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专题二 指数、对数、幂函数
知识要点
一.指数函数
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【方法技巧与总结】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
指数函数与的图象关于轴对称．
二.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
三.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
四．幂函数
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
公共点
题型目录分析
题型一 利用“图像法”比较大小
题型二 用“特殊点法”已知复杂的函数选图像
题型三 指对幂的定义和基础题
题型四 恒过定点问题
题型五 指对幂的单调性和奇偶性
题型六 利用单调性解不等式
题型七 指对幂函数的恒成立问题和综合题
题型例题讲练
题型一 利用“图像法”比较大小
1.已知 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
2.若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
3.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型二 用“特殊点法”已知复杂的函数选图像
1.函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2.函数的部分图象可能是（ ）
B．
C． D．
题型三 指对幂的定义和基础题
1.已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3.若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
4．若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．
5．已知函数为偶函数，则______．
6.已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
题型四 恒过定点问题
1.(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
2.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点________．
3.函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为______．
4.判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
5.函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　　)
(1,2)　　　B．(2,1) C．(－2,1)　　 D．(－1,1)
6.若且,则函数的图象恒过定点 ．
7.函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（ ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（-2，1） D．（-1，1）
8.函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9.函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
题型五 指对幂的单调性和奇偶性
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
2.（多选）函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递增
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
3.已知函数为奇函数，且当时，，则___.
4．已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
5.下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
6．函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递增
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
7.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知函数，对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
10.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
11.下列函数中是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
12.已知是奇函数，且当时，若，则_______.
题型六 利用单调性解不等式
1.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数，则不等式的解集为__________．
题型七 零点问题和值域问题
1.函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
2.函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
4.函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．2
C．4 D．6
5.关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减
③的极大值为0 ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
6.（多选）下列函数最大值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.
8.已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
题型八 指对幂函数的恒成立问题和综合题
1.若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.（多选）已知定义在的偶函数，其周期为4，当时，，则（ ）
A． B．的值域为
C．在上为减函数 D．在上有8个零点
3.已知幂函数在(0，+∞)上单调递减.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若正数a，b满足2a+3b=m，求的最小值.
4．
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
5.已知函数，.
（1）判断的奇偶性和单调性；
（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
6．已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.专题二 指数、对数、幂函数
知识要点
一.指数函数
图象
性质 ①定义域，值域
②，即时，，图象都经过点
③，即时，等于底数
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤时，；时， 时，；时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【方法技巧与总结】
1.指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论．
(2)当时，，；的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快．
当时，；的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快．
指数函数与的图象关于轴对称．
二.对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；
②常用对数：以为底，记为；
③自然对数：以为底，记为；
(3) 对数的性质和运算法则：
①；；其中且；
②(其中且，)；
③对数换底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
三.对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 且叫做对数函数．
对数函数的图象
图象
性质 定义域：
值域：
过定点，即时，
在上增函数 在上是减函数
当时，，当时， 当时，，当时，
【方法技巧与总结】
1.对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当时，随的增大，对数函数的图象愈靠近轴；当时，对数函数的图象随的增大而远离轴．(见下图)
四．幂函数
1.幂函数的定义
一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
函数
图象
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减
公共点
题型目录分析
题型一 利用“图像法”比较大小
题型二 用“特殊点法”已知复杂的函数选图像
题型三 指对幂的定义和基础题
题型四 恒过定点问题
题型五 指对幂的单调性和奇偶性
题型六 利用单调性解不等式
题型七 指对幂函数的恒成立问题和综合题
题型例题讲练
题型一 利用“图像法”比较大小
1.已知 ， 则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由题，，，，
所以.
故选：C.
2.若，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【详解】由函数为增函数可知，
由为增函数可得，由由为增函数可得，
，
，
故选:D
3.已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，故.故答案为：C.
题型二 用“特殊点法”已知复杂的函数选图像
1.函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：因为函数的定义域为，，
所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；
当时，，当时，，排除C．
故选：D．
2.函数的部分图象可能是（ ）
B．
C． D．
【详解】因为，故为奇函数，排除AB，又当趋近于时，远远大于，所有函数逐渐趋近于0，排除D
故选：C
题型三 指对幂的定义和基础题
1.已知函数，若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】令，
，是R上的奇函数，，即，
又，所以．
故选：A．
2.（多选）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，，即，其几何意义为圆上的点到直线的距离小于等于2，因为圆的圆心在直线上，且圆的半径为2，所以恒成立，故A正确；
对于B，，即，当且仅当时取等号，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，取，满足，此时，故D错误.
