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第01讲 集合 艺术体育生夯实基础突破90讲义
一、热考点梳理
强记清单
（一）、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集
（二）、集合间的关系
表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法 Venn图
基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 x∈A x∈B A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A B，且 x0∈B，x0A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A B，B A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 x，x ， A
注：1、空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集．
（三）、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．
表
交集
并集
补集
注：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，图上应为实线或虚线。
1．交集
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
2．并集
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
3．补集
已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．
（四）、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，， ，，．
（2）并集的运算性质．
，， ，，．
（3）补集的运算性质．
，， ，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．
2．由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3．．
三、典例热身
1．（2021 新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩ UB＝（　　）
A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
【答案】B
【解析】
【详解】因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以 UB＝{1，5，6}，故A∩ UB＝{1，6}．
故选：B
2．（2021 新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
【答案】B
【解析】
【详解】∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．
故选：B．
3．【2022年新高考1卷】若集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
4．【2022年新高考2卷】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
5．【2022年全国乙卷】集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
6．【2022年全国甲卷】设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
7．【2022年全国甲卷】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】
因为，，所以．
故选：A.
四、达标自检
一、单选题
1、（2022·浙江·高三专题练习）已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【详解】或，
阴影部分用集合表示，
因为，所以，又因为，
所以，因此的元素有3个，
故选：C
2．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】化简集合A,B，根据交集、补集运算即可求解.
【详解】
因为集合，或，
所以，
则，
故选：D
3、（2022·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
【详解】
当时，y＝1；当时，y＝0；当x＝3时，．故集合B共有3个元素．
故选：B.
4、（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.
故选：D.
5、（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]
【答案】C
【解析】根据对数函数定义域和分式不等式得，再解绝对值不等式得，最后根据集合运算求解即可.
【详解】
解：集合，
，
所以.
故选：C．
6、（2022·全国·高三专题练习）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【解析】
【详解】由 且，则，∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，,故．
故选：C.
7、（2022·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：C.
8、（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】根据题意，
时，，所以选项D正确.
故选：D.
9、（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】因为，所以或，因为，所以.
故实数的取值范围为，故选：C
10、（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】
【详解】依题意，所以集合B的子集的个数为，
故选：C.
11、（2022·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【详解】
由，可得，即，
则
由，可得或，
则或
则，
故
故选：D
12、（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】
解不等式得：，即有，而，所以.
故选：C
13、（2022·湖南常德·一模）已知集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【详解】解不等式得：，于是得，
因，即，解得，则，
所以.
故选：C
14、（2022·重庆长寿·高三期末）设集合，，定义，则中元素的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【解析】
【详解】因为集合，，定义,
所以.
一共6个元素.
故选：D
15、（2022·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
【答案】D
【解析】
【详解】记赞成A的学生组成集合A，赞成B的学生组成集合B，50名学生组成全集U，则集合A有30个元素，集合B有33个元素.
设对A，B都赞成的学生人数为x，则集合的元素个数为，如图，
由Venn图可知，，即，解得，
所以对A，B都赞成的学生有21人.
故选：D
二、多选题
16．（2021·重庆·模拟预测）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】
根据补集的概念及分式不等式及其解法即可求解.
【详解】
由题意得，，
所以，
故AB正确，CD错误，
故选：AB.
17．（2021·全国·高三专题练习）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】BD
【解析】
先通过一元二次不等式的计算可得，，再根据集合的运算逐项计算即可得解.
【详解】
由题知，，
或，
所以，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
或，故D正确.
故选：BD．
三、填空题
18．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）设集合A={a|a2– a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有_________个．
【答案】3
【解析】
求得集合元素的个数，由此求得的真子集的个数.
【详解】
，
由于，所以，
集合有个元素，其真子集的个数为个.
故答案为：
19、（2022·浙江·高三专题练习）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【答案】或.
【解析】
【详解】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案为：或.
20．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.
【答案】
【解析】
以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，作出图形，设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，根据已知条件可得出关于的方程，解出的值即可.
【详解】
以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得.
故答案为：.
