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第一章 集合与常用逻辑用语
本章知识结构图
第一节 集 合
知识点精讲
一、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．
空集：不含有任何元素的集合，记作．
2．集合与集合之间的关系
（1）包含关系．
子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然．规定：．
（2）相等关系．
对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．
（3）真子集关系．
对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．
表
交集
并集
补集
1．交集
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
2．并集
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
3．补集
已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．
四、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，， ，，．
（2）并集的运算性质．
，， ，，．
（3）补集的运算性质．
，， ，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2．由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3．容斥原理
．
题型归纳及思路提示
题型1 集合的基本概念
思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1.1 设，集合，则（ ）
A． B． C． D．
变式1 已知集合，则中所含元素的个数为（ ）．
A． B． C． D．
变式2 (2017济南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
题型2 集合间的基本关系
思路提示
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
一、集合关系中的判断问题
例1.2 若
，则，，之间的关系为（ ）．
A． B． C． D．
变式1 设集合，，则
B． C． D．
已知集合间的关系，求参数的取值范围
例1.3 设.若，则实数组成的集合为（ ）.
A． B. C. D.
分析：解方程，建立的关系式求，从而确定集合.
评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.
（2）含参数的一元一次方程解的确定：
当时，方程有唯一实数解；
当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；
当且时，方程无解.
变式1 已知集合，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
例1.4 已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________________．
变式1 若将例1.4中的集合B改为，其他条件不变，则实数的取值范围是____________．
变式2 已知集合，集合，若，求实数的取值范围.
变式3 已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、集合关系中的子集个数问题
例1.5 已知集合，则集合的子集个数为 .
分析：本题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.
例1.6 已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式1 已知集合满足，求集合的个数.
题型3 集合的运算
思路分析
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
一、集合元素属性的理解
例1.7 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.
变式1（2017 山东）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则=（　　）
（1,2） B．（1,2] C．（﹣2,1） D．[﹣2,1）
变式2 已知集合，则集合 .
变式3 设全集，集合，那么（ ）
B． C． D．
二、数轴在集合运算中的应用
例1.8 设集合，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.
变式1已知全集，集合，那么集合（ ）.
A. B. C. D.
变式2 已知集合，则集合（ ）.
B． C． D．
变式3已知集合.若，则实数的取值范围是 .
三、韦恩图在集合运算中的应用
例1.9 设为全集，，是两个非空集合，定义与的差集，则（ ）.
A． B． C． D．
分析：本题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.
变式1 设全集，，则（ ）.
A． B． C． D．
例1.10 如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.
变式1 已知为集合的非空子集，且不相等，若，则（ ）
A． B． C． D．
四、以集合为载体的创新题
例1.11 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.
变式1 定义一种新的集合运算：．若集合，则按运算，等于(　　)
A． B．
C． D．
评注　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
最有效训练题1（限时45分钟）
1. 集合，则（ ）.
B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设全集.集合，，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
4．已知全集，集合，并且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设全集,
，那么的充要条件是（ ）
且 B．且 C．且 D．且
7．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为(　　)
A．77 B．49 C．45 D．30
8．若集合，则 ， ．
9．已知集合，集合，且，则 ， .
10. 已知集合满足条件：当时，总有（且）.已知，则集合中所有元素的积等于 .
11. 已知集合，且，则实数的取值范围是 .
12．已知集合满足，且.若，则的取值范围是 .
13.已知集合，，若，求实数的取值范围.
