不等式的解集.
【详解】（1）因为，所以，所以或，
所以不等式的解集为：或；
（2）因为，所以，所以，
所以，如下图由图可知：不等式的解集为或.
【点睛】易错点睛：解含根号的不等式以及分式不等式的注意事项：
（1）解分式不等式时，注意将其先转化为整式不等式，然后根据整式不等式的解法完成求解，并注意分母不为零；
（2）解含根号的不等式时，注意偶次根号下被开方数大于等于零，当绝对值和根号同时出现在不等式中，可以考虑对不等式两边同时平方.
【变式15-2】3．不等式的解集为（ ）
A．或 B．或
C．或或 D．或或
【答案】D【详解】解：，即，
即，当时不等式成立，又恒成立，
不等式，利用穿针引线画出的简图如图所示：
解得此不等式的解集为或故原不等式的解集为：或或.故选：D.
【变式15-2】4．不等式的解集为_________.
【答案】.
【解析】把分式不等式除法形式转化成乘积的形式，再因式分解，求出各因式对应方程的根，然后利用“数轴标根法”求出不等式的解集.
【详解】原不等式等价转化为不等式，且、、，即且、、，用“数轴标根法”如图，所以原不等式的解集是.
【点睛】本题考查分式不等式的解法，考查高次不等式“数轴标根法”的应用，属于基础题.
【变式15-2】5．不等式的解集为________．
【答案】
【分析】由分式不等式的解法，有求解即可.
【详解】由题意，有，解得或或，
∴解集为.故【答案】为：.
【变式15-2】6．关于的不等式的解集为________.
【答案】
【分析】将分式转化为整式不等式，根据高次不等式“奇穿偶不穿”的求解原则可求出该不等式的解集.
【详解】原不等式等价于，如下图所示：
由高次不等式“奇穿偶不穿”的原则可知，原不等式的解集为.
故【答案】为：.
【点睛】本题考查分式不等式的求解，涉及高次不等式的解法，解题时要遵循“奇穿偶不穿”的原则来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
【变式15-2】7．不等式的解集是________．
【答案】【解析】通过“移项，通分”等步骤，将不等式等价转化为，根据高次不等式解法求解即可.注意分母不为0.
【详解】
∵，∴，即，
即，等价于，在数轴上标跟如下图：
解得：或.即不等式的解集为，故【答案】为.
【点睛】本题主要考查分式不等式和高次不等式的求解，属于中档题.
【变式15-2】8．不等式的解集为________．
【答案】
【解析】利用数轴穿根法解分式不等式，不等式首先进行移项再通分变形为分式不等式的标准形式，然后转化为整式不等式进行求解，两不等式的解集取交集即为所求.
【详解】，根据数轴穿根法可解得或，
，解得或或，
所以，解得.
故【答案】为：
【变式15-2】9．已知集合，则__________．
【答案】【分析】先求出不等式的解集即为集合，根据数轴标根法求出的解集，即求出集合，由交集的运算求出.
【详解】由得， ，解得：，即.
用数轴标根法解得 或.
。所以故【答案】为：
【点睛】本题考查了交集及其运算，以及无理不等式、高次不等式的解法，数轴标根法是解

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