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抛体运动
知识点一：曲线运动
一、曲线运动的速度方向
1.质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
2.曲线运动是变速运动.
(1)速度是矢量，既有大小，又有方向.
(2)在曲线运动中，速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动.
二、物体做曲线运动的条件
1.物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动.
2.物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的加速度一定不为0；物体所受的合力一定不为0.
3.物体做曲线运动的条件：
(1)动力学角度：物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
(2)运动学角度：物体的加速度方向与速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动.
技巧点拨
一、曲线运动的速度方向
1.曲线运动中，质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.
2.曲线运动中，质点的速度方向时刻改变，所以曲线运动一定是变速运动，加速度一定不为零.
二、物体做曲线运动的条件
1.物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上.
(2)运动学条件：加速度方向与物体的速度方向不在同一直线上.
说明：物体做曲线运动时，所受合力可能变化，也可能不发生变化.
2.物体运动性质的判断
(1)直线或曲线的判断
看合力方向(或加速度的方向)和速度方向是否在同一直线上.
(2)匀变速或非匀变速的判断
合力为恒力，物体做匀变速运动；合力为变力，物体做非匀变速运动.
(3)变速运动的几种类型
轨迹特点 加速度与速度方向的关系 加速度特点 运动性质
直线 共线 加速度不变 匀变速直线运动
加速度变化 非匀变速直线运动
曲线 不共线 加速度不变 匀变速曲线运动
加速度变化 非匀变速曲线运动
三、曲线运动中合力方向、速度方向与轨迹的关系
由于曲线运动的速度方向时刻改变，合力不为零.合力垂直于速度方向的分力改变速度的方向，所以合力总指向运动轨迹的凹侧，即曲线运动的轨迹总向合力所指的一侧弯曲.
知识点二：运动的合成与分解
一、一个平面运动的实例——观察蜡块的运动
1.建立坐标系
研究蜡块在平面内的运动，可以选择建立平面直角坐标系.
如图1所示，以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴的方向，建立平面直角坐标系.
图1
2.蜡块运动的位置：玻璃管向右匀速平移的速度设为vx，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，在某时刻t，蜡块的位置P的坐标：x＝vxt，y＝vyt.
3.蜡块运动的轨迹：将x、y消去t，得到y＝x，可见蜡块的运动轨迹是一条过原点的直线.
4.蜡块运动的速度：大小v＝，方向满足tan θ＝.
二、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，同时参与的几个运动就是分运动.
2.运动的合成与分解：已知分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；已知合运动求分运动的过程，叫作运动的分解.
3.运动的合成与分解遵循矢量运算法则.
技巧点拨
一、运动的合成与分解
1.合运动与分运动
(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动.
(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度.
2.合运动与分运动的四个特性
等时性 各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同
等效性 各分运动的共同效果与合运动的效果相同
同体性 各分运动与合运动是同一物体的运动
独立性 各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响
3.运动的合成与分解
(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解.其合成、分解遵循平行四边形定则.
(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解.
二、合运动的性质与运动轨迹
1.分析两个互成角度的直线运动的合运动的性质时，应先求出合运动的合初速度v和合加速度a，然后进行判断.
(1)是否为匀变速的判断：
加速度或合力
(2)曲、直判断：
加速度或合力与速度方向
2.两个互成角度的直线运动的合运动轨迹的判断：
轨迹在合初速度v0与合加速度a之间，且向加速度一侧弯曲
实验：探究平抛运动的特点
知识点：实验：探究平抛运动的特点
一、抛体运动和平抛运动
1.抛体运动：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力作用的运动.
2.平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动.
3.平抛运动的特点：
(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力作用.
二、实验：探究平抛运动的特点
(一)实验思路：
(1)基本思路：根据运动的分解，把平抛运动分解为不同方向上两个相对简单的直线运动，分别研究物体在这两个方向的运动特点.
(2)平抛运动的分解：可以尝试将平抛运动分解为水平方向的分运动和竖直方向的分运动.
(二)进行实验：
方案一：频闪照相(或录制视频)的方法
(1)通过频闪照相(或视频录制)，获得小球做平抛运动时的频闪照片(如图所示)；
(2)以抛出点为原点，建立直角坐标系；
(3)通过频闪照片描出物体经过相等时间间隔所到达的位置；
(4)测量出经过T,2T,3T，…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
(5)分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点.
