资源简介

专题四 平面向量
一、核心知识点
平面向量：平面内，既有大小又有方向的量。向量不能比较大小
几何表示：以A为起点，B为终点的有向线段记作．表示A点到B点的距离和方向。
向量的大小用长度来表示，也称为模。
零向量： 长度为零的向量称为零向量，记作0，0的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个向量称为单位向量．
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
向量的数乘：若有实数λ，使b＝λa，（a≠0）则a与b为共线向量．
λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa＝0.
两个向量和差的坐标运算．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2).
数乘向量的坐标运算．
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). 数乘结果是一个向量
向量的坐标表示．
若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝|a||b|cos θ =x1x2＋y1y2. 数量积结果是一个数
|a|＝＝
a⊥b a·b＝0
夹角公式 cos θ＝＝
单选题
1.（2022广东一模）2. 若向量，满足，，，则（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】由题意可得.
故选：B.
2.（2022茂名二模）3. 平面非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将两边平方，根据数量积的运算求得答案.
【详解】因为，所以，
所以，又
则，而，所以，
故选：C．
3.（2022深圳二模）3. 已知点，向量，则向量（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由向量的减法和向量的坐标运算即可求出答案.
【详解】设，所以 ，整理得：，所以
.
故选：D.
4.（2022湛江二模）2. 已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A. ﹣6 B. ﹣4 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.
【详解】因为向量，夹角的余弦值为，且，，
所以，
故选：A
5.（2022梅州二模）7. 两不共线的向量，，满足，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两边平方后整理得一元二次不等式，根据一元二次函数的性质可判断，整理后可知只能为0，即可解得答案.
【详解】解：由题意得：
，
，
即
，
，即
故选：C
6.（2022佛山二模）8. 中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用向量运算化简变形向量等式，再利用正弦定理求出的最大值即可计算作答.
【详解】过点O作，垂足分别为D，E，如图，因O是外接圆圆心，则D，E分别为AC，的中点，
在中，，则，即，
，同理，
因此，
，
由正弦定理得：，当且仅当时取“=”，
所以的最大值为3.
故选：C
三、多选题
7.（2022深圳一模）9. 四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】如图，根据向量的线性运算和数量积的定义计算，依次判断选项即可.
【详解】如图，
A：，故A错误；
B：，故B正确；
C：，故C错误；
D：，
由，得，
所以，故D正确.
故选：BD
8.（2022惠州一模）10. 如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ）
A. 与能构成一组基底 B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】对A，由正八边形性质可证与平行，即可由基底定义判断；
对B，由正八边形性质可证，即可由向量数量积与向量垂直的关系判断；
对C，由，利用平行四边形法则即可计算；
对D，由，即可根据向量数量积定义计算
【详解】
连接BG，CF，由正八边形的性质可知，，，所以，所以与是共线向量，所以与不能构成一组基底，A项错误；
，所以，所以，B项正确；
因为，由平行四边形法则可知，，C项正确；
正八边形的每一个内角为，，
所以，D项错误（或者从正八边形的性质可知与的夹角为锐角，则有可判断D错误）.
故选：BC
9.（2022广东二模）12. 如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为0 B. 的最小值为
C. 的最大值为1 D. 的最小值为0
【答案】BCD
【解析】
【分析】以为原点建立如图所示的直角坐标系，得，，设，则，求出，利用的范围可判断A；
求出、的坐标，由，利用的范围可判断B；设，可得，求出、，由，利用 、、，的范围可判断CD.
【详解】
以为原点建立如图所示的直角坐标系，所以，，
设，则，，
，所以，
因为，所以，所以，
所以，的最小值为，故A错误；
，，
所以，
因为，所以，所以，
所以，，
的最小值为，故B正确；
设，又，所以，可得，
，，
所以
，其中，
又，所以，所以，，
，，所以，
的最小值为0，故CD正确.
故选：BCD.
四、填空题
10.（2022湛江一模）13. 已知向量，，若，则________．
【13题答案】
【答案】##-1.5
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示进行计算．
