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23届高三数学高考知识点扫描专题卷（四）——数列
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知识点1. 等差数列的定义与性质：定义：（为常数），，
等差数列前项和：
2. 等比数列的定义与性质：定义：（为常数，），.推论公式：
等比数列前n项和公式：
3.求数列通项公式的常用方法
定义法求通项公式(已知数列为等差数列或等比数列）
已知或，求。
（3）求差（商）法 例：数列，，求
(4)累乘法 形如的递推式，由，则两边分别相乘得，
（5）累加法 形如 的递推式。
由，求，用迭加法时，两边相加得∴
（6）构造法 形如（为常数，）的递推式。
可转化为等比数列，设
令，∴，∴是首项为为公比的等比数列 ∴，∴
4. 求数列前n项和的常用方法
（1）定义法：如果已知数列为等差或者等比数列，这用对应的公式求和
等差数列前项和：
等比数列前n项和公式：
（2）错位相减法
例：
(3) 裂项法
把数列的通项公式拆成两项差的形式，相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和。
常见形式：①若是公差为的等差数列，则
（4）分组求和法
例题演练
1．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，．
（1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和．
2．已知各项均为正数的等差数列和等比数列满足，且，
（1）求数列，的通项公式． （2）若，求．
3．已知数列满足，．设．
（1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的前项和为．
4．已知数列为正项等比数列，，数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式； （2）若的前项和，求的取值范围．
5．已知正项数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．
6．已知数列中，，．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
7．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列，数列满足：．
（1）求数列，的通项公式：（2）设，求证：．
参考答案：
1．已知正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）正项等比数列的前项和为，且满足是和的等差中项，
设公比为，则，整理得，
由于，即，即，因为，所以解得，
所以．
（2）由于，所以
2．已知各项均为正数的等差数列和等比数列满足，且，
（1）求数列，的通项公式．
（2）若，求．
【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理）
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）因为为等差数列，且，所以可设公差为d，
则，所以，．
因为，所以，解得或．
又等差数列各项均为正数，所以不合题意，舍去，所以．
因为为等比数列，且，所以可设公比为，则．
因为，所以，解得，满足各项均为正数，所以．
（2）由（1）知，所以．
所以．
3．已知数列满足，．设．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和为．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由，可得，即
则数列是以为首项，为公比的等比数列；
（2）由（1）可得，，，
，
则有，
两式作差得
．
4．已知数列为正项等比数列，，数列满足，且．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若的前项和，求的取值范围．
【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）令，则，所以，
令，则，所以，因为，所以，
设数列的公比为，则，所以．
因为，①
当时，，②
由①-②得，
所以，当时也成立，所以，
（2）由（1）可知，
所以，
因为随着的增大而增大，当时，，当时，，
所以的取值范围是．
5．已知正项数列的前项和为，且满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，
又有，，两式相减得，
因为，所以，
又，，解得，满足，
因此数列是等差数列，首项为，公差为，
所以；
（2）
，所以
．
6．已知数列中，，．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文）
【答案】（1）证明见解析，；（2）．
【解析】（1）由得，即，
又，所以是以是为首项，为公比的等比数列．
所以，即．
（2），
所以，
．
两式相减得，所以，
所以． 令，易知单调递增，
若为偶数，则，所以；
若为奇数，则，所以，所以．
综上所述．
7．已知公差不为0的等差数列的首项，前项和为，且，，成等比数列，数列满足：．
（1）求数列，的通项公式：
（2）设，求证：．
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】
（1）由，，成等比数列，且，求得，得到，再由，求得.
（2）由，结合消项法，即可求解.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，其中，
因为，，成等比数列，所以，
可得，所以，
又由，可得，解得或（舍去，
所以，则，
又因为，则，所以.
（2）由题意，可得，
所以，
故．

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