抛出时间 T 2T 3T 4T 5T
水平位移
竖直位移
结论 水平分运动特点
竖直分运动特点
方案二：分别研究水平和竖直方向分运动规律
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
(1)如图所示，用小锤击打弹性金属片后，A球做________运动；同时B球被释放，做__________运动.观察两球的运动轨迹，听它们落地的声音.
(2)改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，即改变A球的初速度，发现两球____________，说明平抛运动在竖直方向的分运动为______________.
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
1.装置和实验
(1)如图所示，安装实验装置，使斜槽M末端水平，使固定的背板竖直，并将一张白纸和复写纸固定在背板上，N为水平装置的可上下调节的向背板倾斜的挡板.
(2)让钢球从斜槽上某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动，使小球的轨迹与背板平行.钢球落到倾斜的挡板N上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹.
(3)上下调节挡板N，进行多次实验，每次使钢球从斜槽上同一(选填“同一”或“不同”)位置由静止滚下，在白纸上记录钢球所经过的多个位置.
(4)以斜槽水平末端端口处小球球心在木板上的投影点为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴.
(5)取下坐标纸，用平滑的曲线把这些印迹连接起来，得到钢球做平抛运动的轨迹.
(6)根据钢球在竖直方向是自由落体运动的特点，在轨迹上取竖直位移为y、4y、9y…的点，即各点之间的时间间隔相等，测量这些点之间的水平位移，确定水平方向分运动特点.
(7)结论：平抛运动在相等时间内水平方向位移相等，平抛运动水平方向为匀速直线运动.
2.注意事项：
(1)实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平).
(2)背板必须处于竖直面内，固定时要用铅垂线检查坐标纸竖线是否竖直.
(3)小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放.
(4)坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时钢球球心在木板上的投影点.
(5)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜.
抛体运动的规律
知识点：抛体运动的规律
一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0.
(2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角).
二、平抛运动的位移与轨迹
1.水平位移：x＝v0t①
2.竖直位移：y＝gt2②
3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝x2，由此可知平抛运动的轨迹是一条抛物线.
三、一般的抛体运动
物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ).
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos θ.
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝v0sin θ.如图所示.
技巧点拨
一、对平抛运动的理解
1.平抛运动的特点
(1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线.
(2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化.
2.平抛运动的速度变化
如图所示，由Δv＝gΔt知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下.
二、平抛运动规律的应用
1.平抛运动的研究方法
(1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动.
(2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、位移等.
2.平抛运动的规律
(1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定.
(3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决定.
3.平抛运动的推论
(1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的夹角为α，则有tan θ＝2tan α.
证明：如图所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点.
证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
平抛运动的临界问题
分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件
四、斜抛运动
1.斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线.
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间.
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等.
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称.
圆周运动
知识点：圆周运动
一、线速度
1.定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt内，通过的弧长为Δs.则Δs与Δt的比值叫作线速度，公式：v＝.
2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢.
3.方向：为物体做圆周运动时该点的切线方向.
4.匀速圆周运动
(1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动.
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不变.
二、角速度
1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，公式：ω＝.
2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢.
3.单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s－1.
4.匀速圆周运动是角速度不变的运动.
三、周期
1.周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒(s).
2.转速n：物体转动的圈数与所用时间之比.单位：转每秒(r/s)或转每分(r/min).
3.周期和转速的关系：T＝(n的单位为r/s时).
四、线速度与角速度的关系
1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积.
2.公式：v＝ωr.
技巧点拨
一、线速度和匀速圆周运动
1.对线速度的理解
(1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快.
(2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上.
(3)线速度的定义式：v＝，Δs代表在时间Δt内通过的弧长.
2.对匀速圆周运动的理解
(1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方向时刻在变化.
(2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变.
(3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零.
二、角速度、周期和转速
1.对角速度的理解
(1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快.
(2)角速度的定义式：ω＝，Δθ代表在时间Δt内物体与圆心的连线转过的角度.
(3)在匀速圆周运动中，角速度不变.
2.对周期和频率(转速)的理解
(1)匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同.