五、自评（自我总结）
第01讲 集合掌握情况自我鉴定表
考点内容 掌握情况
考点一 集合的定义 求集合的元素 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
集合元素的互异性 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
根据集合元素的个数求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点二 集合之间的基本关系 集合见基本关系的判定 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
根据两集合间的关系求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
（真）子集的个数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点三 集合的基本运算 数集的运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
点集的运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
利用集合运算的结果求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点四 集合的新定义问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点五 韦恩图的应用 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
教师指导意见与措施第01讲 集合 艺术体育生夯实基础突破90讲义
一、热考点梳理
强记清单
（一）、集合的有关概念
1．集合的含义与表示
某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．
2．集合元素的特征
（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．
（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．
（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．如．
3．集合的常用表示法
集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图、数轴)和区间法．
4．常用数集的表示
R一实数集 Q一有理数集 Z一整数集 N一自然数集或一正整数集 C一复数集
（二）、集合间的关系
表示 关系　　 文字语言 符号语言 记法 Venn图
基本关系 子集 集合A中任意一个元素都是集合B中的元素 x∈A x∈B A B或B A
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A A B，且 x0∈B，x0A AB或BA
相等 集合A，B的元素完全相同 A B，B A A＝B
空集 不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集 x，x ， A
注：1、空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集．
（三）、集合的基本运算
集合的基本运算包括集合的交集、并集和补集运算，如表所示．
表
交集
并集
补集
注：Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，图上应为实线或虚线。
1．交集
由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．
2．并集
由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．
3．补集
已知全集，集合，由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合相对于全集的补集，记作，即．
（四）、集合运算中常用的结论
1．集合中的逻辑关系
（1）交集的运算性质．
，， ，，．
（2）并集的运算性质．
，， ，，．
（3）补集的运算性质．
，， ，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律： ．
分配律： ．
2．由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3．．
三、典例热身
1．（2021 新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩ UB＝（　　）
A．{3} B．{1，6} C．{5，6} D．{1，3}
2．（2021 新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　）
A．{2} B．{2，3} C．{3，4} D．{2，3，4}
3．【2022年新高考1卷】若集合，则（ ）
A． B． C． D．
4．【2022年新高考2卷】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
5．【2022年全国乙卷】集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．【2022年全国甲卷】设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．【2022年全国甲卷】设集合，则（ ）
A． B． C． D．
四、达标自检
一、单选题
1、（2022·浙江·高三专题练习）已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·重庆八中高三阶段练习）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4、（2022·全国·高三专题练习）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
5、（2021·全国全国·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．[－2，4） B．[－2，4] C． D．（－1，4]
6、（2022·全国·高三专题练习）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
7、（2022·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8、（2022·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））设集合，则（ ）
A． B． C． D．
9、（2022·全国·高三专题练习）已知，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10、（2022·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
11、（2022·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
12、（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13、（2022·湖南常德·一模）已知集合，若，则（ ）
A． B．
C． D．
14、（2022·重庆长寿·高三期末）设集合，，定义，则中元素的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
15、（2022·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
二、多选题
16．（2021·重庆·模拟预测）已知全集，集合，则关于的表达方式正确的有（ ）
A． B．
C． D．
17．（2021·全国·高三专题练习）设全集，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
三、填空题
18．（2020·天津市南开区南大奥宇培训学校高三阶段练习）设集合A={a|a2– a–2＜0，a∈Z}，则A的真子集共有_________个．
19、（2022·浙江·高三专题练习）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
20．（2021·福建省大田县第一中学高三期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人___________.
五、自评（自我总结）
第01讲 集合掌握情况自我鉴定表
考点内容 掌握情况
考点一 集合的定义 求集合的元素 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
集合元素的互异性 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
根据集合元素的个数求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点二 集合之间的基本关系 集合见基本关系的判定 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
根据两集合间的关系求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
（真）子集的个数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点三 集合的基本运算 数集的运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
点集的运算 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
利用集合运算的结果求参数 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点四 集合的新定义问题 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
考点五 韦恩图的应用 好（ ） 较好（ ） 较差（ ） 差（ ）
教师指导意见与措施

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