故选：ABC．
3.若函数的反函数的图像经过点，则=_______．
【详解】解：因为函数的反函数为，，
所以，即，所以或（舍去）；
故答案为：
4．若幂函数的图像关于y轴对称，则实数______．
【详解】由幂函数可得，解得或，
又因为函数图像关于y轴对称，则a为偶数，所以．
故答案为：
5．已知函数为偶函数，则______．
【详解】函数为偶函数，则有，
即恒成立
则恒成立
即恒成立
则，经检验符合题意.
故答案为：1
6.已知函数，若是奇函数，则实数a=______．
【详解】由题意，，即，
所以，化简得，解得．
故答案为：1
题型四 恒过定点问题
1.(1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是________．
(1)解析　因为y＝ax的图象过定点(0,1)，所以令x＋1＝0，即x＝－1，则f(x)＝－1，故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1)．　
2.函数f(x)＝2·ax－1＋1的图象恒过定点___　(1,3)_____．
解析　令x－1＝0，得x＝1，f(1)＝2×1＋1＝3，所以f(x)的图象恒过定点(1,3)．
3.函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为__(1，＋∞)____．
函数的定义域为R，又y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝(2x＋1)2，易知2x>0，故y>1，即函数的值域为(1，＋∞)．
4.判断f(x)＝x2－2x的单调性，并求其值域．
解　令u＝x2－2x，则原函数变为y＝u.
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，
又∵y＝u在(－∞，＋∞)上递减，
∴y＝x2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．
∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，
∴y＝u，u∈[－1，＋∞)，
∴0＜u≤－1＝3，
∴原函数的值域为(0,3]．
5.函数y＝loga(x＋2)＋1的图象过定点(　D　)
(1,2)　　　B．(2,1) C．(－2,1)　　 D．(－1,1)
6.若且,则函数的图象恒过定点 （2,1） ．
7.函数y=loga（x+2）+1的图象过定点（D ）
A．（1，2） B．（2，1） C．（-2，1） D．（-1，1）
8.函数单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
9.函数的单调递减区间是
A． B． C． D．
【答案】D
题型五 指对幂的单调性和奇偶性
1.（多选）下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【详解】，函数为偶函数，A正确；
，函数奇函数，B正确；
，函数定义域满足，，解得，，
函数既是偶函数也是奇函数，C错误；
，函数为偶函数，D错误.故选：AB.
2.（多选）函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递增
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
【详解】要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；
令，解得，所以关于直线对称，故D正确.
故选：AD
3.已知函数为奇函数，且当时，，则___.
【详解】因为当时，，
所以，
因为函数为奇函数，
所以，
故答案为：
4．已知函数的定义域为，且对任意实数，都满足，则实数___________；
【详解】因为的定义域为R，所以恒成立，
故，
又因为对任意实数，都满足，
则对于实数，都满足，
所以，
所以为偶函数，
从而，
化简得：，
要想对任意，上式均成立，则，解得：
故答案为：1
5.下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是奇函数
【详解】，函数为偶函数，A正确；
，函数奇函数，B正确；
，函数定义域满足，，解得，，
函数既是偶函数也是奇函数，C错误；
，函数为偶函数，D错误.故选：AB.
6．函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递增
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
【详解】要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；
令，解得，所以关于直线对称，故D正确.
故选：AD
7.已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【详解】依题意可得，的图像关于直线对称，
因为 ，
则，又在上单调递增，
所以 ；
故选：B.
8．已知函数，对任意，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由任意，都有可知函数在上单调递增，故有得．故选：D
9.当时，幂函数为减函数，则实数m的值为（ ）
A． B．
C．或 D．
【详解】因为函数既是幂函数又是的减函数，
所以解得：.
故选：A.
10.“幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
11.下列函数中是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】选项A：由，可得为增函数.判断错误；
选项B：由，可得为增函数，则是减函数.判断正确；
选项C：由，可得是减函数，则为增函数.判断错误；
选项D：在上单调递增. 判断错误.
故选：B
12.已知是奇函数，且当时，若，则_______.