(2)当单位时间取1 s时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具有更广泛的意义，两者的单位也不相同.
3.周期、频率和转速间的关系：T＝＝.
三、描述匀速圆周运动各物理量之间的关系
1.描述匀速圆周运动各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr
(2)ω＝＝＝2πn
(3)v＝ωr
2.各物理量之间关系的理解
(1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn知，角速度、周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了.
(2)线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v＝ω·r知，r一定时，v∝ω；v一定时，ω∝；ω一定时，v∝r.
四、同轴转动和皮带传动问题
同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装 置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特 点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
规 律 线速度大小与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝ 角速度与半径成反比：＝
向心加速度
知识点：向心加速度
一、匀速圆周运动的加速度方向
1.定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，这个加速度叫作向心加速度.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
二、匀速圆周运动的加速度大小
1.向心加速度公式
an＝或an＝ω2r.
2.向心加速度的公式既适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动.
技巧点拨
一、向心加速度及其方向
对向心加速度及其方向的理解
1.向心加速度的方向：总指向圆心，方向时刻改变.
2.向心加速度的作用：向心加速度的方向总是与速度方向垂直，故向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小.
3.圆周运动的性质：不论向心加速度an的大小是否变化，其方向时刻改变，所以圆周运动的加速度时刻发生变化，圆周运动是变加速曲线运动.
4.变速圆周运动的加速度并不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度.向心加速度描述速度方向变化的快慢，切向加速度描述速度大小变化的快慢，所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心.
二、向心加速度的大小
1.向心加速度公式
(1)基本公式：①an＝；②an＝ω2r.
(2)拓展公式：①an＝r；②an＝4π2n2r＝4π2f2r；③an＝ωv.
2.向心加速度公式的适用范围
向心加速度公式不仅适用于匀速圆周运动，也适用于非匀速圆周运动，v即为那一位置的线速度，且无论物体做的是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，其向心加速度的方向都指向圆心.
3.向心加速度与半径的关系(如图所示)
向心加速度公式的应用技巧
向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系.
(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同.
(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相同时，向心加速度与半径成正比.
向心力
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着半径指向圆心.
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝m
(2)Fn＝mω2r.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图所示.
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
知识点一：实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一　用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一　手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二　手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三　改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四　手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二　用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三　利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
ω
ω2
②m、ω一定(表二)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
r
③r、ω一定(表三)
序号 1 2 3 4 5 6
Fn
m
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
知识点二：向心力的分析和公式的应用
一、向心力的理解及来源分析
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
答案　(1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)合力的大小F＝m.
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案　月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝m＝mω2r＝m2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
二、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
图形 受力分析 力的分解方法 满足的方程及向心加速度
或mgtan θ＝mω2lsin θ
或mgtan θ＝mω2r
或mgtan θ＝mω2r
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案　(1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
某一点的向心力仍可用公式Fn＝m＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
生活中的圆周运动
知识点：生活中的圆周运动
一、火车转弯
1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能使火车侧翻.
2.铁路弯道的特点
(1)弯道处外轨略高于内轨.
(2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧.支持力与重力的合力指向圆心.
(3)在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力几乎完全由重力G和弹力FN的合力来提供.
二、拱形桥
汽车过拱形桥 汽车过凹形桥
受力 分析
向心力 Fn＝mg－FN＝m Fn＝FN－mg＝m
对桥的 压力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m
结论 汽车对桥的压力小于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越小 汽车对桥的压力大于汽车的重力，而且汽车速度越大，对桥的压力越大
三、航天器中的失重现象
1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律：mg－FN＝m，所以FN＝mg－m.
2.完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态.
四、离心运动
1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动.
2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力.
3.离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机.
(2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度
技巧点拨
一、火车转弯问题
1.弯道的特点
铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图所示，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面间的夹角.
2.速度与轨道压力的关系
(1)当火车行驶速度v等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时内外轨道对火车无挤压作用.
(2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力.
(3)当火车行驶速度v二、汽车过桥问题与航天器中的失重现象
1.拱形桥问题
(1)汽车过拱形桥(如图)
汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m.
①当v＝时，FN＝0.
②当0≤v<时，0③当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险.
说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力，而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态.