互逆
互为逆否
互逆
互否
互否
等价关系
关系
原命题：若p，则q
逆命题：若q，则p
否命题：若┐p,则┐q
逆否命题：若,则
集合
集合元素的特征
确定性、互异性、无序性
集合的分类
无限集
有限集
空集
集合间的基本关系
子集
真子集
相等
集合间的基本运算
交集A∩B
并集A∪B
Venn图、数轴
充要条件
充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件
简易逻辑
命题
全称命题与存在性命题
全称量词：任意；存在量词：存在
复合命题
且：p∧q
或：p∨q
非：┐p
一假则假，两真为真
一真便真，两假为假
补集
A
B
A
B
A
I
A B
U
图 1—5第一章 集合与常用逻辑用语
本章知识结构图
第一节 集 合
考纲解读
1.集合的含义与表示．了解集合的含义、元素与集合的关系；能用自然语言、图形语言和集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2.集合间的基本关系．理解集合之间包含与相等的含义．能识别给定集合的子集；在具体的情境中，了解全集与空集的含义．
3.集合的基本运算．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的含义，会求给定子集的补集；能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
命题趋势探究
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
预测2019年高考，将继续体现本章知识的工具性作用，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为：
（1）以选择题或填空题形式出现．北京、重庆等地也可能以集合为基础，综合其他知识在最后一题的位置出现．考查学生的综合推理能力．
（2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．
知识点精讲
一、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集
二、集合间的关系
1．元素与集合之间的关系
元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．
空集：不含有任何元素的集合，记作．
2．集合与集合之间的关系
（1）包含关系．
子集：如果对任意，则集合是集合的子集，记为或，显然．规定：．
（2）相等关系．
对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．
（3）真子集关系．
对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作或．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
三、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．
表
交集
并集
补集
1．交集
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
2．并集
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
3．补集
已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．
四、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，， ，，．
（2）并集的运算性质．
，， ，，．
（3）补集的运算性质．
，， ，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2．由个元素组成的集合的子集个数的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3．容斥原理
．
题型归纳及思路提示
题型1 集合的基本概念
思路提示：利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．
例1.1 设，集合，则（ ）
A． B． C． D．
解析：由题意知，又，故，得，则集合，可得，故选C。
变式1 已知集合，则中所含元素的个数为（ ）．
A． B． C． D．
解析：利用集合的概念及其表示求解，注意元素的特性。
因为所以即,B中所含元素的个数为10.故选D
变式2 (2017济南调研)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：(1)当a＝0时，a＋b＝1,2,6；
当a＝2时，a＋b＝3,4,8；
当a＝5时，a＋b＝6,7,11.
由集合中元素的互异性知P＋Q中有1,2,3,4,6,7,8,11共8个元素．
故选B
题型2 集合间的基本关系
思路提示
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
一、集合关系中的判断问题
例1.2 若
，则，，之间的关系为（ ）．
A． B． C． D．
解析：解法一：集合中元素，故集合，而集合中元素，故．
解法二：列举，．因此，故选C．
评注：解法一是数学中“求同比异”的思想，值得学习；解法二是列举法，易于入手，也是做选择题的常用方法．
变式1 设集合，，则
A． B． C． D．
B．解析 集合M中的元素，分子为奇数；集合N中的元素，分子为整数，则M N，故选B.
2、已知集合间的关系，求参数的取值范围
例1.3 设.若，则实数组成的集合为（ ）.
A． B. C. D.
分析：解方程，建立的关系式求，从而确定集合.
解析：因为，又.
①当时，则方程无解，则；
②当时，则，由，得，所以或，即或
故答案选C.
评注：（1）研究集合的子集问题时应首先想到空集，因为空集是任何集合的子集.
（2）含参数的一元一次方程解的确定：
当时，方程有唯一实数解；
当时，方程有无数多个解，可为为任意实数；
当且时，方程无解.
变式1 已知集合，则（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
解析：由，得，故或且，所以或.故选B.
例1.4 已知集合，，若，则实数a的取值范围是__________________．
解析：由，解得，
故，
又，如图所示，
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A7.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A7.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A7.TIF" \* MERGEFORMATINET
可得.
变式1 若将例1.4中的集合B改为，其他条件不变，则实数的取值范围是____________．
解析　A＝{x|1可得.
评注 端点值的判断通常是初学者的难题，我们可用假设法帮助判断，即假设参数取端点后，与已知吻合，假设成立；若与已知不吻合，则假设不成立。
变式2 已知集合，集合，若，求实数的取值范围.
解析 由，得，若则
（1）当B=，即时，解得
（2）当B时，如图1-9所示，由，得，得
综上所述，实数的取值范围是
评注：由，勿忘B=（空集是任何集合的子集）
变式3 已知集合，若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
解析 由，得，则，故选C.
三、集合关系中的子集个数问题
例1.5 已知集合，则集合的子集个数为 .
分析：本题应首先确定集合中元素的个数，再求其子集的个数.
解析：集合，共8个元素，则集合的子集的个数为.
例1.6 已知集合，满足条件的集合的个数为（ ）
A． B． C． D．
解析：由且，得集合是集合与集合的任一子集的并集，即求集合的子集的个数为，故选D.