【答案】
【详解】因为是奇函数，所以，所以，所以，又当时，所以，即，解得.
故答案为：
题型六 利用单调性解不等式
1.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：因为，
当时函数单调递减，且，
当时函数单调递减，且，
所以函数在上是单调递减，
所以不等式等价于，解得．
即不等式的解集为；
故选：C
2.已知函数，则不等式的解集为__________．
【详解】当时，，解得，于是得：，
当时，，解得，于是得，
所以的解集为．
故答案为：
题型七 零点问题和值域问题
1.函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：的定义域为，又与在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在上存在唯一的零点.
故选：C
2.函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
由题设，与只有一个交点，
又的图象如下：
∴.故选：C.
3.函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.
当时，，过定点，
又点在直线上，，即，
，，，
（当且仅当，即，时取等号），
的最小值为.
故答案为：.
4.函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．-2 B．2
C．4 D．6
【详解】将函数左移一个单位，得，，
则，
所以函数关于对称，故最大值与最小值也关于对称，其和为6，
故选：D
5.关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减
③的极大值为0 ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④
【详解】函数的定义域为，
对于①，，则，
，的图象关于直线对称，①正确；
对于②，当时，，在单调递增，②不正确；
对于③，当时，，在单调递减，
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；
对于④，由得：，即或，解得或，
于是得有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.
故选：D
6.（多选）下列函数最大值为1的是（ ）
A． B．
C． D．
【详解】对于A，二次函数在时取得最大值，故A不符题意；
对于B，，故，最大值为1，故B符合题意；
对于C，，最大值为1，故C符合题意；
对于D，，当且仅当x=0时取等号，故函数最大值为0，故D不符合题意.
故选：BC.
7.已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为_____.
【详解】解： 由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是，
故答案为：
8.已知的反函数的零点为2，则实数的值为___________；
【详解】的零点为2，即的图象过点（2，0），
所以的图象过点（0，2），
即，解得，
故答案为：4
题型八 指对幂函数的恒成立问题和综合题
1.若不等式在内恒成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】当时，由，可得，则，
又由，此时不等式不成立，不合题意；
当时，函数在上单调递减，
此时函数在上单调递增，
又由在上单调递增，
要使得不等式在内恒成立，
可得，解得.故选：A.
2.（多选）已知定义在的偶函数，其周期为4，当时，，则（ ）
A． B．的值域为
C．在上为减函数 D．在上有8个零点
【详解】解：，所以选项A正确；
当时，是增函数，所以当时，函数的值域为，由于函数是偶函数，所以函数的值域为.所以选项B正确；
当时，是增函数，又函数的周期是4，所以在上为增函数，所以选项C错误；
令，所以，由于函数的周期为4，所以，，所以在上有6个零点,所以该选项错误.
故选：AB
3.已知幂函数在(0，+∞)上单调递减.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若正数a，b满足2a+3b=m，求的最小值.
【详解】解：（1）因为是幂函数，
所以，解得或．
又在上单调递减，所以．
故．
（2）由（1）可知，
则，
当且仅当，时取等号．
4．
(1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值.
(2)若且，求解不等式.
(1)解：函数的定义域满足，即，
所以，要使函数的定义域非空，则，即.
若将函数图像向下移后得到的解析式为：
，.
所以在函数的图像上，即，
解得：，
所以，
(2)解：由题知，
,
,
因为函数在上单调递增，
所以等价于，展开整理得：，
所以，不等式的解集为的解，
所以，当时，不等式的解为；
当时，不等式的解为.
综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为.
5.已知函数，.
（1）判断的奇偶性和单调性；
（2）若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）要使有意义，只需，解得，
所以的定义域为，关于原点对称.
又因为，
所以函数是奇函数.
因为在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在上单调递增.
（2）对任意，存在，使得不等式成立，
等价于，
由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，
，
函数的对称轴为，
当时，，则，
解得，所以，
当时，，则，解得，所以，
综上可知，实数的取值范围是.
6．已知定义域为的函数.
（1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明；
（2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【详解】（1）函数在上单调递减.
证明如下：任取，且，
，
因为，所以，，，
即，故函数在上单调递减.
（2）因为，
故为奇函数，
所以，
由（1）知，函数在上单调递减，
故，即对于任意恒成立，
所以，令，则，
因为，所以，
所以，
即实数的取值范围是.

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