(2)汽车过凹形桥(如图)
汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋.
说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥.
2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态.
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝.
(2)质量为m的航天员：设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝.
当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态.
(3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态.
三、离心运动
1.物体做离心运动的原因
提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力.
注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力.所谓“离心力”实际上并不存在.
2.合力与向心力的关系(如图所示).
(1)若F合＝mrω2或F合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”.
(2)若F合>mrω2或F合>，物体做近心运动，即“提供过度”.
(3)若0(4)若F合＝0，则物体沿切线方向做直线运动.
行星的运动
知识点：行星的运动
一、两种对立的学说
1.地心说
(1)地球是宇宙的中心，是静止不动的；
(2)太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动；
(3)地心说的代表人物是古希腊科学家托勒密.
2.日心说
(1)太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳做匀速圆周运动；
(2)日心说的代表人物是哥白尼.
3.局限性
(1)古人都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动.
(2)开普勒研究了第谷的行星观测记录，发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据与观测数据不符(填“不符”或“相符”).
二、开普勒定律
1.第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上.
2.第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等.
3.第三定律：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等.其表达式为＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是公转周期，k是一个对所有行星都相同的常量.
三、行星运动的近似处理
1.行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心.
2.行星绕太阳做匀速圆周运动.
3.所有行星轨道半径r的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即＝k.
技巧点拨
一、开普勒定律的理解
1.开普勒第一定律解决了行星运动的轨道问题
行星绕太阳运行的轨道都是椭圆，如图所示.不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，但所有轨道都有一个共同的焦点——太阳.开普勒第一定律又叫轨道定律.
2.开普勒第二定律比较了某个行星在椭圆轨道上不同位置的速度大小问题
(1)如图所示，在相等的时间内，面积SA＝SB，这说明离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大.开普勒第二定律又叫面积定律.
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳最近、最远的点.同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小.
3.开普勒第三定律比较了不同行星周期的长短问题
(1)如图所示，由＝k知椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长.比值k是一个对所有行星都相同的常量.开普勒第三定律也叫周期定律.
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，对于地球卫星，常量k只与地球有关，而与卫星无关，也就是说k值大小由中心天体决定.
二、开普勒定律的应用
1.当比较一个行星在椭圆轨道不同位置的速度大小时，选用开普勒第二定律；当比较或计算两个行星的周期问题时，选用开普勒第三定律.
2.由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究中我们可以按圆轨道处理，且把行星绕太阳的运动看作是匀速圆周运动，这时椭圆轨道的半长轴取圆轨道的半径.
万有引力定律
知识点一：万有引力定律
一、行星与太阳间的引力
行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为r.
天文观测测得行星公转周期为T，则
向心力F＝m＝mr①
根据开普勒第三定律：＝k②
由①②得：F＝4π2k③
由③式可知太阳对行星的引力F∝
根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′∝
则行星与太阳间的引力F∝
写成等式F＝G.
二、月—地检验
1.猜想：地球与月球之间的引力F＝G，根据牛顿第二定律a月＝＝G.
地面上苹果自由下落的加速度a苹＝＝G.
由于r＝60R，所以＝.
2.验证：(1)苹果自由落体加速度a苹＝g＝9.8 m/s2.
(2)月球中心距地球中心的距离r＝3.8×108 m.
月球公转周期T＝27.3 d≈2.36×106 s
则a月＝()2r＝2.7×10－3 m/s2(保留两位有效数字)
＝2.8×10－4(数值)≈(比例).
3.结论：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力，遵从相同的规律.
三、万有引力定律
1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比.
2.表达式：F＝G，其中G叫作引力常量.
四、引力常量
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
技巧点拨
一、对太阳与行星间引力的理解
导学探究
1.是什么原因使行星绕太阳运动？
答案　太阳对行星的引力使行星绕太阳运动.
2.在推导太阳与行星间的引力时，我们对行星的运动怎么简化处理的？用了哪些知识？
答案　将行星绕太阳的椭圆运动看成匀速圆周运动.在推导过程中，用到了向心力公式、开普勒第三定律及牛顿运动定律.