变式1 已知集合满足，求集合的个数.
解析 由知，集合M是集合的任一非空子集与集合的并集，所以集合M的个数为28-1=255
评注求有限集的子集个数问题，有以下结论：
结论1 ：含有n个元素的集合的子集个数为,真子集个数为2n-1，非空子集个数为2n-1，非空真子集个数为2n-2 )
结论2设，则有，
①满足的集合A的个数是
②满足的集合A的个数是-1
③满足的集合A的个数是-1
④满足的集合A的个数是-2
题型3 集合的运算
思路分析
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
一、集合元素属性的理解
例1.7 已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
分析：在进行集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的属性，判断、是数集还是点集，是数集要化简集合，是点集要解方程组.在本题中，集合代表元素是因变量，故是函数的值域（数集）；集合的代表元素是自变量，故是函数的定义域（数集）.
解析：，，即，所以，故选C.
评注：几类遇到集合的运算（交、并、补）问题，应注意对集合元素属性的识别，如集合是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合是点集，表示函数图像上所有点的集合.再如集合，可以理解为单位圆上点的纵坐标的取值集合，表示的是数集；表示的是曲线，即抛的线上所有点构成的集合，它表示的是点集，故有.另如，则有，而易错为.
变式1（2017 山东）设函数的定义域为A，函数的定义域为B，则=（　　）
A．（1,2） B．（1,2] C．（﹣2,1） D．[﹣2,1）
B．解析：，则，答案选D.
变式2 已知集合，则集合 .
解析 ，利用零点分段法解绝对值不等式。
当时，;
当时,,恒成立；
当时,,
综上所述,
又因为，由基本不等式得,
当时取，所以，故
变式3 设全集，集合，那么（ ）
A． B． C． D．
B．解析 解法一：M表示直线y=x+1上除去点（2,3）的部分，表示点（2,3）和除去直线y=x+1的部分，表示直线y=x+1上的点集，所以表示的点集中仅有点（2,3），即（2,3）。
C．解法二 ：，故选B
二、数轴在集合运算中的应用
例1.8 设集合，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
分析：借助数轴表示集合和集合，根据集合的关系，求解参数的取值范围.
解析：因为，集合，在数轴上的表示如图1-1所示.因为，所以，可得.故选A.
变式1已知全集，集合，那么集合（ ）.
A. B. C. D.
解析 ,故选D
变式2 已知集合，则集合（ ）.
A． B． C． D．
B．解析 解法一：,所以,得.
C．解法二：
D．
E．. 故选D
变式3已知集合.若，则实数的取值范围是 .
解析 解法一（直接法）即原方程有一个负根或两个负根，所以
则实数的取值范围是
解法二：（间接法）设全集
} ,设方程 的两根为若方程 的根式 均非负，则
所以关于的补集即为所求.
三、韦恩图在集合运算中的应用
例1.9 设为全集，，是两个非空集合，定义与的差集，则（ ）.
A． B． C． D．
分析：本题可利用题中所给定义表示从集合中去掉属于集合的元素解题.
解析：①当时，根据题意利用韦恩图解题，如图1-2所示，.
②当时，.
综上，.故选B.
评注：凡是遇到抽象的集合运算题尝试利用韦恩图求解.本题也可用举例法求解，比如，根据定义得出所求集合为空集.故选B.
变式1 设全集，，则（ ）.
A． B． C． D．
解析 由可得集合N中不含元素2,4，由排除法可知选项B正确，故选
例1.10 如图1-3所示，是全集，是它的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
分析：本题考查对利用韦恩图表述集合关系的理解.
解析：图1-3中的阴影部分为与的公共部分，即中去掉属于的那部分元素后剩余元素组成的集合，即，故选B.
对于韦恩图表述的集合应做如下理解：阴影部分涉及到谁就交谁，涉及不到谁就交其补集．
如图1-4所示分别表示：（a）；（b）；(c) 或.
变式1 已知为集合的非空子集，且不相等，若，则（ ）
A． B． C． D．
解析 如图1-13所示，因为，所以，所以，故选A
四、以集合为载体的创新题
例1.11 设是整数集的一个非空子集，对于，如果且，那么称是的一个孤立元，给定，由的3个元素组成的所有集合中，不含孤立元的集合共有 个.
解析：由孤立元的定义，若不是的孤立元，应满足或，即集合中元素连续，故满足的3个元素构成的不含孤立元的集合分别为、、、、和，共6个.
