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椭圆解答题专题一 斜率（和）为定值
【典例展示】
已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
【探究总结】
过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
【变式练习】
已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.
设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点到两焦点的距离之和为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于点（异于点），求证直线的斜率为定值.
【典例展示】
椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：．
【探究总结】
设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则
【典例展示】
已知椭圆：的焦点为，，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，过点作直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【探究总结】
已知椭圆（ a＞b＞0），任意不经过短轴端点的直线与椭圆交于A,B两点，点P（0，b）。若该直线过定点Q，则直线PA与直线PB的斜率之和为s；反之亦成立。
【变式练习】
已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
(I)求动点P的轨迹E的方程
(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.椭圆解答题专题一 斜率（和）为定值
【典例展示】
已知椭圆经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．
【答案】（1）（2）见解析
【详解】
(1)由题设，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故椭圆C的方程为＝1.
(2)设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k，
记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.
设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝1，
因此直线PQ的斜率为定值．
【探究总结】
过椭圆 (a＞0, b＞0)上任一点任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且（常数）.
【变式练习】
已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）设椭圆的焦距为2c，根据题中条件，得出椭圆的离心率，再由点代入椭圆方程，根据，即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，根据题意得，设，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，结合斜率计算公式，直接计算，即可得出结果.
【详解】
（1）设椭圆的焦距为2c，由双曲线方程易得双曲线的离心率为，
则椭圆的离心率，
将代入，得 ，
又，解得，
所以椭圆C的方程；
（2）证明：设直线的方程为，
又，，三点不重合，∴，
设，，
则由消去 ，整理得 ，
所以，，，则 ，
设直线，的斜率分别为，，
则
所以，即直线，的斜率之和为定值.
设椭圆的左右焦点分别为，椭圆上点到两焦点的距离之和为，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于点（异于点），求证直线的斜率为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）根据椭圆定义得，再根据离心率即可得，，进而得椭圆方程；
（2）由已知得，直线不与轴垂直，进而设，故，均与椭圆联立方程得再结合，与斜率公式计算即可得答案.
【详解】
解：（1）设，由条件知，，
所以，所以
故椭圆的方程为.
（2）由题得的坐标为，直线不与轴垂直，
设直线，则直线，
设
将直线方程代入椭圆整理得：
，
同理可得，
又，，
所以直线的斜率为定值.
【典例展示】
椭圆：过点，离心率为，其左、右焦点分别为，，且过焦点的直线交椭圆于，．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点的坐标为，设直线与直线的斜率分别为，，试证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）带入点坐标，建立的等量关系，联立由离心率确定的的等量关系，解出的值，求出椭圆的方程；（2）证明，即证明，法一：设直线的斜截式，联立椭圆，代入韦达定理证明；法二：设直线的横截式，联立椭圆，代入韦达定理证明.
【详解】
（1）∵椭圆：过点，
∴．①
又∵椭圆离心率为，∴，∴．②
联立①②得，解得，∴椭圆的方程为．
（2）方法一：当直线斜率不存在时，则，∴；
当直线斜率存在时，设直线：，与椭圆交点，．联立，
消去并整理得．由于，
∴，，
∴
，
∵，∴．
综上所述，．
方法二：当直线斜率为0时，∵，则；
当直线斜率不为0时，设直线：设与椭圆交点，，
联立，消去并整理得．由于，
∴，，
∴．
∴，综上所述，．
【探究总结】
设A、B是椭圆（ a＞b＞0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且、的横坐标，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则；（2）若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则
【典例展示】
已知椭圆：的焦点为，，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的上顶点为，过点作直线交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值为1，理由见解析.
【分析】
（1）由题意，得出关于的方程组，求得的值，即可得到椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，得到，结合斜率公式进行计算，即可求得是为定值.
【详解】
（1）椭圆：的焦点为，，且过点，
可得，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可得点，
设，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
所以，
则
，
所以是为定值.
【探究总结】
已知椭圆（ a＞b＞0），任意不经过短轴端点的直线与椭圆交于A,B两点，点P（0，b）。若该直线过定点Q，则直线PA与直线PB的斜率之和为s；反之亦成立。
【变式练习】
已知点Q是圆上的动点，点，若线段QN的垂直平分线MQ于点P.
(I)求动点P的轨迹E的方程
(II)若A是轨迹E的左顶点，过点D（-3，8）的直线l与轨迹E交于B，C两点，求证：直线AB、AC的斜率之和为定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见证明
【分析】
（Ⅰ）线段的垂直平分线交于点P，所以，则为定值，所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，结合题中数据求出椭圆方程即可；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程得到韦达定理，写出化简可得定值.
【详解】
解：（Ⅰ）由题可知，线段的垂直平分线交于点P，
所以，则，
所以P的轨迹是以为焦点的椭圆，
设该椭圆方程为，
则，所以，
可得动点P的轨迹E的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，过点D的直线斜率存在且不为0，
故可设l的方程为，，
由得，
而
由于直线过点，所以，
所以（即为定值）

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