知识深化
万有引力定律的得出过程
二、万有引力定律
导学探究
(1)通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律.一切物体都存在这样的引力，如图，那么，为什么通常两个人(假设两人可看成质点，质量均为100 kg，相距1 m)间的万有引力我们却感受不到？
(2)地球对人的万有引力与人对地球的万有引力大小相等吗？
答案　(1)两个人之间的万有引力大小为：F＝＝ N＝6.67×10－7 N，因引力很小，所以通常感受不到.
(2)相等.它们是一对相互作用力.
知识深化
1.万有引力定律表达式：F＝G，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2.万有引力定律公式适用的条件
(1)两个质点间的相互作用.
(2)一个均匀球体与球外一个质点间的相互作用，r为球心到质点的距离.
(3)两个质量均匀的球体间的相互作用，r为两球心间的距离.
三、重力和万有引力的关系
1.物体在地球表面上所受引力与重力的关系：
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力.地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示.
(1)当物体在两极时：G＝F引，重力达到最大值Gmax＝G.
(2)当物体在赤道上时：
F′＝mω2R最大，此时重力最小
Gmin＝G－mω2R
(3)从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F′＝mω2R′减小，F′与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.
因为F′、F引、G不在一条直线上，重力G与万有引力F引方向有偏差，重力大小mg2.重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G(R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度).在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.
3.特别说明
(1)重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.
(2)在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G.
宇宙速度与人造地球卫星
知识点：宇宙航行
一、宇宙速度
1.牛顿的设想
如图所示，把物体从高山上水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星.
2.第一宇宙速度的推导
(1)已知地球质量m地和半径R，物体绕地球的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供物体运动所需的向心力，即＝m，可得v＝.
(2)已知地面附近的重力加速度g和地球半径R，由mg＝m得：v＝.
(3)三个宇宙速度及含义
数值 意义
第一宇 宙速度 7.9 km/s 物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度
第二宇 宙速度 11.2 km/s 在地面附近发射飞行器使物体克服地球引力，永远离开地球的最小地面发射速度
第三宇 宙速度 16.7 km/s 在地面附近发射飞行器使物体挣脱太阳引力束缚，飞到太阳系外的最小地面发射速度
二、人造地球卫星
1.1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星发射成功.1970年4月24日，我国第一颗人造地球卫星“东方红1号”发射成功.为我国航天事业作出特殊贡献的科学家钱学森被誉为“中国航天之父”.
2.地球同步卫星的特点
地球同步卫星位于赤道上方高度约36 000 km处，因相对地面静止，也称静止卫星.地球同步卫星与地球以相同的角速度转动，周期与地球自转周期相同.
三、载人航天与太空探索
1.1961年苏联宇航员加加林进入东方一号载人飞船，铸就了人类首次进入太空的丰碑.
2.1969年，美国阿波罗11号飞船发射升空，拉开人类登月这一伟大历史事件的帷幕.
3.2003年10月15日9时，我国神舟五号宇宙飞船把中国第一位航天员杨利伟送入太空，截止到2017年底，我国已经将11名航天员送入太空，包括两名女航天员.
4.2013年6月，神舟十号分别完成与天宫一号空间站的手动和自动交会对接；2016年10月19日，神舟十一号完成与天宫二号空间站的自动交会对接.2017年4月20日，我国发射了货运飞船天舟一号，入轨后与天宫二号空间站进行自动交会对接、自主快速交会对接等3次交会对接及多项实验.
技巧点拨
一、三个宇宙速度
1.第一宇宙速度
(1)两个表达式
思路一：万有引力提供向心力，由G＝m得v＝
思路二：重力提供向心力，由mg＝m得v＝
(2)含义
①近地卫星的圆轨道运行速度，大小为7.9 km/s，也是卫星圆轨道的最大运行速度.
②人造卫星的最小发射速度，向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，需要更多能量.
2.第二宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够克服地球的引力，永远离开地球所需的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.当发射速度7.9 km/s3.第三宇宙速度
在地面附近发射飞行器，使之能够挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
二、人造地球卫星
1.人造地球卫星
(1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以和赤道平面成任意角度，如图所示.
(2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫星圆轨道的圆心.
2.近地卫星
(1)v1＝7.9 km/s；T＝≈85 min.
(2)7.9 km/s和85 min分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大线速度和最小周期.
