资源简介

19.3.3 正方形
一、教学目标
1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明；
2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理解一般与特殊的关系；
3.经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程，进一步发展学生的推理能力和表达能力；
4.让学生在观察、归纳、概括中逐步提高思维能力，培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
二、教学重难点
重点：掌握正方形的定义、性质定理和判定定理.
难点：会运用正方形的性质定理和判定定理进行证明和计算.
三、教学用具
电脑、多媒体、课件
四、教学过程设计
教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图
环节一 创设 情境 【情境引入】 教师活动：教师先给出生活中熟悉的正方形形象的图形，再提出问题激发学生思考.接着引导学生回顾平行四边形变化得到矩形和菱形的过程，再追问：正方形能否由这些四边形变化得到？引出本节课要学习的内容. 正方形是我们熟悉的图形，如下图中都有正方形的形象. 提问：我们已经学行四边形、矩形、菱形，你认为正方形是哪种图形的特例呢？ 【复习回顾】 问题：想一想，矩形是由平行四边形怎样变化得到的？ 问题：菱形是由平行四边形怎样变化得到的呢？ 追问：正方形能由这些四边形变化得到吗？ 认真观看思考 由生活中熟悉的实物图形引入，体会数学与实际生活的联系，激发学生的学习兴趣. 复习回顾平行四边形变化得到矩形、菱形的过程，巩固熟悉这些四边形之间的关系，为本节课要学习的正方形作准备.
环节二 探究 新知 【合作探究】 教师活动：教师给出问题，先让学生分组探究并操作，再让学生展示探究结果，最后教师引导学生归纳总结出正方形的定义. 问题：正方形的四条边都相等，四个角都是直角.给你一个矩形纸片，你知道如何折叠成正方形吗？ 问题：给你一个由四根木条围成的菱形框架，你能将它变成正方形吗？ 【归纳】 正方形的定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 【想一想】 你能说出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系吗？ 提问：正方形又有哪些性质呢？ 分析：正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形.它具有矩形和菱形的所有性质. 【思考】 根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”. 【观察】 正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 预设答案：正方形是轴对称图形. 它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线. 【思考】 如何判定一个四边形是正方形呢？ 分析：既能判定一个四边形是矩形，又能判定这个四边形是菱形；或者先判定这个四边形是菱形，再判定是矩形.都可以判定它是正方形. 【证明】 教师活动：先让学生选择上面的一种或两种判定方法独立完成证明，然后让学生展示证明过程，教师进行相应的指导，最后教师展示两种判定方法的证明过程，其它的证明学生课下完成. 已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AO=CO=BO=DO，∠ABC=90° ∵ AC⊥DB， ∴ AD=AB=BC=CD， ∴ 四边形ABCD是正方形. 小结：对角线相互垂直的矩形是正方形. 已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB是它的两条对角线，AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥DB. ∵ AC=DB，∴ AO=BO=CO=DO， ∴ △AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形， ∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°， ∴ 四边形ABCD是正方形. 小结：对角线相等的菱形是正方形 【归纳】 常用的正方形的判定方法 定义法： 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 矩形法： 有一组邻边相等的矩形是正方形. 对角线相互垂直的矩形是正方形. 菱形法： 有一个角是直角的菱形是正方形. 对角线相等的菱形是正方形. 认真思考并操作，再交流探究 熟悉正方形的定义 熟悉特殊四边形之间的联系 熟练掌握正方形的性质 熟悉正方形的对称性 分组交流探究 熟悉证明过程 熟悉正方形的常用的判定方法 通过动手操作和分组探究得到正方形，初步感知正方形的特征，培养学生的实践操作能力. 通过探究引导学生初步分析归纳出平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系，并给出正方形的定义，为后面学习正方形的性质及判定作铺垫. 进一步体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理解一般与特殊的关系 通过对比归纳出正方形的性质. 培养学生的观察能力. 通过分组探究的形式，让学生在正方形的定义及性质的基础上探究出正方形的判定方法.培养学生探索新知的能力. 通过证明让学生明确正方形的判定定理，发展学生的推理能力和表达能力. 通过总结培养学生的归纳概括能力，并进一步明确正方形的几种常用的判定方法.
环节三 应用 新知 【典型例题】 【例】点A'，B' ，C' ，D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA' =BB' =CC' =DD'. 求证：四边形A'B'C'D'是正方形. 证明：因为四边形ABCD是正方形，所以 AB=BC=CD=DA. 又 ∵ AA' =BB' =CC' =DD'， ∴ D'A=A'B=B'C =C'D. ∵ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°， ∴ △AA'D'≌△BB'A' ≌△CC'B'≌ △DD'C'. ∴ A'B'=B'C'=C'D'=D'A'. ∴ 四边形A'B'C'D'是菱形. 又 ∵ ∠1=∠3，∠1+∠2=90°， ∴ ∠2+∠3=90°. ∴ ∠D'A'B'=90°. 所以四边形A'B'C'D'是正方形. 明确例题的做法 让学生在探究过程中进一步加深对正方形的判定定理的认识和理解，培养学生的应用意识.
环节四 巩固 新知 【随堂练习】 1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分 C.对角互补 D.对角线相等 2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角形互相垂直平分 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中正确的是_______________________ (只填写序号)． 4.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形.求证：△ABF≌△DAE. 答案： 1. B； 2. B； 3. ①③或①②或②④或③④ 4.证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB=DA，∠BAF+∠DAE=90°. ∵ ∠ADE+∠DAE=90°， ∴ ∠BAF=∠ADE， 在△ABF与△DAE中 ∴ △ABF≌△DAE. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
环节五 课堂 小结 回顾本节课所讲的内容 通过小结总结回顾本节课学习内容，帮助学生归纳、巩固所学知识.