【详解】由题意，．
故答案为：
11.（2022广州二模）13. 已知是两个单位向量，，且，则__________．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出，再利用数量积的运算律计算作答.
【详解】是两个单位向量，，且，则，解得，
所以.
故答案为：
12.（2022广州一模）14. 已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算直接求解.
【详解】
如图示，以C为原点，为x轴正方向，过C垂直向上方向为y轴建立平面直角坐标系.
因为菱形ABCD的边长为2，，则,,,.
因为点P在BC边上（包括端点），所以,其中.
所以,,
所以.
因为，所以.
故答案为：
13.（2022汕头二模）14. 在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，所以为的中点即，∵，
∴，
∴
考点：向量线性运算与数量积的几何运算.
14.（2022深圳一模）15. 在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出点A、B的坐标，由平面向量的坐标表示和向量的几何意义写出的表达式，利用三角函数的值域即可求出的最大值.
【详解】由题意知，
直线分别与x轴、y轴交于点A、B，
则，又，
所以，
有，
则
，其中，
当时，取得最大值，
且最大值为.
故答案为：
15.（2022广东一模）15. 如图，已知扇形的半径为，以为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义、二倍角公式、同角三角函数关系可求得，由此可求得点坐标.
【详解】由三角函数定义得：，
，，
，
，，
点坐标为.
故答案为：.专题四 平面向量
一、核心知识点
平面向量：平面内，既有大小又有方向的量。向量不能比较大小
几何表示：以A为起点，B为终点的有向线段记作．表示A点到B点的距离和方向。
向量的大小用长度来表示，也称为模。
零向量： 长度为零的向量称为零向量，记作0，0的方向是任意的。
单位向量：长度等于1个向量称为单位向量．
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。
向量的数乘：若有实数λ，使b＝λa，（a≠0）则a与b为共线向量．
λ>0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ＝0时，λa＝0.
两个向量和差的坐标运算．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；a－b＝(x1－x2，y1－y2).
数乘向量的坐标运算．
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy). 数乘结果是一个向量
向量的坐标表示．
若已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1).即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝|a||b|cos θ =x1x2＋y1y2. 数量积结果是一个数
|a|＝＝
a⊥b a·b＝0
夹角公式 cos θ＝＝
单选题
1.（2022广东一模）2. 若向量，满足，，，则（ ）
A. B. 2 C. 2 D. 4
2.（2022茂名二模）3. 平面非零向量，满足，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.（2022深圳二模）3. 已知点，向量，则向量（ ）
A B. C. D.
4.（2022湛江二模）2. 已知向量，的夹角的余弦值为，且，，则（ ）
A ﹣6 B. ﹣4 C. 2 D. 4
5.（2022梅州二模）7. 两不共线的向量，，满足，且，，则（ ）
A. B. C. D.
6.（2022佛山二模）8. 中，，O是外接圆圆心，是的最大值为（　　）
A. 0 B. 1 C. 3 D. 5
三、多选题
7.（2022深圳一模）9. 四边形ABCD为边长为1的正方形，M为边CD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
8.（2022惠州一模）10. 如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ）
A. 与能构成一组基底 B.
C. D.
9.（2022广东二模）12. 如图，已知扇形OAB的半径为1，，点C、D分别为线段OA、OB上的动点，且，点E为上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为0 B. 的最小值为
C. 最大值为1 D. 的最小值为0
四、填空题
10.（2022湛江一模）13 已知向量，，若，则________．
11.（2022广州二模）13. 已知是两个单位向量，，且，则__________．
12.（2022广州一模）14. 已知菱形ABCD的边长为2，，点P在BC边上（包括端点），则的取值范围是___________.
13.（2022汕头二模）14. 在边长为1的等边三角形ABC中,设=2=3,则=_____.
14.（2022深圳一模）15. 在平面直角坐标系中，已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，若点，则的最大值为_________．
15.（2022广东一模）15. 如图，已知扇形的半径为，以为原点建立平面直角坐标系，，，则的中点的坐标为__________.

展开更多......

收起↑