评注：由的3元素组成的集合中，含有一个孤立元的集合有30个，含有3个孤立元的集合有20个.
变式1 定义一种新的集合运算：．若集合，则按运算，等于(　　)
A． B．
C． D．
解析　，由题意知，故答案选B．
评注　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
最有效训练题1（限时45分钟）
1. 集合，则（ ）.
A． B． C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．设全集.集合，，那么如图1-5所示的阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
4．已知全集，集合，并且，那么的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设集合.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设全集,
，那么的充要条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
7．已知集合，，定义集合，则中元素的个数为(　　)
A．77 B．49 C．45 D．30
8．若集合，则 ， ．
9．已知集合，集合，且，则 ， .
10. 已知集合满足条件：当时，总有（且）.已知，则集合中所有元素的积等于 .
11. 已知集合，且，则实数的取值范围是 .
12．已知集合满足，且.若，则的取值范围是 .
13.已知集合，，若，求实数的取值范围.
最有效训练题1
1.B 分析 本题考查集合的概念与运算。
解析 先化简再求交集，由已知得，故，故选B
评注：本题若忽视集合P中元素的属性，易误将集合P等同于集合
2.B 解析 因为，所以，故选B
3.A 解析 阴影部分所表示的集合为，而，故，故选A.
4.C 解析 因为，，如图1-14所示，利用数轴可得.故选C.
5. C 解析 由，即，如图1-15所示，
由图可知，所以，故选C
6. D 解析 因为，所以，又，所以.故选D
7.C解析　如图，集合A表示如图所示的所有圆点“ INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET ”，集合B表示如图所示的所有圆点“ INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET ”＋所有圆点“ INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET ”，集合显然是集合{(x，y)||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}中除去四个点{(－3，－3)，(－3,3)，(3，－3)，(3,3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合表示如图所示的所有圆点“ INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11A.TIF" \* MERGEFORMATINET ”＋所有圆点“ INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11B.TIF" \* MERGEFORMATINET ”＋所有圆点“ INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11D.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11D.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11D.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11D.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11D.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11D.TIF" \* MERGEFORMATINET ”，共45个．故中元素的个数为45.故选C.
INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\莫成程\\2017\\一轮\\数学\\人A\\Word\\A11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张红\\看PPT\\2017\\一轮\\一校\\大一轮\\数学人A（理）\\WORD1.1~5.3成程\\A11.TIF" \* MERGEFORMATINET
8. 解析：依题意得,故即，因此
若则故因此与题意不符；
若则显然与题意不符,故，此时满足题意。
9. 解析 先求出集合A，再根据集合的交集运算求解。
因为，当时，不符合题意，所以，即，又，所以.
10. 1 解析 依题意 ，所以,从而,
故A中只有三个元素，它们的积为
11. 解析 如图1-11所示，A为，B为，要使，只需，故实数的取值范围是
12. 解析 由，得，则，解得，所以的取值范围是 .
分析本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围。
解析 解法一 ：问题等价于方程组在[0,2]上有解，即在[0,2]上有解，令，则由知，抛物线过点(0,1),
所以抛物线在[0,2]上与x轴有交点等价于
①
或 ②
由①得，由②得
所以实数的取值范围为
解法二：同解法一，问题等价于方程在[0,2]上有解，故可以转化为函数值域问题。等价转化为，当时，方程不成立；当时，方程转化为；当时，函数，即当时原方程有解，由，即所求实数的取值范围为.
互逆
互为逆否
互逆
互否
互否
等价关系
关系
原命题：若p，则q
逆命题：若q，则p
否命题：若┐p,则┐q
逆否命题：若,则
集合
集合元素的特征
确定性、互异性、无序性
集合的分类
无限集
有限集
空集
集合间的基本关系
子集
真子集
相等
集合间的基本运算
交集A∩B
并集A∪B
Venn图、数轴
充要条件
充分不必要条件，必要不充分条件，充分必要条件，既不充分也不必要条件
简易逻辑
命题
全称命题与存在性命题
全称量词：任意；存在量词：存在
复合命题
且：p∧q
或：p∨q
非：┐p
一假则假，两真为真
一真便真，两假为假
补集
A
B
A
B
A
I
图1—1
A B
U
图 1—5

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