环节六 布置 作业 教科书第94页 练习第1题 第98页习题19.3 第12题 课后完成练习 通过课后作业，教师能及时了解学生对本节课知识的掌握情况，以便对教学进度和方法进行适当的调整.(共23张PPT)
19.3.3 正方形
1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明；
2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理解一般与特殊的关系；
3.经历正方形的定义及其性质和判定定理的探究过程，进一步发展学生的推理能力和表达能力；
4.让学生在观察、归纳、概括中逐步提高思维能力，培养用数学的思想和方法来思考和分析问题的习惯.
学习目标
正方形的性质及判定
情境引入
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
正方形是我们熟悉的图形，如下图中都有正方形的形象.
我们已经学行四边形、矩形、菱形，你认为正方形是哪种图形的特例呢？
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
想一想，矩形是由平行四边形怎样变化得到的？
C
B
A
D
A
D
矩形
一个角是直角
平行四边形
矩形
复习回顾
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
创设情境
探究新知
菱形是由平行四边形怎样变化得到的呢？
一组邻边相等
平行四边形
菱形
菱形
正方形能由这些四边形变化得到吗？
正方形的四条边都相等，四个角都是直角.给你一个矩形纸片，你知道如何折叠成正方形吗？
矩 形
正方形
一组邻边相等
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
给你一个由四根木条围成的菱形框架，你能将它变成正方形吗？
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
合作探究
一个角是直角
菱形
正方形
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
归纳
一组邻边相等
矩形
正方形
平行四边形
一个角是直角
一组邻边相等
一个角是直角
菱形
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
定义
矩形
菱形
想一想
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
平行四边形
矩形
菱形
正方形又有哪些性质呢？
你能说出平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系吗？
正方形
正方形不仅是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，又是特殊的菱形.它具有矩形和菱形的所有性质.
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
根据图形所具有的性质，在下表相应的空格中打“√”.
对边平行且相等
四边都相等
四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直
对角线相等
每条对角线平分一组对角
平行
四边形
矩形
菱形
正方形
图形
性质
正方形的性质
观察
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
正方形是轴对称图形.
它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
思考
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
如何判定一个四边形是正方形呢？
有一组邻边相等
且有一个角是直角
平行四边形
正方形
菱形
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线垂直
菱形
矩形
正方形
一个角是直角
或对角线相等
定义法
矩形法
菱形法
既能判定一个四边形是矩形，又能判定这个四边形
是菱形；或者先判定这个四边形是菱形，再判定是矩形.都可以判定它是正方形.
证明
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
已知：如图，在矩形ABCD中，AC，DB是
它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AO=CO=BO=DO，∠ABC=90°
∵ AC⊥DB，
∴ AD=AB=BC=CD，
∴ 四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
对角线相互垂直的矩形是正方形
证明
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
已知：如图，在菱形ABCD中，AC，DB
是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD，AC⊥DB.
∵ AC=DB，∴ AO=BO=CO=DO，
∴ △AOD，△AOB，△COD，△BOC是等腰直角三角形，
∴ ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，
∴ 四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形
创设情境
应用新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
探究新知
常用的正方形的判定方法
归纳
定义法
矩形法
菱形法
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
有一组邻边相等的矩形是正方形.
对角线相互垂直的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
对角线相等的菱形是正方形.
试着类比刚才的过程证明其它的判定方法
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】点A'，B' ，C' ，D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA' =BB' =CC' =DD'.
求证：四边形A'B'C'D'是正方形.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
证明：因为四边形ABCD是正方形，所以
AB=BC=CD=DA.
又 ∵ AA' =BB' =CC' =DD'，
∴ D'A=A'B=B'C =C'D.
∵ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴ △AA'D'≌△BB'A' ≌△CC'B'≌△DD'C'.
∴ A'B'=B'C'=C'D'=D'A'.
∴ 四边形A'B'C'D'是菱形.
探究新知
巩固新知
课堂小结
布置作业
应用新知
典型例题
创设情境
【例】点A'，B' ，C' ，D'分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA' =BB' =CC' =DD'.
求证：四边形A'B'C'D'是正方形.
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
又 ∵ ∠1=∠3，∠1+∠2=90°，
∴ ∠2+∠3=90°.
∴ ∠D'A'B'=90°.
所以四边形A'B'C'D'是正方形.
1
2
3
有一个角是直角的菱形是正方形
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A.四个角相等 B.对角线互相垂直平分
C.对角互补 D.对角线相等
B
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是(　　)
A.对角线相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角形互相垂直平分
B
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中正确的是_________________________ (只填写序号)．
①③或①②或②④或③④
分析：判定依据.
①③：对角线相等的菱形是正方形.
①②：有一个角为直角的菱形是正方形.
②④：对角线互相垂直的矩形是正方形.
③④：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.
应用新知
巩固新知
随堂练习
探究新知
课堂小结
布置作业
创设情境
4.如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EFGH都是正方形.求证：△ABF≌△DAE.
C
A
B
D
E
F
G
H
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DA，∠BAF+∠DAE=90°.
∵ ∠ADE+∠DAE=90°，
∴ ∠BAF=∠ADE，
在△ABF与△DAE中
∠BAF=∠ADE
∠AFB=∠AED
AB=AD
∴ △ABF≌△DAE.
正方形的定义：
巩固新知
课堂小结
应用新知
探究新知
布置作业
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形.
创设情境
正方形的性质及判定
正方形的性质：
边：对边平行，四条边都相等.
角：四个角都是直角.
对角线：对角线互相垂直平分且相等，且每一条对角线平分一组对角.
正方形的判定：
常用的判定方法：定义法、矩形法、菱形法.
布置作业
教科书第94页
练习第1题
第98页习题19.3
第12题
探究新知
应用新知
课堂小结
巩固新知
创设情境
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