3.同步卫星
(1)“同步”的含义就是和地面保持相对静止，所以其周期等于地球自转周期.
(2)特点
①定周期：所有同步卫星周期均为T＝24 h.
②定轨道：同步卫星轨道必须在地球赤道的正上方，运转方向必须跟地球自转方向一致，即由西向东.
③定高度：由G＝m(R＋h)可得，同步卫星离地面高度为h＝－R≈3.58×104 km≈6R.
④定速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此线速度、角速度大小均不变.
⑤定加速度：由于同步卫星高度确定，则其轨道半径确定，因此向心加速度大小也不变.
三、同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
同步卫星、近地卫星、赤道上物体的比较
1.同步卫星和近地卫星都是万有引力提供向心力，即都满足＝m＝mω2r＝mr＝man.由上式比较各运动量的大小关系，即r越大，v、ω、an越小，T越大.
2.同步卫星和赤道上物体都做周期和角速度相同的圆周运动.因此要通过v＝ωr，an＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小.
相对论时空观与牛顿力学的局限性
知识点：相对论时空观与牛顿力学的局限性
一、相对论时空观
1.19世纪，英国物理学家麦克斯韦根据电磁场理论预言了电磁波的存在，并证明电磁波的传播速度等于光速c.
2.1887年迈克耳孙—莫雷实验以及其他一些实验表明：在不同的参考系中，光的传播速度都是一样的！这与牛顿力学中不同参考系之间的速度变换关系不符(填“相符”或“不符”).
3.爱因斯坦假设：在不同的惯性参考系中，物理规律的形式都是相同的；真空中的光速在不同的惯性参考系中大小都是相同的.
4.时间延缓效应
(1)如果相对于地面以v运动的惯性参考系上的人观察到与其一起运动的物体完成某个动作的时间间隔为Δτ，地面上的人观察到该物体在同一地点完成这个动作的时间间隔为Δt，那么两者之间的关系是Δt＝.
(2)Δt与Δτ的关系总有Δt＞Δτ，即物理过程的快慢(时间进程)与运动状态有关.(填“有关”或“无关”)
5.长度收缩效应：
(1)如果与杆相对静止的人测得杆长是l0，沿着杆的方向，以v相对杆运动的人测得杆长是l，那么两者之间的关系是l＝l0.
(2)l与l0的关系总有l＜l0，即运动物体的长度(空间距离)跟物体的运动状态有关.(填“无关”或“有关”)
二、牛顿力学的成就与局限性
1.牛顿力学的成就：牛顿力学的基础是牛顿运动定律，万有引力定律的建立与应用更是确立了人们对牛顿力学的尊敬.
2.牛顿力学局限性：牛顿力学的适用范围是低速(填“高速”或“低速”)运动的宏观(填“宏观”或“微观”)物体.
(1)当物体以接近光速运动时，有些与牛顿力学的结论不相同.
(2)电子、质子、中子等微观粒子的运动不能用牛顿力学来说明.
3.牛顿力学不会被新的科学成就所否定，当物体运动的速度远小于光速c时，相对论物理学与牛顿力学的结论没有区别.
技巧点拨
一、相对论时空观
1.低速与高速
(1)低速：通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体皆为低速运动物体.
(2)高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速.
2.相对论的两个效应
(1)时间延缓效应：运动时钟会变慢，即Δt＝.
(2)长度收缩效应：运动长度会收缩，即l＝l0.
3.对于低速运动的物体，相对论效应可以忽略不计，一般用经典力学规律来处理；对于高速运动问题，经典力学不再适用，需要用相对论知识来处理.
二、牛顿力学的成就与局限性
1.经典力学的成就
(1)经典力学体系是时代的产物，是现代机械、土木建筑、交通运输以至航空航天技术的理论基础.
(2)经典力学的思想方法对艺术、政治、哲学等社会科学领域也有巨大影响.
2.经典力学的局限性及适用范围
(1)经典力学适用于低速运动的物体，相对论阐述物体在以接近光速运动时所遵循的规律.
(2)经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律.
3.相对论和量子力学没有否定经典力学
(1)当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别；
(2)当另一个重要常量即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别.
(3)相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形
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